31.a) Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej. Transformacja sferyczna i walcowa.

Jeśli istnieje funkcja:

będącą bijekcją obszaru regularnego Ω^o na wnętrze obszaru regularnego V^o, klasy C na Ω i taka że Jakobian

na Ω^- oraz funkcja f jest ciągła na Ω^-, to

Transformacja sferyczna

Jeżeli zmienne x,y,z zastąpimy zmiennymi r, Θ,ϕ, przy czym

x = r cosϕ cosΘ , y = r cosϕsinΘ , z = r sinϕ

= r²cosϕ

Transformacja walcowa

Jeżeli zmienne x,y,z zastąpimy zmiennymi r, θ, z, przy czym

x = r cosθ, y = r sinθ, z = z

= r

31.b) Obliczyć całkę potrójną:
, gdzie V jest ograniczone powierzchniami: x=0, y=0, z=1, z² = x² + y²

y

x

r

^z

^y

^x

¹

---