Zadania przygotowawcze do pierwszego kolokwium - WYDZIAŁ CHEMII 2 semestr

Zad.1. Rozwiązać równanie różniczkowe jednorodne

x(3x² + xy - 3y²)y' + (4x² + xy - 4y²)y = 0

(Uwaga: Zmieniono dwa znaki w pierwszym nawiasie!!!)

(Odp.: oraz .) Wskazówka: doprowadza się do postaci , w rozkładzie na ułamki proste wyliczamy .

Zad.2. (Uwaga: .)

Zad.3. (trudne) Rozwiązać równanie różniczkowe: y' + 2y tg x = ay² ctg x.

Odp.: .

Zad. 3,5. Rozwiązać równanie różniczkowe, sprawdziwszy że jest ono równaniem zupełnym:

a) . Odp.: .

b) . Odp.: .

c) . Odp.: .

d) .

Odp.:

Zad.4. Wiadomo, że pierwiastkami równania charakterystycznego równania różniczkowego liniowego o stałych (rzeczywistych) współczynnikach są: 1,1,2, 3+i, 3+i, 3-i, 3-i. Napisać rozwiązanie ogólne tego równania. (Odp.: .)

Zad.5. Rozwiązać równanie różniczkowe (Odp.: ).

Zad. 5a. Rozwiązać równanie różniczkowe (trudne). Odp.: . Wskazówka: ; jeden ze składników przekształcić przez części, całka która nie da się obliczyć – redukuje się z drugim składnikiem.

Zad.6. Rozwiązać metodą przewidywań równanie

y' + 3y = (12x-11) cos 2x + (18-15x)sin 2x

Odp.: W tym zadaniu popełniłem jakiś błąd, wskutek czego otrzymujemy dość nieprzyjemny wynik:

.

Wobec tego proponuję rozwiązać takie zadanie:

y' + 3y = (13x-15) cos 2x + sin 2x,

w którym otrzymujemy „przyzwoitą” odpowiedź: .

Zad.7. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe

y''' + 4y' = 24x + 8 cos 2x + 3 cos x.

Odp.: .

Zad.7a. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe

y''' + y' = 3x² + 2 sin x + 6 cos 2x.

Odp.: .

Zad. 7b. Metodą przewidywań rozwiązać równanie różniczkowe

.

Odp.: .

Odpowiedzi do niektórych zadań występujących w zestawach ćwiczeniowych, a w większości nie przerobionych na ćwiczeniach:

(Odp.: .)

(bez warunków początkowych byłoby bardzo żmudne)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: lub .)

(Da się znaleźć tylko rozwiązanie szczególne spełniające te warunki początkowe; rozw. ogólnego nie można otrzymać z powodu niemożliwości obliczenia pewnej całki. Odp.: )

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: .)

(Odp.: . Wsk. Można rozwiązać metodą przewidywań, jeżeli zapisać .)

(Odp.: .)

(Odp.: ). Wskazówka: .

Ale . Z kolei , więc przedstawiając jako otrzymujemy z łatwością .

Mając rozwiązane powyższe równanie, łatwo rozwiązać (Odp.: ?)

(Odp.:

lub

(?)

---------------------------------------------------------------------------

(To będą zadania przygotowawcze do drugiej połowy pierwszego kolokwium: )

Zad.8. Zmienić kolejność całkowania w całce .

Zad.9. Korzystając ze współrzędnych walcowych, obliczyć objętość bryły, ograniczonej powierzchnią

(x²+y²)² +(z²/c²)=1 (c>0). Uwaga: całkę z pierwiastka kwadratowego z 1-u² można łatwo obliczyć, podstawiając u=sin t.

Zad.10. (nie dotyczy) Znaleźć pole powierzchni części półsfery x² +y² +z² =a² , z≥0, leżącej wewnątrz walca x² + y² = b² (0<b<a).

Zad.11. Obliczyć objętość bryły, powstałej z pionowego „walca”, ograniczonego powierzchniami y=x, y=0, x=1 przez odcięcie z dołu - płaszczyzną z=0, a z góry - powierzchnią z=xy.

Zad.12. Rozważamy „walec” (słup), utworzony przez trzy pionowe płaszczyzny: x=0, y=0 oraz x+y=3. Walec ten ucięto od dołu płaszczyzną z=0, zaś od góry - powierzchnią z=4x +2y +1. Obliczyć objętość powstałej bryły.

Zad.13. Obliczyć objętość bryły, ograniczonej powierzchniami y =4a -3ax, y =ax, z=±h.

Zad.14. Korzystając ze współrzędnych walcowych, obliczyć całkę potrójną

po obszarze V: x² +y² ≤ 4, z≥0, z≤x+y+5.

Zad.15. (Dla chętnych i ambitnych) Korzystając ze współrzędnych sferycznych, znaleźć objętość bryły, ograniczonej powierzchnią (x² +y² +z²)² =(x² +y²)z. (Zwrócić uwagę, czy dla wszystkich możliwych ϕ, θ otrzymujemy nieujemne r, ew. ograniczyć zakres zmienności tychże.)

Zad.16. Następującą całkę obliczyć, sprowadzając ją do współrzędnych sferycznych:

.