• Podać definicje podstawowych wielkości

Okres drgań –  czas wykonania jednego pełnego drgania w ruchu drgającym, czyli czas pomiędzy wystąpieniami tej samej fazy ruchu drgającego. Okres fali równy jest okresowi rozchodzących się drgań T=1/f, f – częstotliwość drgań, T=2π/ω, ω – częstość kołowa, T=λ/v, λ – długość fali, v – prędkość rozchodzenia się fali

Częstość drgań (częstotliwość) – liczba cykli wykonywanych przez drgające środowisko w ciągu jednej sekundy. Częstotliwość określa się w hercach (Hz). f=n/t, n- liczba drgań, t- czas, f=1/T, f= ω /2π

Częstość kołowa drgań –jak wyżej, f= ω /2π, ω – częstość kołowa

Drgania okresowe – powtarzają się w równych odstępach czasu. Szczególnym przypadkiem jest ruch harmoniczny, powstający pod wpływem siły działającej przeciwnie do wychylenia ciała od położenia równowagi, o wartości proporcjonalnej do wychylenia. Wykres zależności położenia od czasu jest dla takiego ruchu sinusoidą. Ruch harmoniczny zachodzi dla większych amplitud drgań układu, gdy siła przestaje być proporcjonalna do wychylenia, np. w drganiach wahadła matematycznego, czy drgań molekuł gazu o wysokiej temperaturze.

Współczynnik sztywności – stosunek obciążenia do odkształcenia, które go powoduje

$$k = \frac{F}{\text{Δx}} = \frac{F}{\text{Δl}}$$

Współczynnik tłumienia – Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ζ (zeta), określony jako:

Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową. Wartość tłumienia ζ określa zachowanie systemu:

• Silnie tłumiony (ζ> 1) – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ζ tym układ powraca wolniej do równowagi.

• Krytycznie tłumiony (ζ= 1) - układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.

• Tłumiony słabo (0 <ζ<1) – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.

• Nietłumiony (ζ= 0) – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej (ω_o).

Współczynnik sztywności przy skręcaniu- stosunek momentu skręcającego do kąta skręcenia, które on wywołuje: $k_{s} = \frac{M_{s}}{\text{Δφ}}$

Połączenia współczynnika sztywności i współczynnika tłumienia–

• współczynnik sztywności:

• połączenie szeregowe: $\frac{1}{k_{z}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$

• połączenie równoległe: k_z = k₁ + k₂

Sposoby wymuszenia –

1. Siłowe- jeżeli na układ działa zadane obciążenie zmienne w czasie w postaci siły P(t) lub momentu M(t)

2. kinematyczne- przyspieszenie zmienne w czasie x=a*sin(ωt)

3. odśrodkowymi siłami bezwładności- powstaje na wskutek niewyważenia mas wirujących

4. wymuszenie warunkami początkowymi

• Drgania układów o jednym stopniu swobody bez tłumienia (swobodne i wymuszone)

• Drgania swobodne

przykład układu drgającego: masa na sprężynie (drgania podłużne), masa na lekkim skręcanym wale (drgania skrętne)

równanie ruchu: $M*\ddot{q} + K*q = 0$ (1)

gdzie: $q = \left\{ \begin{matrix} x & \text{dla\ ruchu\ postepowego} \\ \varphi & \text{dla\ ruchu\ obrotowego} \\ \end{matrix} \right.\ $

$$\ddot{q} = \frac{d^{2}q}{dt^{2}}\text{\ przyspieszenie\ mas}y$$

$$M = \left\{ \begin{matrix} m & \text{masa\ w\ }\left\lbrack \text{kg} \right\rbrack\ dla\ ruchu\ postepowego \\ I & masowy\ moment\ bezwladnosci\ \left\lbrack kg*m^{2} \right\rbrack\text{dla\ ruchu\ obrotowego} \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$K = \left\{ \begin{matrix} k & wspolczynnik\ sztywnosci\ translacyjnej\ w\ \left\lbrack \frac{N}{m} \right\rbrack \\ k_{s} & wspolczynnik\ sztywnosci\ rotacyjnej\ w\ \left\lbrack \frac{N*m}{\text{rad}} \right\rbrack \\ \end{matrix} \right.\ $$

