Wstęp:
W poniższym ćwiczeniu wykorzystaliśmy wahadło różnicowe w celu wyznaczenia z dość dużą dokładnością przyspieszenia ziemskiego g. Wahadło to jest pewną odmianą wahadła prostego. Różni się ono od wahadła prostego tym, że pozwala przesuwać punkt zawieszenia. Powoduje to, że możliwe jest mierzenie nie bezwzględnej długości wahadła, lecz zmiany jego długości. Jak wiemy, mierząc długość wahadła l oraz czas jednego drgania, możliwe jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g. Jednak z uwagi na to, że pomiar długości wahadła od punktu zawieszenia do środka masy ciężarka jest dość złożony i ponadto obarczony znacznym błędem stosujemy, więc wahadło różnicowe.
Istotą pomiaru jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła prostego. Okres drgań wahadła T, jego długość l, oraz wartość przyspieszenia g uzależnione są wzorem:
Aby wyznaczyć wartość g należy znaleźć okres wahadła i znać jego długość. Dokładny pomiar długości l jest nieco utrudniony ( jest to odległość punktu zawieszenia wahadła od środka masy ciężarka). Stosuje się, więc metodę Bessela. Polega ona na wyznaczeniu okresu T1 drgań wahadła o nieznanej długości i okresu T2 drgań wahadła skróconego o znaną długość Δl. Wówczas:
Korzystając z tej zależności łatwo wyznaczyć wartość przyspieszenia g.
Wahadło matematyczne jest to punkt materialny zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o niewielki kąt wywołujemy drgania dokoła położenia równowagi. Zakłada się, że amplituda drgań jest stała, ( choć w praktyce stopniowo maleje). Własność tę nazywamy izochronizmem. Ruch wahadła matematycznego w przypadku małych wychyleń możemy uważać za harmoniczny, (czyli zależność od czasu opisana jest przez funkcje harmoniczne). Okres wahadła zależy od długości nici i wartości przyspieszenia. Nie zależy natomiast od masy punktu materialnego ani od amplitudy.
Tabela wyników pomiarów:
Lp. | Si [cm] | n | ti [s] | Ti [s] |
---|---|---|---|---|
1 | 160,5 | 100 | 167 | 1,67 |
2 | 154,5 | 100 | 157 | 1,57 |
3 | 148,5 | 100 | 150 | 1,50 |
4 | 142,5 | 100 | 143 | 1,43 |
5 | 136,5 | 100 | 134 | 1,34 |
Lp. | S1 | S2 | △l | T1 | T2 | g | ̅g |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1-2 | 160,5 | 154,5 | 0,06 | 1,67 | 1,57 | 7,30 | |
1-3 | 160,5 | 148,5 | 0,12 | 1,67 | 1,50 | 8,78 | |
1-4 | 160,5 | 142,5 | 0,18 | 1,67 | 1,43 | 9,54 | |
1-5 | 160,5 | 136,5 | 0,24 | 1,67 | 1,34 | 9,53 | |
2-3 | 154,5 | 148,5 | 0,06 | 1,57 | 1,50 | 11,01 | 9,94 |
2-4 | 154,5 | 142,5 | 0,12 | 1,57 | 1,43 | 11,27 | |
2-5 | 154,5 | 136,5 | 0,18 | 1,57 | 1,34 | 10,61 | |
3-4 | 148,5 | 142,5 | 0,06 | 1,50 | 1,43 | 11,54 | |
3-5 | 148,5 | 136,5 | 0,12 | 1,50 | 1,34 | 10,42 | |
4-5 | 142,5 | 136,5 | 0,06 | 1,43 | 1,34 | 9,49 |
Obliczenia:
Okres drgań:
$$T_{\mathbf{i}}\mathbf{=}\frac{t_{i}}{n}$$
t - czas wahania się wahadła
n - ilość wahnięć w czasie t
$$T_{1} = \frac{t_{1}}{n} = \frac{167}{100} = 1,67$$
$$T_{2} = \frac{t_{2}}{n} = \frac{157}{100} = 1,57$$
$$T_{3} = \frac{t_{3}}{n} = \frac{150}{100} = 1,50$$
$$T_{4} = \frac{t_{4}}{n} = \frac{143}{100} = 1,43$$
$$T_{5} = \frac{t_{5}}{n} = \frac{134}{100} = 1,34$$
Obliczamy zmiany długości wahadła:
△l1-2=0, 06 [m]
△l1-3=0, 12 [m]
△l1-4=0, 18 [m]
△l1-5=0, 24 [m]
△l2-3=0, 06 [m]
△l2-4=0, 12 [m]
△l2-5=0, 18 [m]
△l3-4=0, 06 [m]
△l3-5=0, 12 [m]
△l4-5=0, 06 [m]
by dokonać odpowiednio obliczeń przyspieszenia ziemskiego gi wg wzoru:
gdzie:
T1-okres drgań wahadła o długości l
T2-okres drgań wahadła skróconego o znaną długość Δl1-2
