10.11.2010r.

SPRAWOZDANIE

Chaos i zjawiska nieliniowe

Katarzyna Antoniewska

Katarzyna Bochenek

Katarzyna Bosak

Jakub Kręgiel

WSTĘP:

Generowanie chaosu za pomocą matematycznego modelu; zapoznanie się z geometrią fraktalną, generowanie fraktali i wyznaczanie ich wymiaru.

ĆWICZENIE 1

1. Cel ćwiczenia: Matematyczny model powstawania chaosu.

2. Materiały i metody: Do wykonania zadania użyto programowalnego kalkulatora programowanego CASIO fx - 3650P SUPER -FX z programem Iteracje.

Przy pomocy programowalnego kalkulatora dokonano iteracji funkcji kwadratowej o postaci:

y=4λx(1-x)

w zależności od parametru λ i wartości początkowej x.

3. Wyniki:

a) λ=0,5 i x=0,1
po 7 krokach iteracji otrzymano 1-cykl o wartości:

0,5

b) λ=0,5 i x=0,4
po 4 krokach iteracji otrzymano 1-cykl o wartości:

0,5

c) λ=0,785 i x=0,1
po iteracji otrzymano 2-cykl o wartościach:
0,538007221
0,780464116

d) λ=0,785 i x=0,4
po iteracji otrzymano 2-cykl o wartościach:
0,538007221
0,780464116

e) λ=0,875 i x=0,1
po iteracji otrzymano 4-cykl o wartościach:
0,50088421
0,8749997263
0,382819683
0,826940706

f) λ=0,875 i x=0,4
po iteracji otrzymano 4-cykl o wartościach:
0,50088421
0,8749997263
0,382819683
0,826940706

g) λ=0,887 i x=0,1
po iteracji otrzymano 8-cykl o wartościach:
0,356471679
0,813909855
0,537382217
0,882041917
0,369148016
0,826250287
0,509353541
0,886689589

h) λ=0,887 i x=0,4
po iteracji otrzymano 8-cykl o wartościach:
0,356471679
0,813909855
0,537382217
0,882041917
0,369148016
0,826250287
0,509353541
0,886689589

i) λ=0,895 i x=0,1
Po przeprowadzeniu wielu iteracji, każda z nich prowadziła do otrzymania innej wartości funkcji i nie doszło do wytworzenia żadnego n-cyklu.

j) λ=0,895 i x=0,4
Po przeprowadzeniu wielu iteracji, każda z nich prowadziła do otrzymania innej wartości funkcji i nie doszło do wytworzenia żadnego n-cyklu.

4. Obserwacje i dyskusja wyników:

Na podstawie otrzymanych wyników, można wyciągnąć następujące wnioski:

- Dla tej samej wartości λ nie zależnie od wartości x otrzymujemy takie same wartości n-cykli.

- Wraz ze wzrostem wartości x wolniej dochodzi do otrzymania n-cyklu.

- Wraz ze wzrostem wartości λ dochodzi do zwiększania ilości powtarzalnych wartości w

n-cyklu.

- Dla kolejnych podanych wartości λ w wyniku iteracji dochodzi do bifurkacji , czyli rozwidlenia ilości cykli: z 1-cyklu do 2-cyklu, z 2-cyklu do 4-cyklu, z 4-cyklu do 8 cyklu.

-Przy wartości λ=0 dochodzi do wygenerowania cyklu z jedną wartością bez względu na wartość x.

-Przy wartości λ=0,895 dochodzi do wygenerowania chaosu, ponieważ wartość λ=0,895 jest powyżej granicy, poniżej której dochodzi do wygenerowania n-cykli.

ĆWICZENIE 2

1. Cel ćwiczenia: Wyznaczanie wymiaru fraktalnego obiektu metodą zliczania kwadratów

2. Materiały i metody: Do wykonania ćwiczenia użyto programu komputerowego o nazwie BCMet (Box-Counting Method).

Z opcji programu BCMet wybrano obraz przedstawiający drzewo. Następnie zwiększając wielkość kwadratów od rozmiaru 2 do 20 notowano liczbę kwadratów w kolorach: białym(W), czarnym(B) i biało-czarnym(BW). Potem zsumowano liczbę kwadratów białych z biało-czarnymi oraz czarnych z biało-czarnymi. Wszystkie dane wymieniono w Tabeli 1. Następnie, logarytmując liczby poszczególnych grup kwadratów oraz odwrotność rozmiaru, uzyskano dane konieczne do utworzenia wykresu (Wykres 1).

3. Wyniki:

Tabela 1

x	BW	B+BW	W+BW	W	ln(BW)	ln(B+BW)	ln(W+BW)	1/x	ln(1/x)
2	585	11188	14047	13462	6,371612	9,322597	9,550164	0,5	-0,69315
4	416	2920	3658,5	3242,5	6,030685	7,979339	8,204809	0,25	-1,38629
6	305	1358	1685,899	1380,899	5,720312	7,213768	7,430054	0,166667	-1,79176
8	226	785	981,625	755,625	5,420535	6,665684	6,889209	0,125	-2,07944
10	194	520	660	466	5,267858	6,253829	6,49224	0,1	-2,30259
12	165	374	475,722	310,722	5,105945	5,924256	6,164834	0,083333	-2,48491
14	137	283	357,0611	220,0611	4,919981	5,645447	5,877907	0,071429	-2,63906
16	116	224	277,1563	161,1563	4,75359	5,411646	5,624582	0,0625	-2,77259
18	99,7778	175,7778	228,3211	128,5433	4,602946	5,169221	5,430753	0,055556	-2,89037
20	91	145	192,5	101,5	4,51086	4,976734	5,260096	0,05	-2,99573

Wykres 1

4. Obserwacje i dyskusja wyników:

Zmierzony doświadczalnie współczynnik kierunkowy a jest zgodny z oczekiwanym wynikiem, który powinien zawierać się pomiędzy wartościami 1 a 2.

ĆWICZENIE 3

1. Cel cwiczenia: Wyznaczanie wymiaru fraktalnego obiektu metodą zliczania kwadratów

2. Materiały i metody: Do wykonania ćwiczenia użyto programu komputerowego o nazwie HarFA(Harmonic and Fractal Image Analyzer).

3. Wyniki:

BW: a = 1,5780

B+BW: a = 1,8239

W+BW: a = 1,8682

a_śr = (1,5780 + 1,8239 + 1,8682) / 3 = 1,7567

4. Obserwacje i dyskusja wyników:

Wyliczony współczynnik kierunkowy a zawiera się w oczekiwanym przedziale wartości między 1 a 2.

ĆWICZENIE 4

1. Cel ćwiczenia: Generowanie fraktali i obserwacja ich samo podobieństwa

2. Materiały i metody: Za pomocą programu komputerowego KWR (Kopiarka Wielokrotnie Redukująca) wersja 1.0 Warszawa 1997, wygenerowano fraktal.

Porównano 2 tła poprzez wielokrotną redukcję każdego z nich po kolei

3. Obserwacja i dyskusja wyników:

Fraktale powstają poprzez wielokrotne kopiowanie i pomniejszanie obrazu.

Przekształcenie jest najważniejsze, a nie rodzaj tła.

Różne gatunki tła nie wpływają na przekształcenie fraktali.

Ważny jest kształt fraktalu a nie jego kolor.