Egzamin z matematyki dla I roku Geodezji-st. magisterskie.

14 czerwca 2011r.

1. (5 pkt.) Rozwiązać równanie:

y^″ + 4y^′ + 3y = e^2x

1. (5 pkt.) Rozwiązać równanie:

$$y^{2} + y\operatorname{sinx}{+ \left( xy - 2 \right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = 0}$$

1. (5 pkt.) Wyznaczyć i nazwać punkty osobliwe krzywej:

y² − x³ + 3x − 2 = 0

1. (5 pkt.) Obliczyć krzywiznę i skręcenie krzywej:

x = t³ − 3t² + t − 1, y = cost, z = 4ln(t + 1) w punkcie t = 0

1. (5 pkt.) Zbadać zbieżność ciągu:

$$a_{n} = \left( \frac{n^{3} + 5}{n^{3} - 1} \right)^{n^{3}} + i\left( \sqrt{n^{2} + 4n} - \sqrt{n^{2} + 1} \right)$$

1. (5 pkt.) Dla jakich z∈ℂ szereg jest zbieżny:

$$\sum_{n = 1}^{+ \infty}\frac{i^{n}}{3^{n} \bullet n^{4}} \bullet z^{n}$$

1. (4 pkt.) Przedstawić twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego.