12.a) Warunki Cauchy - Riemanna a holomorficzność funkcji zespolonej.

Niech
będzie funkcją różniczkowalna w punkcie z₀. Funkcja f ma postać f(z)=f(x+jy)=u(x, y)+jv(x, y) i poprzez izomorfizm P : C(R) → R². P(x+jy)=(x, y) odpowiada jej funkcja
postaci f(x, y)=(u(x, y), v(x, y)). Mamy
. Różniczkowalność funkcji f w punkcie z₀ oznacza różniczkowalność funkcji
w punkcie (x₀, y₀) i na odwrót. W szczególności operatorowi liniowemu f'(z₀) ∈ L(C(R); C(R)) odpowiada operator liniowy
. Warunek dostateczny różniczkowalności odwzorowań z R² do R² oznacza że
. Wiemy jednak że operator
ma macierz postaci
. Stąd otrzymujemy równania Cauchy - Riemanna
,
.

Funkcja zespolona
jest różniczkowalna w p. z₀ gdy pochodne cząstkowe
istnieją w U_zo , są ciągłe w z₀ i spełniają warunki Cauchy - Riemanna.

Mówimy, że funkcja jest holomorficzna w punkcie z₀ jeżeli jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu z₀.

12.b) Wyznaczyć funkcję holomorficzną f znając jej część rzeczywistą Re f(z)= u(x,y)=x²+y²

2y+C'(x) = -2y

C'(x) = -4y

C(x) = -4xy+C

v = 2xy-4xy+C = -2xy+C

---