$$g_{1 - 2} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,06\ \lbrack m\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,57\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 7,30\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{1 - 3} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,12\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,50\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 8,78\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{1 - 4} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,18\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,43\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 9,54\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{1 - 5} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,24\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,34\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 9,53\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{2 - 3} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,06\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,57\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,50\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 11,01\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{2 - 4} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,12\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,43\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 11,27\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{2 - 5} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,18\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,67\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,34\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 10,61\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{3 - 4} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,06\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,50\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,43\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 11,54\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{3 - 5} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,12\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,50\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,34\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 10,42\frac{m}{s^{2}}$$
$$g_{4 - 5} = (4\mathsf{x}3,14)\frac{0,06\ \left\lbrack m \right\rbrack}{({1,43\lbrack s\rbrack)}^{2} - ({1,34\lbrack s\rbrack)}^{2}} = 9,49\frac{m}{s^{2}}$$
Obliczamy wartość średnią przyspieszenia ziemskiego ze wzoru:
gdzie n oznacza krotność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego
$$\overset{\overline{}}{g} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}g_{i}}{n}$$
$$\overset{\overline{}}{g} = \frac{99,49\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack}{10} = 9,94\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$
Rachunek błędów:
Błąd obliczony metodą Studenta-Fishera zgodnie z instrukcją 17 i przyjętym poziomem istotności α=0, 05 oraz krotnością pomiarów g: n =10.
Obliczone z wzoru:
$$g = t_{\alpha}\frac{S}{\sqrt{n - 1}}$$
α = 0,05
n = 10
tα (odczytany z tablic) = 2,228
S (odchylenie standardowe) = 1,289
$$g = 2,228\frac{1,289\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack}{\sqrt{10 - 1}} = 2,228\frac{1,289\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack}{3} = 2,228\mathsf{x}0,429\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack = 0,955812\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack \approx 0,9\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$
Wynik końcowy :
$$g = \overset{\overline{}}{g} \pm g$$
$$g = 9,9\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack \pm 0,9\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$
Wnioski:
Otrzymana w doświadczeniu wartość przyśpieszenia ziemskiego 9, 9 ± 0,9$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$, jest zbliżona do wyników podanych w źródłach naukowych . Naukowe źródła podają następujące wartości (Tablice Fizyczno – Astronomiczne. Wydawnictwo Adamantan Warszawa 1995):
- W Gdańsku (21 m n.p.m.) 9,81450 m/s2
- W Warszawie (100 m n.p.m.) 9,81230 m/s2
- W Krakowie (212 m n.p.m.) 9,81045 m/s2
- Na równiku (0 m n.p.m.) 9,78033 m/s2
- Na biegunie (0 m n.p.m.) 9,83214m/s2
.
Na niewłaściwe wartości naszych obliczeń mogły mieć wpływ niedokładne pomiary i błędy urządzeń pomiarowych. Jednakże przeprowadzone doświadczenie pozwoliło nam się zapoznać z wyznaczaniem przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego.