Akademia Górniczo – Hutnicza

Im. Stanisława Staszica

w Krakowie

Wydział Inżynierii
Mechanicznej i Robotyki

KONSTRUKCJE STALOWE

PROJEKT 4

Temat: Sprawdzić nośność obciążonego osiowo, ściskanego słupa stalowego o długości l. (temat 10)

Wykonał: Górski Grzegorz

Gr. 4A, rok IIIA, rok akademicki 2009/2010

Data oddania: ………………………..

Dane:

Schemat słupa Przekrój spawany słupa „b”

− dla stali 18G2A :  f_d = 305 MPa,  R_e = 355 MPa (tabl. 2)

− wspolczynniki wyboczeniowe :  μ_x = μ_y = 1

− modul Younga dla stali :  E = 205 GPa

− modul Kirhoffa dla stali :  G = 80 GPa

Ustalenie klasy przekroju

$\varepsilon = \sqrt{\frac{215}{f_{d}}} = \sqrt{\frac{215}{305}} = 0,84$

- dla środnika (tabl. 6, poz. a) dla ∝ = 0, 5

$\frac{b}{t} = \frac{b_{3} - 2*t_{1}}{t_{3}} = \frac{180 - 2*5}{6} = 28,33$

$\frac{b}{t} = 28,33 < 66\varepsilon = 55,44$ (klasa 1)

- dla ścianek bocznych(tabl. 6, poz. b)

$$\frac{b}{t} = \frac{b_{1}}{t_{1}} = \frac{160}{5} = 32$$

$\frac{b}{t} = 32 > 14\varepsilon = 11,76$ (klasa 4)

Przekrój danego ceownika zalicza się do klasy 4, współczynnik redukcyjny nośności obliczeniowej przekroju ψ przyjmuje się wg pkt. 4.2.2.3.

Smukłość względna ścianki wg wzoru(7):

$${\overset{\overline{}}{\lambda}}_{p} = \frac{b}{t}\frac{K}{56}\ \sqrt{\frac{f_{d}}{215}}$$

b, t szerokość i grubość ścianki wg tabl. 6

K współczynnik podparcia i obciążenia ścianki wg tabl. 8

$\frac{b}{t} = 55,44$

K = 2, 2 + 0, 8ν

Ponieważ występują tylko naprężenia ściskające, przyjęto ν = 1,   K = 2, 2 + 0, 8 * 1 = 3

$${\overset{\overline{}}{\lambda}}_{p} = 32*\frac{3}{56}\ \sqrt{\frac{305}{215}} = 2,04$$

Znając smukłość względną ${\overset{\overline{}}{\lambda}}_{p} = 2,04$ odczytano współczynnik niestateczności miejscowej φ_p = 0, 254 z tablicy 9.

Współczynnik niestateczności miejscowej w stanie krytycznym wynosi wg 4.2.2.3

ψ = φ_p = 0, 254

Pole powierzchni ceownika:

A = 2(t₁ b₁)+t₃b₃ = 2 * (5*160) + 6 * 180 = 2680 [mm²]

Nośność obliczeniowa przekroju przy osiowym ściskaniu wg wzoru (33):

N_Rc = ψAf_d 

N_Rc = 0, 254 * 2680 * 305 = 207 [kN]

Smukłość względna pręta dla przekroju klasy 4 wg wzoru (34)

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 1,15\sqrt{\frac{N_{\text{Rc}}}{N_{\text{cr}}}}$$

$$I_{y} = \frac{\left( b_{1} + t_{3} \right)b_{3}^{3}}{12} - \frac{b_{1}\left( b_{3} - 2t_{1} \right)^{3}}{12} = \frac{\left( 160 + 6 \right)*180^{3}}{12} - \frac{160*\left( 180 - 2*5 \right)^{3}}{12} = 1517\lbrack cm^{4}\rbrack\ $$

$$i_{y} = \sqrt{\frac{I_{y}}{A}} = \sqrt{\frac{1517\lbrack cm^{4}\rbrack}{2680\lbrack mm^{2}\rbrack} =}75,459\ \lbrack mm\rbrack$$

$$I_{x} = 2\frac{t_{1}{(b_{1} + t_{3})}^{3}}{3} + \frac{\left( b_{3} - 2t_{1} \right)t_{3}^{3}}{3} = 2*\frac{5*\left( 160 + 6 \right)^{3}}{3} + \frac{\left( 180 - 2*5 \right)*6^{3}}{3} = 1526\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

$$i_{x} = \sqrt{\frac{I_{x}}{A}} = \sqrt{\frac{1526\lbrack cm^{4}\rbrack}{2680\lbrack mm^{2}\rbrack}} = 75,234\ \lbrack mm\rbrack$$

$$\lambda_{p} = \frac{\pi}{1,15}\sqrt{\frac{E}{f_{d}}} = 84\sqrt{\frac{215}{f_{d}}} = 70,52$$

