ANALIZA MATEMATYCZNA I
Całka nieoznaczona oraz całka oznaczona właściwa i niewłaściwa (6godz.ćwiczeń)
1.Korzystając z twierdzenia o liniowości całki nieoznaczonej obliczyć całki
a) Odp:
b) Odp: c)Odp: d) Odp:;
e) Odp: f) Odp:;
g)Odp: h)Odp:;
2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki a)Odp:b)Odp:;c)Odp:d)Odp:; e)Odp: f)Odp:; g)Odp:h)Odp: i) Odp: j)Odp: k) Odp: l) Odp: ; m)Odp: n)Odp: ;
3.Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć całki
a)Odp: b)Odp: ;
c)Odp: d)Odp:
e) Odp:; f) Odp: ; g)Odp:; h) Odp: ; i)Odp:; j) Odp: ; k)Odp:; l) Odp: ;m) Odp: n)Odp: W:m),n) sprowadzić wielomian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej i zastosować podstawienie.
4.Oliczyć całki funkcji wymiernych
a) Odp: b)Odp: ; c) Odp: d)Odp: ;
e) Odp:
f)Odp:
g) Odp:
h)Odp:
i) Odp:
5.Znaleźć całki funkcji trygonometrycznych
a) Odp: b)Odp:
c)Odp: d)Odp:
e)Odp: f)Odp:
g)Odp: h)Odp:
i)Odp: ; j)Odp:
k) Odp: l) Odp:
ł)Odp: m)Odp:;
n)Odp: o)Odp:
p)Odp: r) Odp:
s)Odp: t)Odp:
6. Obliczyć całki oznaczone właściwe
a) Odp: 1; b)Odp:c)Odp: d)Odp: 2; e)Odp:f)Odp:g)Odp: h)Odp:i) Odp:
k)Odp: l)Odp: ł) Odp:
m)Odp: n)Odp:
7.Obliczyć całki oznaczone niewłaściwe
a)Odp:rozb. b)Odp:rozb. c)Odp:
d)Odp: -1; e)Odp: f)Odp:
g)Odp: rozb. h)Odp: i)Odp: j)Odp: k)Odp: l)Odp: rozb.
ł)Odp:m) Odp: n)Odp: rozb.
Ciągi i szeregi funkcyjne (szeregi potęgowe) 2 godz. ćwiczeń.
1.Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcyjnego
a) dla Odp: zbieżny do funkcji
b) dla Odp: zbieżny do funkcji dla ;
c) dlaOdp:zb. do funkcji dla
2.Korzystając z definicji zbadać zbieżność punktową szeregu funkcyjnego dla x∈D; Dla ustalonego tworzymy ciąg sum częściowych i obliczamy. a)dlaOdp: zbieżny do funkcji dlab)dla Odp: zbieżny do funkcji dla c) dla Odp: zbieżny do funkcji dla 3.Znaleźć zakres zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego a) Dla ustalonego obliczamy Gdy q(x)<1 , to szereg jest zbieżny bezwzględnie w zbiorze b)Odp: zbieżny warunkowo w oraz zbieżny bezwzględnie w c) Odp: zbieżny bezwzględnie w zbiorze d) Odp: zbieżny bezwzględnie w zbiorze ;
4.Wyznaczyć promień i znaleźć zakres zbieżności szeregu potęgowego a) Dla ustalonego , obliczamy granicę Gdy , to szereg zbieżny , a więc a stąd Zakres zbieżności ; b) Dla ustalonego , obliczamy granicę Gdy , to szereg zbieżny , a więc , a stąd c)Odp: promień , zakres zbieżności ; d) Odp: promień , zakres zbieżności ; e) Odp: promień , zakres zbieżności (1,2] ; f) Odp: promień , zakres zbieżności ; g) Odp: promień , zakres zbieżności punkt {-3}; 5.Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję a) w p-cieOdp: dla ; c) w p-cieOdp: dla ; d) w p-cieOdp: dla ; e) w p-cieOdp: dla ; f) w p-cieOdp: dla ; g) w p-cieOdp: dla;
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych (6 godz. ćwiczeń)
1.Znależć granicę ciągu w przestrzeni Rka) b)
2.Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji i pokazać zbiór punktów skupienia dziedziny. a) ; b) ; c4.Obliczyć granice funkcji a) ; b); c) d) e) ; f) 5.Wykazać, że nie istnieją granice: a) ; b)
6.Zbadać ciągłość funkcji a); b) . 7.Obliczyć pochodne cząstkowe i pierwszą pochodną funkcji (wektor pochodnych). a) ; b) ; c) 8.Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego i drugą pochodną funkcji (macierz pochod.) a) ; b) ; c) 9.Obliczyć różniczkę funkcji a) b)10.Obliczyć przyrost i różniczkę funkcji oraz porównać wyniki dla: ;
11.Obliczyć przybliżoną wartość liczby: a) ; b) ; c)
12.Znależć ekstrema lokalne funkcji: a) ; b)Odp:c); d)Odp: 13.Znależć najmniejszą i największą wartość funkcji w danym zbiorze: a) b)
Równania różniczkowe zwyczajne(6 godz. ćwiczeń)1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych i do niego sprowadzalne:
a) b) c) d) e) f)2.Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe lub Bernoulliego a) b) c)d) e) f)3.Rozwiązać równanie różniczkowe zupełne: a); b) ; c) ; d) 4.Rozwiązać równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do rzędu pierwszego: a) b) c) ; d) ; e) f)5.Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach: a) b) c) d) e) f) g) h)g) h) i) j) k)
Całki podwójne i potrójne(6 godzin ćwiczeń)
1.Obliczyć całki podwójne a)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub . b) gdzie obszar c)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub d) gdzie obszar e) gdzie obszar
2.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: a)b)
3.Obliczyć całki potrójne a) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: lub
b) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami lub c) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: ; lub d) gdzie G jest ograniczony powierzch. lub e) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami : lub 4.Obliczyć objętość obszaru G ograniczonego powierzchniami: a) lub b) lub c) lub d) lub