Rozwiązaniem ogólnym równania (1) jest funkcja:

q = A * sin(α*t) + B * cos(α * t)

którą można zapisać w postaci:

q = C * sin(α*t+β)

gdzie α-częstość drgań własnych układu $\alpha = \sqrt{\frac{K}{M}}$

β- stały kąt przesunięcia fazowego

Dla danych warunków początkowych:

$$q_{0} = \left\{ \begin{matrix} x_{0} & amplituda\ drgan\ \lbrack m\rbrack \\ \varphi_{0} & amplituda\ drgan\ \lbrack\text{rad}\rbrack \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\text{\ \ \ }\dot{q_{0}} = \left\{ \begin{matrix} v_{0} & amplituda\ predkosci\ liniowej\ drgan\ w\ m/s \\ \omega_{0} & amplituda\ predkosci\ kolowej\ drgan\ w\ \text{rad}/s \\ \end{matrix} \right.\ $$

otrzymuje się rozwiązanie w postaci:

$$q = \dot{q_{0}}*\sqrt{\frac{M}{K}}*sin\left( \sqrt{\frac{K}{M}}*t \right) + q_{0}*cos\left( \sqrt{\frac{K}{M}}*t \right)$$

Okres drgań harmonicznych T=2π/α nie zależy od warunków początkowych.

• Drgania wymuszone

przykład układu: ciało masie m zawieszone na sprężynie, którego drgania wymuszane są siłą P(t)=P₀*sin(ω*t+φ₀)

równanie ruchu: $m*\ddot{x} + k*x = P*sin\left( \omega*t + \beta \right)$

odniesione do jednostki masy: $\ddot{x} + \alpha^{2}*x = q*sin\left( \omega*t + \beta \right)$

gdzie α²=k/m; q=P/m

• Drgania układów o jednym stopniu swobody z tłumieniem (swobodne i wymuszone)

• swobodne

przykład układu: masa na sprężynie o sztywności k z tłumikiem wiskotycznym o współczynnika tłumienia c

równanie ruchu: $m*\ddot{x} + c*\dot{x} + k*x = 0$

odniesione do jednostki masy: $\ddot{x} + 2*h*\dot{x} + \alpha^{2}*x = 0$

gdzie: $h = \frac{c}{2*m}\text{\ \ }\alpha^{2} = k/m$

• wymuszone

• siłowo

przykład układu: ciało o masie m na sprężynie o sztywności k, którego drgania wymuszane są siłą zmienną w czasie, z tłumikiem o współczynniku tłumienia c

równanie ruchu: $m*\ddot{x} + c*\dot{x} + k*x = P*sin\left( \omega*t \right)$

odniesione do jednostki masy: $\ddot{x} + 2*h*\dot{x} + \alpha^{2}*x = q*sin\left( \omega*t \right)$

gdzie wszystkie oznaczenia jak powyżej

• kinematycznie

przykład układu: tak jak wyżej ale czynnikiem wymuszającym jest ruch końca sprężyny zgodnie z równaniem x_A = a * sin(ω*t+β)

równanie ruchu: $m*\ddot{x} + c*\dot{x} + k*x = k*a*sin\left( \omega*t + \beta \right)$

odniesione do jednostki masy: $\ddot{x} + 2*h*\dot{x} + \alpha^{2}*x = q*sin\left( \omega*t + \beta \right)$

• Drgania układów o wielu stopniach swobody

Przykład układu: dowolny układ modelujący maszyny stosowane w technice

Położenie tych układów podczas ruchu opisuje się współrzędnymi uogólnionymi: q_j=q_j(t) i przyjmuje się że w położeniu równowagi wszystkie współrzędne są równe 0.

Równania ruchów drgających takich układów zapisujemy we współrzędnych uogólnionych za pomocą równań Lagrange’a II rodzaju:

$$\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{dE_{k}}{d\dot{q_{j}}} \right) - \frac{dE_{k}}{dq_{j}} + \frac{dE_{p}}{dq_{j}} = Q_{j} - R_{j}\ \ gdzie\ j = 1,2\ldots,n$$

E_k- energia kinematyczna układu
E_p- energia potencjalna układu
Q_j- zewnętrzna siła uogólniona odpowiadająca współrzędnej q_j skierowana zgodnie z dodatnim zwrotem tej współrzędnej
R_j- uogólniona siła oporu odpowiadająca współrzędnej q_j i skierowana przeciwnie do siły Q_j

• Drgania układów ciągłych (o nieskończenie wielu stopniach swobody)

Drgania na przykładzie belki: