Politechnika Wrocławska Legnica, 27 grudnia 2010

Wydział Geoinżynierii Górnictwa i Geologii

Hydrogeologia – laboratorium

PARAMETRY FILTRACJI NIELAMINARNEJ

WYKONALI:

Monika Kaźmierczak

1. WSTĘP

Filtracja jest to ruch wody w skałach porowatych polegająca na bardzo powolnym przesączaniu się wody przez system kanalików i porów. Filtrację traktuje się jako ruch laminarny czyli warstwowy, w którym cząstki wody w leżących obok siebie elementarnych warstewkach poruszają się równolegle do siebie i do osi przewodu. Ruch laminarny występuje przy niewielkich prędkościach przepływu cieczy. W miarę wzrostu prędkości, powyżej pewnej wielkości zwanej prędkością graniczną obserwuje się pojawienie ruchu burzliwego zwanego turbulentnym zaś w hydrogeologii zwanym fluacją lub filtracją turbulentną. W przypadku tego ruchu cząsteczki wody obok ruchu postępowego (w pewnym sensie laminarnego) wykonują też ruchy poprzeczne do wypadkowego kierunku przepływu oraz ruchy wirowe. Drogi cząsteczek krzyżują się, a miejscami dochodzi do chwilowego przerwania ciągłości poruszającej się masy wodnej. Dla przepływu laminarnego prędkość filtracji, zgodnie z prawem Darcy’ego, jest w zależności liniowej od spadku hydraulicznego. Natomiast prędkość filtracji dla ruchu turbulentnego jest proporcjonalna do spadku hydraulicznego w potędze 1/2. W przyrodzie warstwy wodonośne są bardzo często niejednorodne pod względem właściwości fizycznych. Bardzo często zdarza się, że w partiach i odcinkach tych samych warstw może zachodzić równocześnie filtracja laminarna i turbulentna. Nawet w skałach jednorodnych może być taka sytuacja, że w części kanalików o najmniej-szym przekroju filtracja będzie laminarna, natomiast w kanalikach o dużych prze-krojach filtracja turbulentna. Przypadek taki jest nazywany filtracją mieszaną lub nieliniową. Przyjmuje się, że prędkość filtracji jest wówczas zależna od spadku hydra-ulicznego o wykładniku potęgowym zawartym w przedziale między 1 a 2 (1< n < 2). Ruch filtracyjny wód podziemnych może być ustalony lub nieustalony. Rozróżniamy więc filtrację ustaloną jako ruch, w którym parametry strumienia wody podziemnej, takie jak np. ciśnienie i prędkość, w określonym punkcie nie zmieniają się w czasie. Gdy parametry te ulegają zmianom w czasie, wówczas mamy do czynienia z filtracją nieustaloną. Taka filtracja jest w warunkach naturalnych bardzo częsta, choćby z uwagi na wahania stanów zwierciadła wody, a co za tym idzie i zmiany spadków hydraulicznych. Rodzaj filtracji określa wartość wykładnika potęgowego we wzorze Smrekera - Missbacha :

, gdzie:

n=1 ruch podlega prawu filtracji laminarnej - prawo Darcy’ego,

n=2 ruch podlega prawu filtracji turbulentnej - formuła Chezy-Krasnopolskiego,

1< n < 2 (często przyjmowany n=3/2) ruch podlega prawu filtracji mieszanej.

- prędkość ruchu w m/s,

- współczynnik filtracji nieliniowej w m/s.

W przypadku filtracji liniowej prędkość filtracji jest określana na podstawie wzoru Darcy’ego:

Logarytmując obustronnie równanie Darcy oraz Smrekera-Missbacha otrzymujemy:

i -granice stosowalności prawa Darcy,

A, n – parametry przepływu nielaminarnego.

Wykres 1.

1. SPOSÓB WYZNACZENIA GRANIC STOSOWALNOŚCI PRAWA DARCY′EGO ORAZ PARAMETRÓW PRZEPŁYWU NIELAMINARNEGO

Badania których celem jest wyznaczenie granic stosowalności prawa Darcy oraz parametrów przepływu nielaminarnego polegają na pomiarze wydatku wody filtrującej przez próbkę gruntu przy różnych spadkach hydraulicznych. Schemat aparatury do badania przedstawia rysunek nr 1. Odczyt spadków hydraulicznych jest dokonywany na rurkach piezometrycznych. Do regulowania wielkości spadku hydraulicznego służy zawór nr 1 zaś na którym dokonuje się również pomiaru wydatku wody.

