1EE-DI 17.05.2010r.

1ROK ELEKTROTECHNIKA DZIENNE

Laboratorium z fizyki

Ćw. nr:24

Wyznaczanie ładunku właściwego elektronów

Fedio Grzegorz

L1

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ładunku właściwego elektronu, czyli stosunku , za pomocą badania ruchu ładunku w polu elektrycznym i magnetycznym.

1. Zagadnienia

Wielkości opisujące pole elektryczne:

• Natężenie pola elektrycznego

Natężenie pola elektrycznego jest podstawową wielkością opisującą pole elektryczne (i niekiedy samo jest nazywane krótko polem elektrycznym). Jest to pole wektorowe , zdefiniowane w danym punkcie pola jako stosunek siły  wywieranej przez pole na ładunek próbny q umieszczony w tym punkcie do wartości tegoż ładunku q:

Ładunek z pomocą którego określa się pole musi być na tyle mały, by nie zmieniać rozkładu ładunków w otaczającej go przestrzeni.

• Potencjał pola elektrycznego 

Inną wielkością opisującą pole elektryczne jest potencjał pola elektrycznego. Potencjał jest polem skalarnym , zdefiniowane w każdym punkcie pola elektrycznego jako stosunekenergii potencjalnej E_p ładunku próbnego q umieszczonego w tym punkcie, do wartości tegoż ładunku q:

• Energia pola elektrycznego 

W polu elektrycznym zgromadzona jest energia. Jest ona równa pracy potrzebnej do ułożenia układu ładunków wytwarzających dane pole elektryczne, można więc stwierdzić, że energia potencjalna układu ładunków jest równoważna energii w wytworzonym przez nie polu elektrycznym.

Gęstość energii pola elektrycznego (energia zawarta w jednostce objętości) wyraża się przez:

gdzie:  - przenikalność elektryczna próżni,  - natężenia pola elektrycznego.

• Linie sił pola elektrycznego 

Linie sił pola elektrycznego wytworzonego przez dwa ładunki różnych znaków

Do obrazowego przedstawienia pola elektrycznego używa się linii sił pola elektrycznego, są to linie, które w każdym punkcie przestrzeni są styczne do wektora siły działającej w tym polu na dodatni ładunek próbny.

Porównując wielkości opisujące pole elektrostatyczne (E i D) i wielkości opisujące pole magnetyczne (B -wektor indukcji magnetycznej i H -wektora natężenia pola magnetycznego) można zauważyć, że odpowiednikiem natężenia pola elektrostatycznego E jest dla pola magnetycznego wektor indukcji magnetycznej B, ponieważ Wektory E i B opisują siłowe własności pól i zależą od własności ośrodka. Odpowiednikiem wektora indukcji elektrycznej D jest wektor H natężenia pola magnetycznego.

Zachowanie się ładunków elektrycznych w polu elektrycznym i magnetycznym:

Na wiązkę elektronów przechodzących przez obszar, w którym istnieje pole magnetyczne o indukcji B działa siła:

[ 1 ]

Siła ta skierowana prostopadle do kierunku wektora prędkości v i do wektora indukcji magnetycznej B.

Gdy ruch naładowanej cząstki odbywa się wzdłuż linii indukcji pola magnetycznego siła Lorenza jest równa zero.

W przypadku gdy rozpatrzymy ruch cząstki prostopadle do linii indukcji magnetycznej. W tym przypadku siła Lorenza ma wartość , oraz skierowana jest prostopadle do wektorów i .

Siła Lorenza pełni rolę siły dośrodkowej:

gdzie: m - masa cząstki

r - promień krzywizny toru

F_L=F_d

Gdy B=const. , naładowana cząstka będzie się poruczać po okręgu. Kierunek obiegu cząstki zależy od znaku ładunku q cząstki. Okres obiegu T cząstki po okręgu wynosi:

W trzecim przypadku rozpatrzymy ruch naładowanej cząstki w polu magnetycznym gdy jej wektor prędkości skierowany jest pod dowolnym kątem  do wektora indukcji. Rozłóżmy wektor na dwie składowe:

v_r - składową równoległa do

v_p - składową prostopadłą do

Prędkość v_r nie ulega zmianie w polu magnetycznym. W wyniku posiadania przez cząstkę niezerowej składowej v_p cząstka powinna obiegać po okręgu, którego płaszczyzna jest prostopadła do wektora, a promień .

Cząstka porusza się po linii śrubowej, której oś pokrywa się z linią indukcji pola magnetycznego, a skok wynosi:

Pole elektryczne działa na cząstkę naładowaną z siłą , siła ta wytwarza przyspieszenie . Rozważmy przypadek gdy do jednorodnego pola elektrycznego wprowadzamy cząstkę o masie m i ładunku q i puszczamy ją swobodnie. Ruch cząstki w tym polu jest podobny do ruchu ciała materialnego w ziemskim polu grawitacyjnym.

Stosujemy równania ruchu jednostajnie przyspieszonego:

Praca jaką wykonuje pole elektryczne E nad ładunkiem q na drodze ds wynosi:

ponieważ

Jeżeli różnica potencjałów wynosi U , to przy przesunięciu pole wykonuje pracę:

[ 2 ]

Skutkiem działania pola jest wzrost prędkości cząsteczki do wartości:

[ 3 ]

Opisane zjawisko wykorzystuje się m. in. do wyznaczania ładunku właściwego elektronów.

Obliczanie niepewności:

, gdzie .

Niepewność tak wyznaczonej średniej można obliczyć dzięki zastosowaniu prawa przenoszenia niepewności do powyższego wzoru, co daje:

.

1. Metodologia wykonania pomiarów

Kolejność wykonywania czynności

1. Połączyć obwód według schematu jak na Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania.. Obie cewki powinny być połączone szeregowo, dla zapewnienia dokładnie takiego samego prądu płynącego w obu uzwojeniach. Przez odpowiednie przyłączenie przewodów do gniazd prądowych 7 obu cewek, należy zadbać o to, żeby prąd w obu cewkach płynął w tę samą stronę. Woltomierz powinien mierzyć napięcie między gniazdami zasilacza oznaczonymi »-50V« i »250V«.

Uwaga! Połączeń przewodów należy dokonywać przy wyłączonych zasilaczach, ze względu na wysokie napięcie.

1. Przed uruchomieniem lampy należy się upewnić, czy oba potencjometry -50 V i 250 V zasilacza napięciowego ustawione są w lewym skrajnym położeniu (na zero). Dopiero po włączeniu i okresie rozgrzania (ok. jedna minuta) uruchamia się oba potencjometry i obserwuje w zaciemnionym pomieszczeniu wiązkę elektronów. Potencjometr »250V« przekręcić w dowolne położenie, ustalając w ten sposób napięcie anodowe. Za pomocą potencjometru »-50V« ustawić napięcie na siatce i przez to ostrość i jasność promienia. Pełną intensywność osiąga się z reguły dopiero po okresie rozgrzewania od 2 do 3 minut. Zapisać wtedy napięcie anoda-katoda U i od tej pory nie zmieniać położenia potencjometrów.

Uwaga! Przy dłuższych przerwach w pomiarach zaleca się przekręcenie obu potencjometrów ponownie w lewe skrajne położenie.

Schemat urządzenia pomiarowego

1. Połączyć obwód według schematu jak na rysunku. Obie cewki powinny być połączone szeregowo, dla zapewnienia dokładnie takiego samego prądu płynącego w obu uzwojeniach. Przez odpowiednie przyłączenie przewodów do gniazd prądowych 7 obu cewek, należy zadbać o to, żeby prąd w obu cewkach płynął w tę samą stronę. Woltomierz powinien mierzyć napięcie między gniazdami zasilacza oznaczonymi »-50V« i »250V«.

Uwaga! Połączeń przewodów należy dokonywać przy wyłączonych zasilaczach, ze względu na wysokie napięcie.

1. Przed uruchomieniem lampy należy się upewnić, czy oba potencjometry -50 V i 250 V zasilacza napięciowego ustawione są w lewym skrajnym położeniu (na zero). Dopiero po włączeniu i okresie rozgrzania (ok. jedna minuta) uruchamia się oba potencjometry i obserwuje w zaciemnionym pomieszczeniu wiązkę elektronów. Potencjometr »250V« przekręcić w dowolne położenie, ustalając w ten sposób napięcie anodowe. Za pomocą potencjometru »-50V« ustawić napięcie na siatce i przez to ostrość i jasność promienia. Pełną intensywność osiąga się z reguły dopiero po okresie rozgrzewania od 2 do 3 minut. Zapisać wtedy napięcie anoda-katoda U i od tej pory nie zmieniać położenia potencjometrów.

