Szczególnym przypadkiem ruchu drgającego jest ruch harmoniczny. Jest to ruch jaki wywołuje siła wprost proporcjonalna do wartości wychylenia (względem wychylenia równowagi) i skierowana przeciwnie do wychylenia.
F = −kx
k- współczynnik proporcjonalności
x- wychylenie z położenia równowagi
A- amplituda wychylenia
Kinetyczne równanie ruchu harmonicznego ma postać:
x = Asin(ωt + φ0) $- A \leq x \leq A\ \ \ \ \ \ \ \ \ \omega = \frac{2\pi}{T}$ $\frac{1}{T} = f$ φ = ωt + φ0
ω- częstość kołowa
T- okres drgań
f- częstotliwość drgań
φ- faza ruchu harmonicznego
Prędkość w ruchu harmonicznym:
V = Aωcos(ωt + φ0)
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym:
a = −Aω2sin(ωt + φ0) a = −ω2x
Siła w ruchu harmonicznym:
Z drugiej zasady dynamiki F = ma, więc: F = −mω2x lub F = −kx
Okres drgań w ruchu harmonicznym ma postać:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$
Ćwiczenie wykonujemy w celu poznania i zrozumienia praw rządzących ruchami drgań harmonicznych oraz drgań harmonicznych quasi-sprężystych. Dzięki doświadczeniu poznajemy zasadę działania i wzory opisujące okresy drgań wahadła prostego i różnicowego dla wahań izochronicznych oraz przy użyciu wahadła różnicowego wyznaczamy przyspieszenie ziemskie.
Do wykonania ćwiczenia używamy wahadłą różnicowego (wahadło matematyczne obarczone jest dużym błędem), gdzie długość nici jest łatwa do regulowania. Na górnej belce umocowana jest nić o długości 160 cm., na końcu której umocowana jest metalowa kulka. Nić jest przeciągnięta przez szczelinę dolnej belki, której krawędź jest osią drgań wahadła oraz dzięki niej możemy regulować długość nici. Do dolnej belki przymocowana jest również miarka milimetrowa umożliwiająca dokładną regulację długości.
Pierwszy pomiar wykonujemy dla możliwie najdłuższej nici. Następnie skracamy nić o 6 cm. W ten sposób wykonujemy kolejne 4 pomiary. Mierzymy czas ti trwania n wahnięć. Następnie wyliczamy okres drgań Ti dla danej długości nici ze wzoru:
$$T_{i} = \frac{t_{i}}{n}$$
Lp. | Si [cm] | n | ti [s] | Ti [s]2 |
---|---|---|---|---|
1 | 160 | 100 | 151,1 | 1,511 |
2 | 154 | 100 | 141,2 | 1,412 |
3 | 148 | 100 | 134,4 | 1,344 |
4 | 142 | 100 | 125,5 | 1,255 |
5 | 136 | 100 | 115,2 | 1,152 |
Następnie dla 10 przypadków wyliczamy wartości przyspieszenia ziemskiego (wszystkie możliwe kombinacje różnic Si z zastrzeżeniem że S1>S2)
Wartość S1-S2 równa się Δl długości wahadłą wraz z wyznaczonym T1 i T2 postawiamy do wzoru dla obliczenia wartości przyspieszenia ziemskiego:
$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T_{1}^{2} - T_{2}^{2}}$$
S1 | S2 | Δl | T1 | T2 | |
---|---|---|---|---|---|
1-2 | 1,6 | 1,54 | 0,06 | 1,511 | 1,412 |
1-3 | 1,6 | 1,48 | 0,12 | 1,511 | 1,344 |
1-4 | 1,6 | 1,42 | 0,18 | 1,511 | 1,255 |
1-5 | 1,6 | 1,36 | 0,24 | 1,511 | 1,152 |
2-3 | 1,54 | 1,48 | 0,06 | 1,412 | 1,344 |
2-4 | 1,54 | 1,42 | 0,12 | 1,412 | 1,255 |
2-5 | 1,54 | 1,36 | 0,18 | 1,412 | 1,152 |
3-4 | 1,48 | 1,42 | 0,06 | 1,344 | 1,255 |
3-5 | 1,48 | 1,36 | 0,12 | 1,344 | 1,152 |
4-5 | 1,42 | 1,36 | 0,06 | 1,255 | 1,152 |
Po obliczeniu przyspieszenia ziemskiego obliczamy jego średnią wartość g’, a następnie metodą Studenta-Fishera błąd obliczeń.
Otrzymane wyniki są następujące:
g' | Σg | Σ(g-g')^2 | S | Δg |
---|---|---|---|---|
10,226 | 102,257 | 12,121 | 1,161 | 0,862 |
$$g = {(10,26}_{-}^{+}0,86)\ \frac{m}{s^{2}}$$
$$g = {(10,26}_{-}^{+}0,86)\ \frac{m}{s^{2}}$$
Niedokładność naszych obliczeń można wytłumaczyć przedewszystkim niedokładnością pomiarów oraz niedrobiazgowym posługiwaniem się użądzeniem pomiarowym tzn. odchylaniem kulki o zbyt duży kąt. Kolejnym czynnikiem jest zmiana szerokości geograficznej ziemi. Wraz ze zmniejszeniem się szerokości, wartość przyspieszenia ziemskiego maleje. Są to główne czynniki wpływające na odstępstwo od teoretycznej wartości.
∖n