Dla rozkładu jednostajnego na przedziale [-1,3] znaleźć

a)Stałą C

b)F_Q dystrybuantę?

c)taką wartość x aby prawdopodobieństwo przedziału (x,∞)=0,75

d)wartość średnią m⁽¹⁾ (Q)

Rozwiązanie a

$gestosc\ F_{Q}\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix} C*\left( x + 1 \right) \mid \ - 1 < x < 3 \\ 0\ poza\ \ przedzialem \\ \end{matrix} \right.\ $

∫_Rf(x)dx = 1

∫₋₁³C * (x+1)dx = 1

$C*\left( \frac{\left( x + 1 \right)^{2}}{2}\text{\ \ }\begin{matrix} \mid \\ \mid \\ \end{matrix}_{x = - 1}^{3} \right) = 1\ $ $\frac{4^{2} - \left( - 0 \right)^{2}}{2} = 1$ $\frac{2}{16} = \frac{1}{8}\ $

2 sposób rozwiązania Polecenia a

$C*\frac{h*4}{2} = 1$

$\frac{16C}{2} = 1$

$\frac{1}{8}$

b)

$F_{Q}^{(x)} = \int_{- \infty}^{x}{f\left( u \right)du = \left\{ \begin{matrix} 0_{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x < - 1 \\ \int_{- 1}^{x}{\frac{1}{8}\left( u + 1 \right)du = \frac{{(x + 1)}^{2}}{16}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - 1 < x \leq 3} \\ \int_{- 1}^{3}{\frac{1}{8}\left( u + 1 \right)du = \frac{{(3 + 1)}^{2}}{16} = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x > 3} \\ \end{matrix} \right.\ }$

c)

$Q\left( x,\infty \right) = \frac{3}{4}$ $1 - F_{Q}\left( x \right) = \frac{3}{4}\ \ \ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ \ \ F_{Q}\left( x \right) = \frac{1}{4}$

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{16} = \frac{1}{4}$ ${(\frac{x + 1}{4})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2\text{\ \ \ }}\ \ \ \ (\frac{x + 1}{4} = \frac{1}{2}\text{\ \ lub\ \ }\frac{x + 1}{4} = - \frac{1}{2})$

↓ ↓

X=1 x=-3 NIE ZAWIERA SIĘ

d)

(u+1)*u=(u²+u)

$m_{Q}^{(1)} = \int_{- \infty}^{\infty}{f\left( u \right)*u^{1}\ du\ = \ \ \int_{- 1}^{3}{\frac{1}{8}\left( u + 1 \right)*u\ \ du = \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \frac{u^{3}}{3}\text{\ \ }\begin{matrix} \mid \\ \mid \\ \end{matrix}_{u = - 1}^{3}\ + \frac{u^{2}}{2}\text{\ \ }\begin{matrix} \mid \\ \mid \\ \end{matrix}_{u = - 1}^{3} \\ \text{\ \ } \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{8}\left( \left( \frac{3^{3}}{3} - \frac{{( - 1)}^{3}}{3} \right) + \left( \frac{{( - 3)}^{2} - {( - 1)}^{2}}{2} \right) \right) = \frac{1}{8}\left( \frac{28}{3} + 4 \right) = \frac{40}{8*3} = \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{3}}}}$