Rysunek 1. Schemat stanowiska do przepływu nielaminarnego

Na tak przygotowanej próbce wykonuje się badania przepływu wody w warunkach ruchu ustalonego. Polegają one na wytworzeniu różnicy wysokości hydraulicznych H w komorach wodnych na spodzie i górze badanej próbki i pomiarze wydatku przepływającej przez próbkę wody. Różnicę H zadaje się poprzez odpowiednią regulację zaworu na wypływie, a jej wielkość obserwuje się na podłączonych do obu komór piezometrach. Po ustaleniu różnicy poziomów na piezometrach dokonuje się pomiaru wydatku przepływającej przez próbkę wody Q. Wydatek wody określa się mierząc objętość wypływającej wody V w czasie t.

Q=

Badania prowadzi się przy różnych spadkach hydraulicznych J.

J =

Wielkość spadków hydraulicznych dobiera się w zależności od uziarnienia skały lub od rozwartości szczelin. Dla każdego spadku hydraulicznego wykonujemy pomiar wydatku dwukrotnie.

Prędkość filtracji wyrażamy wzorem:

Wartości spadków hydraulicznych i prędkości filtracji określane są z błędami

wynikającymi z dokładności instrumentów pomiarowych i specyfiki przepływu burzliwego. Niepewności pomiarowe J i v określone metodą różniczki zupełnej wynoszą:

1. PRZEBIEG BADAŃ.

Granice stosowania prawa Darcy i parametry przepływu nielaminarnego określono dla

piasku gruboziarnistego. Badanie przeprowadzono na próbce o średnicy 70,0 mm i wysokości 37 mm w temperaturze 17⁰ C. Dla małych spadków hydraulicznych przyjęto czas pomiaru 60 s, natomiast dla większych stopniowo skracano poprzez 30s, 20 s, aż do 10 s. Czas mierzono stoperem z dokładnością 0,1 s. Największy uzyskany spadek hydrauliczny przy całkowicie otwartym zaworze wyniósł 10. Przy określaniu spadku hydraulicznego jako wartości H¹ i H² przyjmowano poziomy wody w piezometrach odczytywane na skali milimetrowej. W przypadku wahań zwierciadła wody występujących po przekroczeniu granicy przepływu laminarnego przyjmowano średnią wartość uwzględniając amplitudę wahań. Jeżeli wahania nie były widoczne jako błąd oznaczania H₁ i H₂ przyjmowano 1 mm. W przypadku wahania poziomu wody w piezometrze jako błąd oznaczenia przyjmowano amplitudę wahań. Pomiar objętości wykonywano menzurkami o różnej pojemności 50, 100 i 250cm³. dokładność podziałek dla menzurek o pojemności 50 i 100 cm³ wynosiła 1 cm³, a dla menzurki o pojemności 250 cm³ – 2 cm³. Jako błąd oznaczenia objętości V przyjmowano maksymalną różnicę objętości przepływającej wody przy tym samym spadku hydraulicznym nie mniejszą jednak niż objętość wynikająca z podziałki. Jest to związane z pulsacyjnym przepływem przy ruchu nielaminarnym. Pozostałe błędy oznaczeń wynikały z dokładności używanych instrumentów pomiarowych tj.

l – 1,0 mm; d –1,0 mm; t – 0,1 s. Długość drogi filtracji wynosiła l = 3,7 cm.

PRZYKŁADOWE OBLICZENIA (dla pierwszego przykładu):

Średnica cylindra z wodą i próbką gruntu wynosiła d= 7cm, więc powierzchnia przekroju poprzecznego próbki obliczona zgodnie ze wzorem wynosi:

F=0,2538,465[cm]

Spadek hydrauliczny obliczany zgodnie ze wzorem:

J =

J = (160,2-159,2) : 3,7 = 1: 3,7 = 0,27[cm]

ΔJ = [(0,1/3,7)+(0,1/3,7)+(0,1-0,1)/3,7] * 0,1 = (0,027+0,027+0)*0,1= 0,054

Objętość średnią wydatku wody obliczamy zgodnie ze wzorem:

