Gdańsk, dnia 18.12.2012

POLITECHNIKA GDAŃSKA

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Hydrotechniki

AUTOR:

Żaneta Jarzębowicz gr.8

Natalia Jakubowska gr.8

Krystyna Kantorska gr.8

Tomasz Deruba gr.8

SPRAWDZIŁ:

dr inż. Dariusz Gąsiorowski

1. Krótkie wprowadzenie teoretyczne

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskami hydraulicznymi występującymi podczas przepływu w przepuście oraz wyznaczaniem wydatku przepustu kołowego pracującego w różnych warunkach przepływu.

Przepust jest przewodem służącym do przeprowadzenia wody przez różnego rodzaju konstrukcje. Może to być na przykład droga lub nasyp. Kształt oraz materiały z jakich są wykonane przepusty zależy od projektanta (dobiera on najbardziej korzystne parametry).

Szkic ze skryptu: Laboratorium z Hydrauliki i Hydrologii

W przepuście może wystąpić przepływ ze swobodnym zwierciadłem wody lub przepływ pod ciśnieniem na całej długości przepustu, bądź tylko jego części. Przepływ pełnym przekrojem przepustu, czyli przepływ pod ciśnieniem projektowany jest zazwyczaj bardzo rzadko, dopuszcza się jego występowanie tylko chwilowo, na przykład podczas wezbrań.

Do opisu zjawisk wykorzystywane jest równanie Bernulliego:

$$E = z + \frac{p}{\gamma} + \frac{\alpha V^{2}}{2g}$$

Przy analizie zjawisk uwzględnia się również:

• straty lokalne oraz straty na długości

a) starty na wlocie

$$h_{\xi 1} = \xi\frac{V^{2}}{2g}$$

b) straty na wylocie

$$h_{\xi 3} = \xi\frac{{(V - V_{3})}^{2}}{2g}$$

• straty na długości

$$h_{L} = \frac{n^{2}*L*Q^{2}}{R^{\frac{4}{3}}*A^{2}}$$

Podczas zajęć laboratoryjnych należało zbadać trzy podstawowe układy hydrauliczne:

1. Przepływ ze swobodnym zwierciadłem, niezatopiony wlot i wylot przepustu

2. Zatopiony wlot i niezatopiony wylot przepustu

3. Przepływ pod ciśnieniem, zatopiony wlot i wylot

2. Szkic stanowiska doświadczalnego

Stanowisko badawcze składało się z :

• zaworu regulującego natężenie przepływu

• kanału prostokątnego otwartego z zaporą tworzącą różne poziomy wody

• przepustu o przekroju kołowym z rury PCV Φ 110

• regulacji śrubowej dającej możliwość zmieniania spadku przepustu

• klapkowej regulacji poziomu zwierciadła wody za przepustem

• szpilek wodowskazowych znajdujących się na ruchomym wózku

• stanowiska z przelewem Thompsona, które pozwalało określić wydatek za pomocą charakterystyk owego przelewu

Szkic ze skryptu: Laboratorium z Hydrauliki i Hydrologii

3. Przepływ ze swobodną powierzchnią - niezatopiony wlot i wylot

Schemat hydrauliczny:

Dla danego przepustu o przekroju kołowym średnicy wewnęrznej równej d= 10 cm i spadku równym i= 2,95 % wyliczamy wartości krytyczne h_kr i i_kr , aby określić kryteria, dla których obliczny będzie wydatek teoretyczny przepustu. Dla wszystkich trzech pomiarów dla przepływu z niezatopionym wlotem i wylotem otrzymano warunek hd>hkr i i0>ikr, dlatego do obliczeń wydatku wykorzystano wzór:

Q=μ_N*A_d*sqrt(2g(H+z-h_d))

Pomijamy w tym wypadku wysokość strat na długości h_L oraz prędkość wody przed przepustem V₁.

Korzystając z metody kolejnych przybliżeń wyznaczamy wartość kąta β_kr, a następnie h_kr

D⁵/512*(β_kr-sinβ_kr)³=α*Q²/g*sinβ_kr/2

Dla wyznaczonych za pomocą przelewu Thompsona wydatków Q przyjęto podane wartości β:

Dalej wyznaczono wartości w tabeli:

Przykładowe obliczenia dla pkt. 3.

