PODSTAWY METROLOGII - LABORATORIUM

WYDZIAŁ: BMiZ

Data wykonania ćwiczenia: 29.10.2012r.

WSTĘP TEORETYCZNY:

Wysokościomierz Trimos – elektryczny przyrząd pomiarowy o zakresie pomiaru 800 mm i dokładności pomiaru 5 μm. Umożliwia pomiar wartości od płyty pomiarowej albo od wartości uznanej za bazową(zerową).

CEL ĆWICZENIA: Dokonanie bezpośrednich pomiarów na przyrządzie i w oparciu o otrzymane wyniki określenie z zadanym poziomem ufności średniego błędu kwadratowego przyrządu pomiarowego.

Tabela z wartościami wskazanymi przez badany wysokościomierz dla płytek wzorcowych:

Lp.	Płytka wzorcowa – 0	Płytka wzorcowa – 20	Płytka wzorcowa – 40	Płytka wzorcowa – 60	Płytka wzorcowa - 80
1	0,004	19,998	40,010	59,986	80,010
2	0,006	19,996	40,004	59,985	80
3	0,004	19,998	40,016	59,985	79,994
4	0,009	19,999	40,012	59,984	79,994
5	0,004	19,996	40	59,984	79,994
6	-0,002	19,998	39,997	59,982	79,992
7	-0,005	20,002	39,996	59,983	80,003
8	-0,006	19,994	40	59,983	80,006
9	-0,002	19,993	40,008	59,982	79,998
10	0,002	19,998	40,004	59,983	79,990
11	0,004	19,994	40,012	59,983	79,994
12	-0,002	19,994	40,006	59,982	79,998
13	0	19,992	39,998	59,984	80,005
14	-0,004	19,992	40,025	59,982	79,993
15	0	19,992	39,996	59,981	80,011
16	-0,004	19,992	40,002	59,980	79,994
17	-0,004	19,993	40,004	59,980	79,992
18	0	19,992	40,019	59,982	80,002
19	-0,004	19,992	39,991	59,985	79,998
20	0	19,990	39,994	60,035	80,014

Obliczenie wartości średniej:

$$\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n}}\mathbf{\ }\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}$$

$\overset{\overline{}}{x_{0}}$ = -0,0027 [mm]

$\overset{\overline{}}{x_{20}}$ = 19,995 [mm]

$\overset{\overline{}}{x_{40}}$ = 40,005 [mm]

$\overset{\overline{}}{x_{60}}$ = 59,736 [mm]

$\overset{\overline{}}{x_{80}}$ = 79,999 [mm]

Wyznaczanie wariancji i odchylenia standardowego:

$$\hat{\mathbf{S}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(}\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$$

S^2 = 0,000016947 S^2 = 0,000010092 S^2 = 0,000079063 S^2 = 0,000138155 S^2 = 0,000049674	S = 0,0041167 S = 0,0031768 S = 0,0088918 S = 0,0117539 S = 0,0070480

Wartości kwantyli dla rozdziału$\mathbf{\ }\mathbf{X}_{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 34,170}$, $\mathbf{X}_{\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= 9,5908}$

Model przedziału ufności:

$$\mathbf{P}\left\{ \frac{\mathbf{(n - 1) \bullet}{\hat{\mathbf{S}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{X}_{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{<}\mathbf{\sigma}^{\mathbf{2}}\mathbf{<}\frac{\mathbf{(n - 1) \bullet}{\hat{\mathbf{S}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{X}_{\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}} \right\}\mathbf{= 1 - \alpha}$$

Obliczenie dla płytki wzorcowej „0”:

$$\frac{\mathbf{(n - 1) \bullet}{{\hat{\mathbf{S}}}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{X}_{\mathbf{1 -}\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{19 \bullet}\mathbf{0,000016947}}{\mathbf{34,170}}\mathbf{= 9,42327 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 6}}$$

$$\frac{\mathbf{(n - 1) \bullet}{{\hat{\mathbf{S}}}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{X}_{\frac{\mathbf{\alpha}}{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{19 \bullet}\mathbf{0,000016947}}{\mathbf{9,5908}}\mathbf{= 3,35731 \bullet}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}$$

Otrzymano zatem następujący przedział ufności:

P0(9, 42327 • 10^−6<σ^2< 3, 35731 • 10^−5)
P20(5,61159∙10^-6<σ^2<1,99929∙10^-5)
P40(4,39625∙10^-6<σ^2<1,56629∙10^-4)
P60(7,68202∙10^-5<σ^2<2,73694∙10^-5)
P80(2,76209∙10^-5<σ^2< 9,84074^-5)

Wyznaczenie testu Bartletta:

k=5

n=20

m=k*m=100

c=1,021052632

S²=1,430953E-06

$\mathbf{M = -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{c}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \mathbf{n - 1} \right)\mathbf{\ln}\frac{{\hat{\mathbf{S}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{S}^{\mathbf{2}}}}$,

gdzie

$$\mathbf{c = 1 +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3(k - 1)}}\left( \sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{k}}{\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}} \right)\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m - k}}} \right)$$

$${\hat{\mathbf{S}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - 1}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\left( \mathbf{x}_{\mathbf{i}}\mathbf{-}\overset{\overline{}}{\mathbf{x}} \right)^{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{S}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m - k}}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{(n - 1)}{\hat{\mathbf{S}}}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}$$

Płytka wzorcowa	$${{\hat{S}}_{i}}^{2}$$	$$\frac{{{\hat{S}}_{i}}^{2}}{S^{2}}$$	$$\ln\frac{{{\hat{S}}_{i}}^{2}}{S^{2}}$$	$$(n - 1)ln\frac{{{\hat{S}}_{i}}^{2}}{S^{2}}$$
0	0,000016947	0,288281944	-1,243816306	-23,63250982
20	0,000010092	0,171672944	-1,762164103	-33,48111795
40	0,000079063	1,344924489	0,29633787	5,630419521
60	0,000138155	2,35012639	0,85446911	16,23491309
80	0,000049674	0,844994233	-0,168425476	-3,200084046
Suma:	-38,44837921

Ostatecznie otrzymujemy wartość statystyki M:

M₀=-38,44837921

Wyznaczenie Obszaru krytycznego

Jeżeli hipoteza zerowa H₀ jest prawdziwa to statystyka M ma asymptotyczny rozkład X² o (k-1) stopni swobody.

Obszar krytyczny

R_α=(X_1 − α²;∞)

Dla przyjętego poziomu ufności (1-α= 0,95) kwantyl rozkładu X²_1-α ma wartość równą 9,4877 wobec czego obszar krytyczny ma postać

R_α=( 9, 4877;∞) i M₀∉ R_α

co oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀ czyli nie wykazano również stopnia rozproszenia błędów pomiarowych dla badanych wysokości pomiarowych. Reasumując błąd pomiarowy nie zależy od wysokości pomiarowej.