i_s² = i_x² + i_y² + y_s²

$$y_{s} = e + \frac{I_{1}h}{I_{y}}$$

$$e = y_{c} - \frac{t_{3}}{2}$$

$$y_{c} = \frac{S_{x}}{A}$$

$$S_{x} = b_{3}t_{3}\frac{\text{\ t}_{3}\text{\ \ }}{2} + 2\left( t_{1}b_{1}\left( t_{3} + \frac{b_{1}}{2} \right) \right) = 140840\ \lbrack mm^{3}\rbrack$$

$$y_{c} = \frac{140850}{2680} = 52,55\ \lbrack mm\rbrack$$

$$e = 52,55 - \frac{6}{2} = 49,55\ \lbrack mm\rbrack$$

$$h = b_{1} + \frac{t_{3}}{2} = 160 + \frac{6}{2} = 163\ \lbrack mm\rbrack$$

$$y_{s} = 49,55\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack + \frac{635\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack*163\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}{1517\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack} = 117,78\lbrack mm\rbrack$$

$$I_{1} = \frac{{(b}_{1} + t_{3})t_{1}^{3}}{12} + t_{1}{(b}_{1} + t_{3})\left( \frac{b_{3}}{2} - \frac{t_{1}}{2} \right)^{2} = \frac{\left( 160 + 6 \right)*5^{3}}{12} + 5*\left( 160 + 6 \right)\left( \frac{180}{2} - \frac{5}{2} \right)^{2} = 635\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

$$I_{3} = \frac{t_{3}\left( b_{3} - 2t_{1} \right)^{3}}{12} = \frac{6*\left( 180 - 2*5 \right)^{3}}{12} = 245,65\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

$$I_{\omega} = \frac{h^{2}}{3}\ \frac{I_{1}^{2} + 2I_{1}I_{3}}{I_{y}} = \frac{163^{2}\lbrack mm\rbrack}{3}*\frac{635^{2}\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack + 2*635\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack*245,65\lbrack cm^{4}\rbrack}{1517\lbrack cm^{4}\rbrack} = 41750\ \lbrack cm^{6}\rbrack$$

$$I_{T} = \frac{1}{3}\left( 2b_{1}t_{1}^{3} + b_{3}t_{3}^{3} \right) = \frac{1}{3}\left( 2*160*5^{3} + 180*6^{3} \right) = 3,944\ \lbrack cm^{4}\rbrack$$

i_s² = 75, 2² + 75, 5² + 117, 78² = 252, 27 [cm²]

$$N_{y} = \frac{\pi^{2}EI_{y}}{\left( \mu_{y}l \right)^{2}} = \frac{\pi^{2}*205*\left\lbrack \text{GPa} \right\rbrack*1517\lbrack cm^{4}\rbrack}{\left( 1*3\left\lbrack m \right\rbrack \right)^{2}} = 3,41\ MN$$

$$N_{z} = \frac{1}{i_{s}^{2}\ }\left( \frac{\pi^{2}EI_{\omega}}{\left( \mu_{\omega}l \right)^{2}} + GI_{T} \right)$$

$$N_{z} = \frac{1}{252,27\lbrack cm^{2}\rbrack}\left( \frac{\pi^{2}*205\left\lbrack \text{GPa} \right\rbrack*41750\left\lbrack cm^{6} \right\rbrack}{(0,7*3{\left\lbrack m \right\rbrack)}^{2}} + 80\left\lbrack \text{GPa} \right\rbrack*3,944\left\lbrack cm^{4} \right\rbrack \right) = 884,36\ kN$$

$$N_{\text{cr}} = N_{\text{yz}} = \frac{\left( N_{y} + N_{z} \right) - \sqrt{\left( N_{y} + N_{z} \right)^{2} - 4N_{y}N_{z}(1 - \frac{\mu y_{s}^{2}}{i_{s}^{2}})}}{2(1 - \frac{\mu y_{s}^{2}}{i_{s}^{2}})}$$

$$N_{\text{cr}} = \frac{\left( 3,41 + 884,36 \right) - \sqrt{\left( 3,41 + 884,36 \right)^{2} - 4*3,41*884,36(1 - \frac{{1*117,78\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}^{2}}{252,27\left\lbrack cm^{2} \right\rbrack})}}{2*(1 - \frac{{1*117,78\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack}^{2}}{252,27\left\lbrack cm^{2} \right\rbrack})}$$

N_cr = 763, 3 kN

Nośność (stateczność) elementów ściskanych osiowo sprawdza się wg wzoru (39)

$$\overset{\overline{}}{\lambda} = 1,15\sqrt{\frac{N_{\text{Rc}}}{N_{\text{cr}}}} = 1,15\sqrt{\frac{207\left\lbrack \text{kN} \right\rbrack}{763,3\ \left\lbrack \text{kN} \right\rbrack}} = 0,6$$

wg krzywej c (tabl. 10 i 11) φ_y = 0, 807

N ≤ φN_Rc = 0, 807 * 207[kN] = 167 [kN]

Aby warunek na nośność badanego słupa stalowego był spełniony, obciążenie osiowe jakim zostanie poddany ten słup nie może przekroczyć 167 kN.