Uwaga! Przy dłuższych przerwach w pomiarach zaleca się przekręcenie obu potencjometrów ponownie w lewe skrajne położenie.

1. Włączyć zasilanie prądu płynącego przez cewki Helmholtza i zaobserwować zakrzywienie tor elektronów w gazie (Uwaga: maksymalny prąd płynący przez cewkę wynosi 5A). Przez pokręcenie statywem 5 ustawić lampę w takiej pozycji, aby elektrony z działa elektronowego wylatywały w kierunku dokładnie prostopadłym do kierunku pola magnetycznego. Przy właściwym ustawieniu lampy, elektrony zataczają okrąg, a nie spiralę.

2. Regulując prąd płynący przez cewki uzyskać taki tor ruchu, aby przecinał on szczeble drabinki pomiarowej, które znajdują się w odległości kolejno 4, 6, 8 i 10 cm od działa elektronowego. Dla każdej z tych odległości zapisać średnicę toru d i natężenie prądu I.

3. Wyłączyć oba zasilacze bezpośrednio po skończeniu pomiarów.

4. Zanotować maksymalne niepewności U, I, d mierzonych wielkości.

Maksymalną niepewność promienia cewek przyjąć ΔR=2mm. Jako maksymalną niepewność średnicy toru wiązki przyjąć szerokość drabinki, czyli Δd=1mm.

Tabela pomiarowa

Nr.	U	u(U)	d	u(d)	r	u(r)	I	u(I)	N	R
-	[V]	[V]	[m]	[m]	[m]	[m]	[A]	[A]	-	[m]
1	280	0,577350269	0,1	0,0057735	0,05	0,0057735	1,6	0,057735	154	0,21
2			0,08		0,04		2
3			0,06		0,03		2,7
4			0,04		0,02		4,25

Tabela z wynikami obliczeń

Nr.	B	u(B)	$$\frac{e}{m}$$	u( $\frac{e}{m}$)	$({\frac{e}{m})}_{sr}$ ± $U({\frac{e}{m})}_{sr}$
-	[ ]	[ ]	$$\lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$	$$\lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$	$$\lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$
1	0,001052	3,798E-05	2,022E+11	4,893E+10	1,991E+11 ± 9,660E+10
2	0,001316	3,798E-05	2,022E+11	5,953E+10
3	0,001776	3,798E-05	1,973E+11	7,639E+10
4	0,002796	3,798E-05	1,791E+11	1,035E+11

Obliczenia:

Niepwność u(U), u(d), u(r), u(I), u(R)

$$\ u\left( U \right) = \frac{U}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0,577350269\ \lbrack V\rbrack$$

$$u\left( d \right) = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,00577350269\ \lbrack m\rbrack$$

$$u\left( r \right) = \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,00577350269\ \lbrack m\rbrack$$

$$u\left( I \right) = \frac{d}{\sqrt{3}} = \frac{0,1}{\sqrt{3}} = 0,0577350269\ \lbrack A\rbrack$$

Niepewność standardowa u(B):

u(B) = K * u(I) = 0, 6578 * 10⁻³ * 0, 057735 = 3, 798 * 10⁻⁵

Niepewność $u(\frac{e}{m})$ czterech pomiarów:

$$u\left( \frac{e}{m} \right)_{1} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4U}{B^{3}r^{2}}*u\left( B \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4U}{B^{2}r^{3}}*u\left( r \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{B^{2}r^{2}}*u\left( U \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001052}^{3}{0,05}^{2}}*3,798E - 05\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001052}^{2}{0,05}^{3}}*0,0057735\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{{0,001052}^{2}{0,05}^{2}}*0,577350269\rbrack}^{2}} = 4,893E + 10\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$u\left( \frac{e}{m} \right)_{2} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4U}{B^{3}r^{2}}*u\left( B \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4U}{B^{2}r^{3}}*u\left( r \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{B^{2}r^{2}}*u\left( U \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001316}^{3}{0,04}^{2}}*3,798E - 05\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001316}^{2}{0,04}^{3}}*0,0057735\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{{0,001316}^{2}{0,04}^{2}}*0,577350269\rbrack}^{2}} = 5,953E + 10\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$u\left( \frac{e}{m} \right)_{3} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4U}{B^{3}r^{2}}*u\left( B \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4U}{B^{2}r^{3}}*u\left( r \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{B^{2}r^{2}}*u\left( U \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001776}^{3}{0,03}^{2}}*3,798E - 05\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4*280}{{0,001776}^{2}{0,03}^{3}}*0,0057735\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{{0,001776}^{2}{0,03}^{2}}*0,577350269\rbrack}^{2}} = 7,639E + 10\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$u\left( \frac{e}{m} \right)_{3} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4U}{B^{3}r^{2}}*u\left( B \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4U}{B^{2}r^{3}}*u\left( r \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{B^{2}r^{2}}*u\left( U \right)\rbrack}^{2}} = \sqrt{{\lbrack\frac{- 4*280}{{0,002796}^{3}{0,02}^{2}}*3,798E - 05\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{- 4*280}{{0,002796}^{2}{0,02}^{3}}*0,0057735\rbrack}^{2} + {\lbrack\frac{2}{{0,002796}^{2}{0,02}^{2}}*0,577350269\rbrack}^{2}} = 1,035E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