H=R_wg-R_z1+D+d/2=40,19-40+11+1/2=16,19cm

hd=R_wd-R_z2+D+d/2=40,19-34,14+11+1/2=9,27cm

h_kr=D/2(1-cosβ_kr/2)=11/2*(1-cos(0,9388/2)=1,34cm

Dla stosunku H/D=1,47<1,5 przyjęto μ_N=0,90.

Q=μ_N*A_d*sqrt(2g(H+z-h_d)) - przyjmujemy ten wzór, ponieważ D>h_d>h_kr

z=i*L=0,0293*200=5,86cm

Ad należy obliczyć dla wartości hd.

Wyznaczono równanie cos a=3,77/5,5

a=46,729 st.

Ad=(360-2a)/360*π*r²+3,77²*tg a=

=(360-2*46,729)/360*3,14*5,5²+3,77²*tg(46,729)=85,424cm²

Jednostki cm zostały we wzorze zamienione na dm, otrzymano Q:

Q=0,9*0,854*sqrt(2*98,1*(1,62+0,586-0,927)) = 5,20 dm³/s

4. Przepływ ze swobodnym zwierciadłem z zatopionym wlotem przepustu i niezatopionym wylotem

4.1. Schemat hydrauliczny

Rys. 2 Hydrauliczne warunki pracy przepustu o zatopionym wlocie i wylocie.

4.2 Tabela pomiarów

Schemat hydrauliczny	Lp	RT	hT	Qrzecz	RWG	H	RWD	hd	Hkr	Kryterium	Q	deltaQ
		[cm]	[cm]	[dm^3/s]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]		[dm^3/s]	[%]
Zatopiony wlot niezatopiony wylot	4	27,97	11,95	7,521	47,79	18,29	28,87	5,23	8,803	H/D=18,29/11=1,66>1,5 i hd=5,23<D=11	6,347	15,610
	5	28,54	12,52	8,430	50,1	20,6	29,29	5,65	9,139	H/D=20,6/11=1,87>1,5 hd=5,65<D=11	7,006	16,894
	6	28,65	12,63	9,613	50,96	21,46	29,33	5,69	9,443	H/D=21,46/11=1,95>1,5 i hd =5,69<D=11	7,325	23,805

4.3 Tabela pomiarowa profilu podłużnego zwierciadła wody dla pomiaru nr 6

h_T=12,63 cm, Q_rzecz=9,613 dm³/s

Nr punktu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Odległość [cm]	10	30	50	70	90	110	130	150	170	190
Rzędna zwierciadła wody Rw [cm]	2	3	1,5	2,5	1,5	2,5	1	2	1,5	2
Głębokość wody h [cm]	7,5	8,5	7	8	7	8	6,5	7,5	7	7,5

Na profilu można zauważyć iż mimo łagodnych zaburzeń zwierciadła przy ściance nie jest osiągana wartość głębokości krytycznej, więc nie występuje odskok hydrauliczny, który jest powodowany przejściem ze strefy ruchu podkrytycznego w nadkrytyczny.

Rysunek profilu zwierciadła wody dla pomiaru nr 6

4.4 Przykłady obliczeniowe

Przykłady obliczeniowe wykonane dla pomiaru nr 6

1. Głębokość wody przed wlotem (H) – w odniesieniu do dna przepustu:

H = R_WG − R_Z1 + d + e = 50, 96 − 40, 0 + 10, 0 + 0, 5 = 21, 46 [cm]

Gdzie:

• R_WG – rzędna wody górnej przed wlotem

• R_Z1 – rzędna przepustu w przekroju wlotowym

• d – średnica wewnętrzna przepustu

• e – grubość ścianki przepustu

1. Głębokość wody za wylotem (h_d) – w odniesieniu do dna przepustu:

h_d = R_WD − R_Z2 − d − e = 29, 33 − 34, 14 + 10, 0 + 0, 5 = 5, 69 [cm]

Gdzie:

• R_WD – rzędna wody górnej za wylotem

• R_Z2 – rzędna przepustu w przekroju wylotowym

• d – średnica wewnętrzna przepustu

• e – grubość ścianki przepustu

1. Określenie schematu hydraulicznego:

$$\left\{ \begin{matrix} kryterium\ I:\ \ \frac{H}{D} > 1,5 \Longrightarrow \frac{21,46}{11,0} = 1,951 > 1,5 \\ kryterium\ II:\ \ h_{D} < D \Longrightarrow 5,96\ cm < 11,0\ cm \\ \end{matrix} \Longrightarrow ZATOPIONY\ WLOT\ I\ \ NIEZATOPIONY\ WYLOT \right.\ $$

1. Obliczenie wydatku przepustu (Q):

$$Q = u^{k}*A_{0}*\sqrt{2g*(H + z - D - h_{L})}$$

Gdzie:

• Q – wydatek przepustu

• u^k – skorygowany współczynnik wydatku

u^k = u_p * k_L

Gdzie:

• k_L – parametr zależny od stosunku długości wystającej części przepustu L_p do jego wysokości D

Szkic ze skryptu „Laboratorium z Mechaniki Płynów i Hydrauliki”

$$\text{Gdy\ }L_{p} = 10,0cm\ to\ \frac{L_{p}}{D} = 0,9\ \Longrightarrow \ k_{L} = 0,90$$

Szkic ze skryptu „Laboratorium z Mechaniki Płynów i Hydrauliki”

$$\frac{H}{D} = \frac{21,46\ cm}{11\ cm} = 1,951$$

Wykonujemy interpolacje wartości współczynnika wydatku

$$\text{Dla\ }\frac{H}{D} = 1,9\ \ \rightarrow \ \ u_{z} = 0,50$$

$$\text{Dla\ }\frac{H}{D} = 2,0\ \ \rightarrow \ \ u_{z} = 0,51$$

$$\text{Dla\ }\frac{H}{D} = 1,951\ \rightarrow \ \ u_{z} = 0,50 + \frac{2,0 - 1,951}{2,0 - 1,9} \times \left( 0,51 - 0,50 \right) = 0,505$$

u^k = u_z * k_L = 0, 505 * 0, 90 = 0, 455

• A₀ – pole przekroju poprzecznego przepustu

$$A_{0} = \frac{\pi*d^{2}}{4} = \frac{\pi*{10,0}^{2}}{4} = 78,54\ \text{cm}^{2\ }$$

• g – przyśpieszenie ziemskie

$$g = 9,81\left\lceil \frac{\text{\ m}}{s^{2}} \right\rceil$$

• H - głębokość wody przed wlotem

H = 21, 46 cm

• z – wysokość położenia dna przepustu na wlocie ponad poziom dna przepustu na wylocie (rys. 2)

$$z = \frac{i*L}{100\%} = \frac{2,93\%*200cm}{100\%} = 5,86cm$$

• D – średnica zewnętrzna przepustu

D = 11cm

• h_L – wysokość strat energii na długości

Uwaga:

Gdy L<20D to pomijamy pomijamy straty energii na długości (przepust hydraulicznie krótki)

L = 200cm < 20 * D = 20 * 11cm = 220cm → przepust hydraulicznie krotki,  pomijamy straty energii na dlugosci

$$Q = u^{k}*A_{0}*\sqrt{2g*H)}$$

$$Q = 0,455*78,54*\sqrt{2*9,81*100*21,46} = 7325\ \frac{\text{cm}^{3}}{s}$$

$$Q = 7,325\ \frac{\text{dm}^{3}}{s}$$

1. Obliczenie błędu względnego wyznaczenia wydatku (Q):

$$Q = \left| \frac{Q_{\text{rzecz}} - Q}{Q_{\text{rzecz}}} \right|*100\% = \left| \frac{9,613 - 7,325}{9,613} \right|*100\% = 23,8\%$$

1. Obliczenie głębokości krytycznej (h_kr):

• Wyznaczenie β_kr metodą kolejnych przybliżeń:

$$\frac{D^{5}}{512}*{(\beta_{\text{kr}} - \sin{\beta_{\text{kr}})}}^{3} = \frac{\alpha*Q^{2}}{g}*\sin\left( \frac{\beta_{\text{kr}}}{2} \right)$$

Gdzie:

• α = 1

• $Q = Q_{\text{rzecz}} \Longrightarrow Q = 0,009613\ \frac{m^{3}}{s}$

• $g = 9,81\ \frac{m}{s^{2}}$

$$\frac{{0,10}^{5}}{512}*{(\beta_{\text{kr}} - \sin{\beta_{\text{kr}})}}^{3} = \frac{1,0*{0,009613}^{2}}{9,81}*\sin\left( \frac{\beta_{\text{kr}}}{2} \right)$$

Posługując się metodą kolejnych przybliżeń otrzymano

β_kr ≈ 5, 33 rad

Zatem:

$$h_{\text{kr}} = \frac{D}{2}*(1 - \cos{\frac{\beta_{\text{kr}}}{2})}$$

$$h_{\text{kr}} = \frac{10,0}{2}*(1 - \cos{\frac{5,33}{2})} = 9,44cm$$

h_D = 5, 96 cm < h_kr = 9, 44cm

5. Przepływ pod ciśnieniem

5.1. Schemat hydrauliczny

Rys. 1 Hydrauliczne warunki pracy przepustu o zatopionym wlocie i wylocie.

5.2. Tabela pomiarów

Schemat hydrauliczny	Lp.	RT	hT	Qrzecz	RWG	H	RWD	hD	hkr	kryterium	Q	ΔQ
		[cm]	[cm]	$$\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{dm}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm]		$$\left\lbrack \frac{\mathbf{\text{dm}}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{s}} \right\rbrack$$	[%]
Przepływ pod ciśnieniem	7	28,77	12,75	8,815	48,45	18,95	36,77	13,13	9,68	$\frac{H}{D} = \frac{18,95}{11,0} = 1,72 > 1,0$ hd = 13, 13cm >  D = 11 cm zatopiony wlot i wylot	9,773	10,87
	8	29,15	13,13	9,473	49,70	20,20	36,96	13,32	9,82	$\frac{H}{D} = \frac{20,2}{11,0} = 1,8 > 1,0$ hd = 13, 32cm >  D = 11 cm zatopiony wlot i wylot	10,206	7,74
	9	29,28	13,26	9,704	50,52	21,02	37,07	13,43	9,92	$\frac{H}{D} = \frac{21,02}{11,0} = 1,91 > 1,0$ hd = 13, 43cm >  D = 11 cm zatopiony wlot i wylot	10,481	8,01

5.3. Przykład obliczeń

Przykład obliczeń przeprowadzono dla pomiaru nr 8

1. Spadek przepustu (i):

$$i = \frac{R_{Z1} - R_{Z2}}{L}*100\% = \frac{40,0 - 34,14}{200}*100\% = 2,93\%$$

Gdzie:

• R_Z1 – rzędna przepustu w przekroju wlotowym

• R_Z2 – rzędna przepustu w przekroju wylotowym

• L – długość przepustu

1. Głębokość wody przed wlotem (H) – w odniesieniu do dna przepustu:

H = R_WG − R_Z1 + d + e = 49, 70 − 40, 0 + 10, 0 + 0, 5 = 20, 2 [cm]

Gdzie:

• R_WG – rzędna wody górnej przed wlotem

• R_Z1 – rzędna przepustu w przekroju wlotowym

• d – średnica wewnętrzna przepustu

• e – grubość ścianki przepustu

1. Głębokość wody za wylotem (h_d) – w odniesieniu do dna przepustu:

h_d = R_WD − R_Z2 − d − e = 36, 96 − 34, 14 + 10, 0 + 0, 5 = 13, 32 [cm]

Gdzie:

• R_WD – rzędna wody górnej za wylotem

• R_Z2 – rzędna przepustu w przekroju wylotowym

• d – średnica wewnętrzna przepustu

• e – grubość ścianki przepustu

1. Określenie schematu hydraulicznego:

$$\left\{ \begin{matrix} kryterium\ I:\ \ \frac{H}{D} > 1,0 \Longrightarrow \frac{20,2}{11,0} = 1,84 > 1,0 \\ kryterium\ II:\ \ h_{D} > D \Longrightarrow 13,32\ cm > 11,0\ cm \\ \end{matrix} \Longrightarrow ZATOPIONY\ WLOT\ I\ WYLOT \right.\ $$

1. Obliczenie wydatku przepustu (Q):

$$Q = u^{k}*A_{0}*\sqrt{2g*(H + z - D - h_{L})}$$

Gdzie:

• Q – wydatek przepustu

• u^k – skorygowany współczynnik wydatku

u^k = u_p * k_L

Gdzie:

• k_L – parametr zależny od stosunku długości wystającej części przepustu L_p do jego wysokości D

Szkic ze skryptu „Laboratorium z Mechaniki Płynów i Hydrauliki”

$$\text{Gdy\ }L_{p} = 10,0cm\ to\ \frac{L_{p}}{D} = 0,9\ \Longrightarrow \ k_{L} = 0,90$$

• u_p – współczynnik wydatku przepustu zależny od zaokrąglenia krawędzi wlotowej (r)

Szkic ze skryptu „Laboratorium z Mechaniki Płynów i Hydrauliki”

$$Gdy\ r = 0\ to\ \frac{r}{D} = 0\ \Longrightarrow \ u_{p} = 0,84$$

u^k = u_p * k_L = 0, 84 * 0, 90 = 0, 756

• A₀ – pole przekroju poprzecznego przepustu

$$A_{0} = \frac{\pi*d^{2}}{4} = \frac{\pi*{10,0}^{2}}{4} = 78,54\ \text{cm}^{2\ }$$

• g – przyśpieszenie ziemskie

$$g = 9,81\left\lceil \frac{\text{\ m}}{s^{2}} \right\rceil$$

• H - głębokość wody przed wlotem

H = 20, 2 cm

• z – wysokość położenia dna przepustu na wlocie ponad poziom dna przepustu na wylocie (rys. 1)

$$z = \frac{i*L}{100\%} = \frac{2,93\%*200cm}{100\%} = 5,86cm$$

• D – średnica zewnętrzna przepustu

D = 11cm

• h_L – wysokość strat energii na długości

Uwaga:

Gdy L<20D to pomijamy pomijamy straty energii na długości (przepust hydraulicznie krótki)

L = 200cm < 20 * D = 20 * 11cm = 220cm → przepust hydraulicznie krotki,  pomijamy straty energii na dlugosci

$$Q = u^{k}*A_{0}*\sqrt{2g*(H + z - D - h_{L})}$$

$$Q = 0,756*78,54*\sqrt{2*9,81*100*(20,2 + 5,86 - 11,0 - 0)} = 10206,449\ \frac{\text{cm}^{3}}{s}$$

$$Q = 10,206\ \frac{\text{dm}^{3}}{s}$$

1. Obliczenie błędu względnego wyznaczenia wydatku (Q):

$$Q = \left| \frac{Q_{\text{rzecz}} - Q}{Q_{\text{rzecz}}} \right|*100\% = \left| \frac{9,473 - 10,206}{9,473} \right|*100\% = 7,74\%$$

1. Obliczenie głębokości krytycznej (h_kr):

• Wyznaczenie β_kr metodą kolejnych przybliżeń:

$$\frac{D^{5}}{512}*{(\beta_{\text{kr}} - \sin{\beta_{\text{kr}})}}^{3} = \frac{\alpha*Q^{2}}{g}*\sin\left( \frac{\beta_{\text{kr}}}{2} \right)$$

Gdzie:

• α = 1

• $Q = Q_{\text{rzecz}} \Longrightarrow Q = 0,009473\ \frac{m^{3}}{s}$

• $g = 9,81\ \frac{m}{s^{2}}$

$$\frac{{0,11}^{5}}{512}*{(\beta_{\text{kr}} - \sin{\beta_{\text{kr}})}}^{3} = \frac{1,0*{0,009473}^{2}}{9,81}*\sin\left( \frac{\beta_{\text{kr}}}{2} \right)$$

Posługując się metodą kolejnych przybliżeń otrzymano

β_kr ≈ 4, 95 rad

Zatem:

$$h_{\text{kr}} = \frac{D}{2}*(1 - \cos{\frac{\beta_{\text{kr}}}{2})}$$

$$h_{\text{kr}} = \frac{11,0}{2}*(1 - \cos{\frac{4,95}{2})} = 9,82cm$$

h_D = 13, 32 cm > h_kr = 9, 82cm

6. Wnioski

a) Przepływ ze swobodną powierzchnią niezatopiony wlot i wylot

• Pewne niedokładności pomiarowe wynikać mogą z niewprawnego odczytu charakterystyk przepustu, braku wyczucia w obsłudze oprzyrządowania hydrologicznego (problemy z równomiernym ustawianiem natężenia przepływu za pomocą zasuwy, nieprecyzyjne mierzenie rzędnej wody szpilką wodowskazową).