V_śr = (V₁+V₂) : 2 = (10,9+10,5):2 = 21,4:2 = 10,7 [cm³]

ΔV_śr = V₁-V₂ = 10,9-10,5 = 0,4 [cm³]

Prędkość filtracji została obliczona ze wzoru:

v=

v= (4*10,7) : (3,14*7²*60)=42,8 : 9231,6=0,0046 [cm/s]

$\mathrm{v}\mathrm{=}\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{\pi}}\left( \frac{\mathrm{0,4}}{\mathrm{49*60}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2*10,7}}{\mathrm{343*60}}\mathrm{*0,1 +}\frac{\mathrm{10,7}}{\mathrm{49*3600}}\mathrm{*0,1} \right)$ = 0,0015[cm/s]

W celu określenia granic stosowania prawa Darcy i parametrów przepływu

nielaminarnego sporządzono najpierw wykres v = f(J) nanosząc spadki hydrauliczne J i

odpowiadające im prędkości filtracji v.

Wykres 2. Zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego.

Na podstawie powyższych wartości obliczono graniczny spadek hydrauliczny i graniczną

wartość prędkości filtracji, z czego wartość n, k i A wyznaczono z wykresu 2 i wynoszą:

n=1/1,869 = 0,54

k= 0,0494

A= 0,0038

Inny, mniej dokładny sposób polega na graficznej interpretacji zależności prędkości

filtracji od spadku hydraulicznego.

Wykres 3. Wykres zależności prędkości filtracji od spadku hydraulicznego we współrzędnych

logarytmicznych.

Wartości wyznaczone z powyższego wykresu:

lg v = lg k + lg J

lg k = - 1,49

a stąd k = 10^-1,49 = 0,032 cm/s

lg A = - 1,25

a stąd A = 10^-1,25 = 0,056 cm/s

Wykładnik n obliczono z wzoru wyznaczając 2 punkty należące do prostej (lgJ1, lgv1) i (lgJ2, lgv2)

n= (1,00-0,00):(-0,021-(-0,75))=1:0,73=1,37

lg J_gr = 0,75

a stąd J_gr = 10^0,75= 5,6

lg v_gr = - 0,51

a stąd v_gr = 10^-0,51= 0,31 cm/s.

Wyniki badań zestawiono w tabeli nr 1.

Interpretację graficzną wyników zestawionych w tabeli 1 stanowi wykres 2 i wykres 3.

1. WNIOSKI

• Wykonane badania dowodzą, że dla badanego piasku, w temperaturze 17⁰C przepływ nielaminarny zachodzi po przekroczeniu spadku hydraulicznego o wartości Jgr = 5,6. Odpowiadająca graniczna wartość prędkości filtracji wynosi vgr = 0,31 cm/s.

• Określona wartość współczynnika filtracji dla przepływu laminarnego k wynosi 0,0494 cm/s. Po przekroczeniu Jgr i vgr w zakresie spadków hydraulicznych od 5,6 do 14 zależność prędkości filtracji od spadku hydraulicznego można opisać formułą Smrekera-Missbacha w postaci:

gdzie v i A wyrażone są w cm/s

• Wyniki uzyskane w laboratorium świadczą o tym, iż w trakcie badań dokonała się

zmiana charakteru ruchu z laminarnego na nielaminarny. Otrzymany przez nas wykładnik potęgowy równy n = 1,37, więc mieści się w granicach określonych przez Smrekera-Missbacha dla przepływów nieliniowych, który zawiera się w przedziale od 1 do 2.

• Nie poprawność badań może wynikać z niedokładnych obliczeń lub pomyłek w trakcie badania np. nie dokładnie ustalonego przepływu, źle zmierzonych próbek wody, złego określenia czasu itp.