Ładunek właściwy elektronu $\frac{e}{m}$ dla czterech pomiarów:

$$\frac{e}{m}_{1} = \frac{2U}{B^{2}*r^{2}} = \frac{2*280}{{0,001052}^{2}*{0,05}^{2}} = 2,022E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$\frac{e}{m}_{2} = \frac{2U}{B^{2}*r^{2}} = \frac{2*280}{{0,001316}^{2}{0,04}^{2}} = 2,022E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$\frac{e}{m}_{3} = \frac{2U}{B^{2}*r^{2}} = \frac{2*280}{{0,001776}^{2}{0,03}^{2}} = 1,973E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

$$\frac{e}{m}_{4} = \frac{2U}{B^{2}*r^{2}} = \frac{2*280}{{0,002796}^{2}{0,02}^{2}} = 1,791E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $$

Średnia ważona ładunku właściwego elektronu:

$$w_{1 = \frac{1}{{\lbrack u{(\frac{e}{m})}_{1}\rbrack}^{2}} = \frac{1}{{\lbrack 4,893E + 10\rbrack}^{2}} = 4,1770E - 22}$$

$$w_{2 = \frac{1}{{\lbrack u{(\frac{e}{m})}_{2}\rbrack}^{2}} = \frac{1}{{\lbrack 5,953E + 10\rbrack}^{2}} = 2,82154E - 22}$$

$$w_{3 = \frac{1}{{\lbrack u{(\frac{e}{m})}_{3}\rbrack}^{2}} = \frac{1}{{\lbrack 7,639E + 10\rbrack}^{2}} = 1,71357E - 22}$$

$$w_{4 = \frac{1}{{\lbrack u{(\frac{e}{m})}_{4}\rbrack}^{2}} = \frac{1}{{\lbrack 1,035E + 11\rbrack}^{2}} = 9,32889E - 23}$$

$$\sum_{i = 1}^{n}w_{i} = 9,64498E - 22$$

$$\sum_{i = 1}^{n}{\left( \frac{e}{m} \right)_{i}w_{i}} = 1,92035E - 10\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$

$$({\frac{e}{m})}_{sr} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\left( \frac{e}{m} \right)_{i}w_{i}}}{\sum_{i = 1}^{n}w_{i}} = \frac{1,92035E - 10}{9,64498E - 22} = 1,991E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$

$$u({\frac{e}{m})}_{sr} = \frac{1}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}w_{i}}} = \frac{1}{\sqrt{9,64498E - 22}} = 3,2200E + 10\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$$

Niepewność rozszerzona $U({\frac{e}{m})}_{sr}$:

$U({\frac{e}{m})}_{sr} = 3*\ u({\frac{e}{m})}_{sr} = 3*3,2200E + 10 =$9,660E+10 $\lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

Wnioski:

Na pomiar ładunku właściwego elektronu ma wpływ wiele błędów m.in. błąd pomiaru u(I),u(U) wynikający z klasy miernika oraz z niedokładnego odczytu wskazań miliamperomierza oraz woltomierza, Z przeprowadzonych pomiarów wynika, że ładunek właściwy elektronu wynosi:

Pomiar ten obarczony jest $1,991E + 11\ \lbrack\frac{C}{\text{kg}}\rbrack\ $błędem: $U({\frac{e}{m})}_{sr} = 9,660E + 10$.