• Oprócz tego we wzorze na wydatek wykorzystujemy pole Ad, które nie jest stałe - poziom wody w przepuście był wyższy na krawędziach niż na środku, dlatego wyliczone Ad na podstawie wymierzonych wartości zawiera pewną niedokładność.

• Oprócz tego wartość kąta beta nie jest dokładna, ponieważ jest wyznaczana metodą kolejnych przybliżeń i posiadamy jej wartość przybliżoną, co również rzutuje na otrzymane wyniki.

• Obliczony wydatek jest większy niż rzeczywisty, ze względu na wyżej wymienione niedokładności.

b) Przepust z zalanym wlotem i nie zalanym wylotem

• Wyniki pomiarów dla rzeczywistego wydatku przepustu znacznie odbiegają od teoretycznych odpowiedników obliczonych na podstawie wzorów (różnice rzędu 15,61% - 23,81%) co wynika z błędów pomiarowych spowodowanych niedokładnością sprzętu pomiarowego (wygięta szpilka wodowskazowa) i błędami odczytu. Poza tym aparatura laboratoryjna (cały kanał, przelew Thompsona i regulacja wydatku) to sprzęt dość stary i wielokrotnie użytkowany, co znacznie wpływa na wyniki badań i ich poprawność.

• Ze względu na przyjęcie założenia o przepuście hydraulicznie krótkim (L<20D) nie uwzględnialiśmy strat energii na długości. Mogło to mieć wpływ na wartość uzyskanego w toku obliczeń wydatku przepustu.

• Dla pomiaru nr 6 nie odnotowano przejść z ruchu podkrytycznego w nadkrytyczny na długości przepustu, co mogłoby skutkować odskokiem hydraulicznym, który powoduje duże straty energii.

c) Przepływ pod ciśnieniem:

• Wyniki pomiarów dla rzeczywistego wydatku przepustu znacznie odbiegają od teoretycznych odpowiedników obliczonych na podstawie wzorów (różnice rzędu 8,01% - 10,87%) co wynika z błędów pomiarowych spowodowanych niedokładnością sprzętu pomiarowego (wygięta szpilka wodowskazowa) i błędami odczytu. Poza tym aparatura laboratoryjna (cały kanał, przelew Thompsona i regulacja wydatku) to sprzęt dość stary i wielokrotnie użytkowany, co znacznie wpływa na wyniki badań i ich poprawność.

• Dodatkową przyczyną błędów może być również nieodpowiednie dobranie współczynnika wydatku przepustu μ.

μ_p = 0, 84  dobrany wspolczynnik przepustu (najniekorzystniejsza wartosc − zaokraglenie scianki przepustu nie zostalo przez nas zmierzone)

• Pomiaru rzędnej wody górnej za wylotem (R_WD) dokonywaliśmy w odległości ok. 10cm od końca krawędzi, gdyż na wylocie woda była bardzo wzburzona, zakłócało to prawidłowy pomiar.

• Ponadto wyniki dowodzą, że wzory nie odzwierciedlają w 100 procentach tego, co występuje w rzeczywistości (być może pomijają one część wpływu oporów ruchu na wydatek przepustu).

• Ze względu na przyjęcie założenia o przepuście hydraulicznie krótkim (L<20D) nie uwzględnialiśmy strat energii na długości. Mogło to mieć wpływ na wartość uzyskanego w toku obliczeń wydatku przepustu.

• Przepływ pod ciśnieniem jest wariantem bardzo niekorzystnym, gdyż wywołuje duże obciążenia ścianek konstrukcji i drgania samego przewodu przepustu co można było zaobserwować podczas ćwiczenia laboratoryjnego. Może to spowodować zmianę ustawienia wylotu przewodu i kompletnie zmienić warunki hydrauliczne.