ANALIZA MATEMATYCZNA I
Całka nieoznaczona oraz całka oznaczona właściwa i niewłaściwa (6godz.ćwiczeń) 1.Korzystając z twierdzenia o liniowości całki nieoznaczonej obliczyć całki
a) Odp:
b) Odp: c) Odp: d) Odp: ;
e) Odp: f) Odp:;
g) Odp: h) Odp: ;
2. Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki a) Odp: b) Odp:; c) Odp: d) Odp: ; e) Odp: f) Odp: ; g)* Odp: h)*Odp: i) Odp: j) Odp: k) Odp: l) Odp: ; m)Odp: n)Odp: ;
3.Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie obliczyć całki
a) Odp: b) Odp: ;
c) Odp: d) Odp:
e) Odp:; f) Odp: ; g) Odp:; h) Odp: ; i) Odp:; j) Odp: ; k) Odp:; l) Odp: ; m) Odp: n)Odp: W:m),n) sprowadzić wielomian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej i zastosować podstawienie.
4.Oliczyć całki funkcji wymiernych
a) Odp: b) Odp: ; c) Odp: d) Odp: ;
e) Odp:
f) Odp:
g) Odp:
h) Odp:
i) Odp:
5.Znaleźć całki funkcji trygonometrycznych
a) Odp: b) Odp:
c) Odp: d) Odp:
e) Odp: f) Odp:
g) Odp: h) Odp:
i) Odp: ; j) Odp:
k) Odp: l) Odp:
ł) Odp: m) Odp:;
n)Odp: o) Odp:
p) Odp: r) Odp:
s) Odp: t) Odp:
6. Obliczyć całki oznaczone właściwe
a) Odp: 1; b) Odp: c) Odp: d) Odp: 2; e) Odp: f) Odp: g) Odp: h) Odp: i) Odp:
k) Odp: l) Odp: ł) Odp:
m) Odp: n) Odp:
7.Obliczyć całki oznaczone niewłaściwe
a)Odp:rozb. b) Odp: rozb. c) Odp:
d) Odp: -1; e) Odp: f) Odp:
g) Odp: rozb. h) Odp: i) Odp: j) Odp: k) Odp: l) Odp: rozb.
ł) Odp: m) Odp: n) Odp: rozb.
Ciągi i szeregi funkcyjne (szeregi potęgowe) 2 godz. ćwiczeń. 1.Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcyjnego a) dla Odp: zbieżny do funkcji b) dla Odp: zbieżny do funkcji dla ;
c) dla Odp: zb. do funkcji dla
2.Korzystając z definicji zbadać zbieżność punktową szeregu funkcyjnego dla x∈D; Dla ustalonego tworzymy ciąg sum częściowych i obliczamy. a) dla Odp: zbieżny do funkcji dla b) dla Odp: zbieżny do funkcji dla c) dla Odp: zbieżny do funkcji dla 3.Znaleźć zakres zbieżności punktowej szeregu funkcyjnego a) Dla ustalonego obliczamy Gdy q(x)<1 , to szereg jest zbieżny bezwzględnie w zbiorze b) Odp: zbieżny warunkowo w oraz zbieżny bezwzględnie w c) Odp: zbieżny bezwzględnie w zbiorze d) Odp: zbieżny bezwzględnie w zbiorze ; 4.Wyznaczyć promień i znaleźć zakres zbieżności szeregu potęgowego a) Dla ustalonego , obliczamy granicę Gdy , to szereg zbieżny , a więc a stąd Zakres zbieżności ; b) Dla ustalonego , obliczamy granicę Gdy , to szereg zbieżny , a więc , a stąd c) Odp: promień , zakres zbieżności ; d) Odp: promień , zakres zbieżności ; e) Odp: promień , zakres zbieżności (1,2] ; f) Odp: promień , zakres zbieżności ; g) Odp: promień , zakres zbieżności punkt {-3}; 5.Korzystając ze znanych rozwinięć, rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję a) w p-cie Odp: dla ; c) w p-cie Odp: dla ; d) w p-cie Odp: dla ; e) w p-cie Odp: dla ; f) w p-cie Odp: dla ; g) w p-cie Odp: dla;
Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych rzeczywistych ( 6 godz. ćwiczeń )
1.Znależć granicę ciągu w przestrzeni Rk a) b) 2.Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji i pokazać zbiór punktów skupienia dziedziny. a) ; b) ; c 4.Obliczyć granice funkcji a) ; b); c) d) e) ; f)* 5.Wykazać, że nie istnieją granice: a) ; b) 6.Zbadać ciągłość funkcji a); b) . 7.Obliczyć pochodne cząstkowe i pierwszą pochodną funkcji (wektor pochodnych). a) ; b) ; c) dla 8.Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego i drugą pochodną funkcji (macierz pochodnych) a) ; b) ; c) 9.Obliczyć różniczkę funkcji a) dla i b) dla i 10.Obliczyć przyrost i różniczkę funkcji oraz porównać wyniki dla: dla i
11.Obliczyć przybliżoną wartość liczby: a) ; b) ; c) 12.Znależć ekstrema lokalne funkcji: a)Odp: b) Odp: c) Odp: ; d) Odp:e)Odp: 13.Znależć najmniejszą i największą wartość funkcji w danym zbiorze: a) b) Równania różniczkowe zwyczajne(6 godz. ćwiczeń) 1. Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych lub jednorodne: a)Odp: b) Odp: c) Odp: d) Odp: e) Odp: f) Odp: g) Odp: h) i Odp: i) Odp: dla j) Odp:dla
2. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe lub Bernoulliego a) Odp: b) Odp: c) Odp: d)Odp: e) Odp: f) Odp: g) Odp: h) Odp:
i) Odp: j) Odp: k) Odp: l) Odp: m)Odp: n) Odp:
3.Rozwiązać równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do rzędu pierwszego: a) Odp: b) Odp: c) Odp: d) Odp:
e) Odp: f) Odp: g) Odp: h) Odp: 4.Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach: a) Odp: b) Odp: c) Odp: d) Odp: e) Odp: f) Odp: g) Odp: h) Odp:
i) Odp: j) Odp: k) Odp: l) Odp:
Wskazówka :Do punktów f-l zastosować metodę przewidywania.
Całki podwójne i potrójne(6 godzin ćwiczeń) 1.Obliczyć całki podwójne a)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub . Odp: b) gdzie obszar Odp: c)gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi: lub Odp: d) gdzie obszar Odp: e) gdzie obszar Odp: 2.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: a) Odp: b) Odp: c) Odp: d) Odp: 3.Obliczyć całki potrójne a) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: lub Odp: b) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami: lub Odp: c) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami lub Odp: d) gdzie obszar G jest ograniczony powierzchniami lub Odp: e) gdzie obszar G jest ogr. pow.: ; lub Odp: f) gdzie G jest ogr. lub Odp: 4.Obliczyć objętość obszaru G ograniczonego powierzchniami: a) lub Odp: b)lub Odp: c) lub Odp: d) lub Odp: e) lub Odp: f)lub Odp: g)lub Odp: h)* lub Odp: