Zmodyfikowany średni termin wykupu

$$\text{MD} = \frac{D}{(1 + \text{YTM}_{0})}$$

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - \text{MD}(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})$$

Duration portfela obligacji

$$\text{Dp} = \sum_{T = 1}^{n}w\text{iDi}$$

Dp- średni termin wykupu portfela obligacji

Wi- udział i-tej obligacji w portfelu

Di- średni termin wykupu i-tej obligacji.

n- liczba obligacji w portfelu

Model zdyskontowanych dywidend

$$P = \frac{D_{1} + P_{1}}{(1 + {\text{YTM})}^{1}}$$

D₁- dywidenda płacona po roku

P₁- cena akcji po roku( sprzedaż)

$$P = \frac{D_{1}}{({1 + \text{YTM})}^{1}} + \frac{D_{2}}{({1 + \text{YTM})}^{2}} + \frac{D_{3}}{({1 + \text{YTM})}^{3}} + \frac{D_{4} + P_{4}}{({1 + \text{YTM})}^{4}}$$

Stopa zwrotu z inwestycji

$$R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t - 1} + I}{P_{t - 1}}$$

I – dodatkowe wpływy z tytułu posiadania akcji (dywidendy)

Oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji

$$\overset{\overline{}}{R} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}R_{i}}{n}$$

$\overset{\overline{}}{R}$ - średnia stopa zwrotu z instrumentu

R_i - stopa zwrotu z i-tego okresu

n – liczba okresów (liczba policzonych stóp zwrotu)

Ryzyko jako wariancja stopy zwrotu

$$\sigma^{2} = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{(R_{t} - \overset{\overline{}}{R})}^{2}}{n - 1}$$

σ² - wariancja stopy zwrotu

R_t - osiągnięta stopa zwrotu w czasie t

$\overset{\overline{}}{R}\ $- średnia stóp zwrotu

n – ilość obserwacji

Odchylenie standardowe

$$\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}$$

Krótka sprzedaż portfela 2 składn przypadki szczególne

σ₁₂ = 1

Sp = |w₁s₁+w₂s₂|

w₁ ; W₂ – mogą być wartościami ujemnymi

jak zmieni się wartość obligacji gdy zmianie ulegnie YTM

$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - D\frac{\left( 1 + \text{YTM}_{1} \right) - (1 + \text{YTM}_{0})}{1 + \text{YTM}_{0}}$ ,lub

Wypukłość obligacji np. . 4 letniej

$$C = 0,5\frac{\frac{1*2*K}{{(1 + YTM)}^{1}} + \frac{2*3*K}{{(1 + YTM)}^{2}} + \frac{3*4*K}{{(1 + YTM)}^{3}} + \frac{4*5*(K + Wn)}{{(1 + YTM)}^{4}}}{{P(1 + YTM)}^{2}}$$

Zmiana wypukłości obligacji (duration + wypukłość obligacji)

$$\frac{P_{1} - P_{0}}{P_{0}} = - \text{MD}\left( \text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0} \right) + C{(\text{YTM}_{1} - \text{YTM}_{0})}^{2}$$

Model stałej dywidendy

$$P = \frac{D}{\text{YTM}}$$

Model stałego wzrostu dywidendy Gordona – Shapiro

$$P = \frac{D(1 + g)}{(YTM + g)}$$

Oczekiwana stopa zwrotu portfela 2 - składnikowego

Rp = w₁R₁ + w₂R₂

Ryzyko portfela akcji dwóch spółek

S_p² = w₁²s₁² + w₂²s₂² + 2w₁s₁w₂s₂σ₁₂

Portfele dwuskładnikowe przypadki szczególne

σ₁₂ = 1    to Sp = w₁s₁w₂s₂

σ₁₂ = 0 to $\text{Sp} = \sqrt{w_{1}^{2}s_{1}^{2} + w_{2}^{2}s_{2}^{2}}$

σ₁₂ = −1 to Sp = |w₁s₁−w₂s₂|

Portfel o zerowym ryzyku tylko gdy σ = -1

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{1} + s}_{2}}$ $w_{2} = \frac{s_{1}}{{s_{1} + s}_{2}}$

Portfel o zerowym ryzyku

$w_{1} = \frac{s_{2}}{{s_{2} - s}_{1}}$ $w_{2} = \frac{{- s}_{1}}{{s_{2} - s}_{1}}$