38. Izometria figur, grupa izometrii. Przykłady izometrii płaszczyzny.

Izometria jest to funkcja zachowująca odległości między punktami przestrzeni metrycznej. W geometrii figury między którymi zachodzi izometria (są izometryczne) nazywa się przystającymi.

Def. Izometrii przestrzeni metrycznych.
Niech (X,d_X) i (Y,d_Y) będą przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f : X  → Y nazywamy izometrycznym, jeżeli dla dowolnych a, b ∈ X zachodzi
d_Y(f(a),f(b)) = d_X(a,b)

Figury izometryczne:

• Każde dwa odcinki są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy są równej długości.

• Każde dwa kąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy są o jednakowej rozwartości.

• Każde dwa okręgi są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe promienie.

• Dowolne dwie proste i półproste są przystające.

Przestrzenie metryczne X i Y nazywamy izometrycznymi jeżeli istnieje izometria z X w Y. Zbiór izometrii przestrzeni metrycznej w siebie jest grupą względem składania przekształceń. Nazywamy ją grupą izometrii.

Własności izometrii:

• Izometria jest przekształceniem różnowartościowym

• Złożenie dwóch izometrii jest izometrią

• Jeśli izometria f ma dwa różne punkty stałe A, B, to każdy punkt prostej AB jest punktem stałym przekształcenia f

• Jeśli izometria ma trzy niewspóliniowe punkty stałe, to jest identycznością.

Przykłady izometrii płaszczyzny:

• Obrót niezerowy dookoła punktu S,

• Identyczność na płaszczyźnie Π,

• Translacja niezerowa o wektor w,

• Symetria z poślizgiem o wektor niezerowy,

• Symetria osiowa względem osi a.