Nr	H1	∆H1	H2	∆H2	H1-H2	J	∆J	V1	V2	Vsr	∆V	t
	cm	cm	cm	cm	cm	0	-	cm3	cm3	cm3	cm3	s
1	160,2	0,1	159,2	0,1	1	0,263	0,079	10,9	10,5	10,7	0,4	60
2	160,2	0,1	158,2	0,1	2	0,526	0,105	18,5	18,5	18,5	0	30
3	160	0,1	157,2	0,1	2,8	0,737	0,126	19	18,9	18,95	0,1	20
4	159,7	0,1	155,7	0,1	4	1,053	0,158	30	30,5	30,25	0,5	20
5	158,8	0,1	152,8	0,1	6	1,579	0,211	55	55	55	0	20
6	157,5	0,1	149,5	0,1	8	2,105	0,263	79	79	79	0	20
7	157,8	0,1	147,3	0,1	10,5	2,763	0,329	102	102	102	0	20
8	155,9	0,1	144,5	0,1	11,4	3,000	0,353	117	117	117	0	20
9	153,5	0,1	137,5	0,1	16	4,211	0,474	132	132	132	0	15
10	151,3	0,1	131	0,1	20,3	5,342	0,587	169	170	169,5	1	15
11	149	0,1	124	0,1	25	6,579	0,711	210	210	210	0	15
12	144,1	0,1	116,1	0,1	28	7,368	0,789	155	154	154,5	1	10
13	145	0,1	115	0,1	30	7,895	0,842	172	171	171,5	1	10
14	133	0,1	95,5	0,1	37,5	9,868	1,039	214	213	213,5	1	10
15	125,5	0,1	79,8	0,1	45,7	12,026	1,255	257	258	257,5	1	10
16	115,2	0,1	62,2	0,1	53	13,947	1,447	296	295	295,5	1	10
17	101,5	0,1	42,5	0,1	59	15,526	1,605	335	334	334,5	1	10
18	88	0,1	19,5	0,1	68,5	18,026	1,855	374	374	374	0	10

Tabela 1. Wyniki badań zależności prędkości filtracji od spadku hydraulicznego.

v	J+∆J	J-∆J	∆v	v+∆v	v-∆v	lgJ	lg(J-∆J)	lg(J+∆J)	lgv	lg(v-∆v)	lg(v+∆v)
0	-	-	cm/s	cm/s	cm/s
0,005	0,342	0,184	0,0015	0,0061	0,0031	-0,580	-0,735	-0,466	-2,334	-2,505	-2,212
0,016	0,632	0,421	0,0046	0,0207	0,0114	-0,279	-0,376	-0,200	-1,795	-1,943	-1,685
0,025	0,863	0,611	0,0073	0,0319	0,0173	-0,133	-0,214	-0,064	-1,609	-1,761	-1,496
0,039	1,211	0,895	0,0121	0,0514	0,0272	0,022	-0,048	0,083	-1,406	-1,565	-1,289
0,071	1,789	1,368	0,0208	0,0922	0,0507	0,198	0,136	0,253	-1,146	-1,295	-1,035
0,103	2,368	1,842	0,0298	0,1325	0,0728	0,323	0,265	0,374	-0,989	-1,138	-0,878
0,133	3,092	2,434	0,0385	0,1711	0,0940	0,441	0,386	0,490	-0,878	-1,027	-0,767
0,152	3,353	2,647	0,0442	0,1962	0,1078	0,477	0,423	0,525	-0,818	-0,967	-0,707
0,229	4,684	3,737	0,0669	0,2955	0,1618	0,624	0,573	0,671	-0,641	-0,791	-0,529
0,294	5,929	4,755	0,0876	0,3812	0,2060	0,728	0,677	0,773	-0,532	-0,686	-0,419
0,364	7,289	5,868	0,1064	0,4702	0,2574	0,818	0,769	0,863	-0,439	-0,589	-0,328
0,401	8,158	6,579	0,1213	0,5228	0,2802	0,867	0,818	0,912	-0,396	-0,553	-0,282
0,446	8,737	7,053	0,1344	0,5800	0,3113	0,897	0,848	0,941	-0,351	-0,507	-0,237
0,555	10,908	8,829	0,1667	0,7214	0,3881	0,994	0,946	1,038	-0,256	-0,411	-0,142
0,669	13,282	10,771	0,2005	0,8696	0,4687	1,080	1,032	1,123	-0,174	-0,329	-0,061
0,768	15,395	12,500	0,2297	0,9975	0,5382	1,144	1,097	1,187	-0,115	-0,269	-0,001
0,869	17,132	13,921	0,2596	1,1288	0,6096	1,191	1,144	1,234	-0,061	-0,215	0,053
0,972	19,882	16,171	0,2874	1,2592	0,6845	1,256	1,209	1,298	-0,012	-0,165	0,100