6 Model statystyczny

Model statystyczny stanowi hipoteza lub układ hipotez sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub układu równań), który przedstawia zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami rzeczywistymi.

Bardziej formalnie jest to parametryzowana rodzina rozkładów łącznych rozważanych zmiennych, stąd druga nazwa przestrzeń statystyczna.

Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie dotyczące rozkładu populacji postaci funkcyjnej lub wartości parametru rozkładu. Proces sprawdzenia prawdziwości tego przypuszczenia na podstawie wyników próby losowej to weryfikacja hipotez statystycznych.

Formułowanie hipotezy statystycznej rozpoczyna się zebraniem informacji na temat populacji i jej możliwego rozkładu. Dzięki temu możliwe jest zbudowanie zbioru hipotez dopuszczalnych Ω, czyli zbioru rozkładów, które mogą charakteryzować badaną populację. Hipoteza statystyczna to każdy podzbiór zbioru hipotez dopuszczalnych.

Hipotezy statystyczne można podzielić na:

• parametryczne - hipoteza dotyczy wartości parametru rozkładu

• nieparametryczne - hipoteza dotyczy postaci funkcyjnej rozkładu

Hipotezy nieparametryczne

• Testy zgodności z rozkładem teoretycznym lub innym rozkładem

• Testy niezależności

Rodzaje hipotez parametrycznych

• Hipoteza zerowa H₀: stwierdza, że nie ma różnicy między parametrem (lub parametrami) i pewną wyszczególnioną wartością (lub zbiorem wartości),

• Hipoteza alternatywna H₁: stwierdza, że jest istotna różnica między parametrem (lub parametrami), a pewną wyszczególnioną wartością (lub zbiorem wartości).

Testowanie hipotez parametrycznych

Wybór pomiędzy hipotezą zerową H₀, która podlega weryfikacji, a hipotezą alternatywną H₁, którą jesteśmy skłonni przyjąć gdy odrzucimy hipotezę zerową, dokonany na podstawie wyników próby wylosowanej z populacji

Test statystyczny

Algorytm służący do weryfikacji hipotez na podstawie prób losowych. Każdej próbie losowej przyporządkowują jedną z dwóch decyzji: przyjąć sprawdzaną hipotezę lub odrzucić ją.

Wyniki testowania

Decyzja	H0 prawdziwa	H0 fałszywa
Odrzucić H0	Błąd I rodzaju	Decyzja prawidłowa
Nie odrzucać H0	Decyzja prawidłowa	Błąd II rodzaju

• Błędy I rodzaju: odrzucenie H₀ mimo, że jest prawdziwa (prawdopodobieństwo α), (np. uznanie chorej pacjentki za zdrową)

• Błędy II rodzaju: przyjęcie H₀ gdy jest ona fałszywa (prawdopodobieństwo β), (np. uznanie zdrowej pacjentki za chorą)

PRZYKŁAD Weryfikacja hipotezy dotyczącej wartości średniej

H₀ : m = m₀ przeciwko H₁: m≠m₀ na poziomie istotności α

Analiza modeli statystycznych

• Łączy rozkład statystyk $\overset{\overline{}}{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 0}^{n}X_{i};\ \ \ \ S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}\left( X_{i} - \overset{\overline{}}{X} \right)^{2}$

Jeżeli niezależne zmienne losowe X_i  i = 1, 2, …, n o mają identyczne rozkłady normalne N(m,  σ) to zmienne losowe $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}\mathbf{,S}$ są niezależne: zmienna $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}$ ma rozkład $\mathbf{N}\left( \mathbf{m,\ \sigma/}\sqrt{\mathbf{n}} \right)$ a zmienna S²/σ² ma rozkład χ_n − 1²

Zauważmy, że praktyczne stosowanie tych rozkładów wymaga znajomości parametrów populacji m oraz σ.

• Statystyka t Studenta $t = \frac{\overset{\overline{}}{X} - m}{S}\sqrt{n - 1}$

Statystyka t-Studenta zastępuje $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}}$ gdy znamy wartość m a nie znamy wartości σ

Przypadek 1 , gdy X ma rozkład normalny N (m, σ), gdzie σ jest znane to statystyką testową będzie $\mathbf{U =}\frac{\overset{\overline{}}{X} - m_{0}}{\mathbf{\sigma}}\sqrt{\mathbf{n}}$

Jeśli H₀ jest prawdziwa, to U ma standardowy rozkład normalny N (0, 1).

Przypadek 2 , gdy X ma rozkład normalny N (m, σ), gdzie σ jest nieznane to statystyką testową będzie $t = \frac{\overset{\overline{}}{X} - m}{S}\sqrt{n - 1}$

Jeśli H₀ jest prawdziwa, to t ma rozkład Studenta o n-1 stopniach swobody

Podział na estymację punktową i przedziałową

Możemy wyróżnić dwie metody estymacji: estymacja punktowa i estymacja przedziałowa:
- W estymacji punktowej za ocenę wartości parametru przyjmujemy konkretną wartość, którą otrzymujemy na podstawie wyników z próbki, oczywiście przy zachowaniu odpowiednich reguł do wyznaczania tej wartości.
- W estymacji przedziałowej wyznaczamy przedział liczbowy, w którym z określonym przez nas prawdopodobieństwem zawiera się wartość szacowanego przez nas parametru.