Sprawozdanie z ćwiczenia nr 1
Obiekt dynamiczny liniowy
Wstęp teoretyczny
Układem dynamicznym nazywamy taki układ, w którym sygnały, czyli przebiegi wielkości fizycznych rozpatruje się jako funkcje czasu.
Według innej definicji jest to układ opisany przez trójkę: s = {T, W, B},
gdzie:
T - zbiór chwil czasowych,
W - zbiór wartości sygnałów (wartości sygnałów tworzą przestrzeń),
B - zbiór trajektorii w:=T→W spełniających prawa rządzące obiektem (określające zachowanie obiektu).
Układ dynamiczny nazywamy:
układem ciągłym - jeśli T=R, gdzie R - zbiór liczb rzeczywistych, czyli czas jest zmienną ciągłą,
układem dyskretnym - jeśli T=C, gdzie C - zbiór liczb całkowitych, czyli czas jest zmienną dyskretną.
Własności obiektów dynamicznych:
przebiegi sygnałów układu dynamicznego w czasie zależą nie tylko od aktualnych wartości wymuszeń, ale zależą także od wymuszeń, które były w przeszłości,
aby układ był układem dynamicznym musi zawierać co najmniej jedną zmienną stanu,
niekiedy do opisu układu dynamicznego wystarczą opisy wejść i wyjść bez jawnego wprowadzenia zmiennych stanu,
przechowują energię.
Stanem układu nazywamy najmniej liczny zbiór wielkości dostarczających ilość informacji, które wystarczają do oceny zachowania się układu (obiektu) w przyszłości czyli jednoznacznie określają zachowanie się układu oraz współrzędne wektora stanu w przestrzeni stanów (współrzędne końca wektora stanu).
Sterowalność:
Układ nazywamy sterowalnym, jeżeli za pomocą odpowiedniego, ograniczonego, przedziałami ciągłego sterowania u(t), można przeprowadzić go z dowolnego stanu początkowego x(t0) do zadanego dowolnego stanu końcowego x(tk) w skończonym przedziale czasu (t0-tk).
Obserwowalność:
Układ nazywamy obserwowalnym, jeżeli przy zadanym dowolnym sterowaniu istnieje skończona chwila tk taka, że na podstawie znajomości sterowania u(t) i odpowiedzi y(t) w przedziale (t0, tk) można wyznaczyć stan początkowy x(t0) w każdej chwili t0.
Stabilność:
Oznacza zdolność układu do powrotu do stanu równowagi po ustaniu działania wymuszenia, które ten układ ze stanu równowagi wytrąciło.
Przebieg ćwiczenia
2.1 Badanie podstawowych członów dynamicznych
Wykonując ćwiczenie w pierwszej kolejności zajęłyśmy się badaniem podstawowych członów dynamicznych. Aby nastawić parametry modelu należało z równań stanu i wyjść wyznaczyć macierze A, B, C i D.
Równanie stanu opisane jest wzorem:
$$\dot{X}\left( t \right) = A*X\left( t \right) + \ B*U(t)$$
zaś równanie wyjścia:
Y(t) = C * X(t) + D * U(t)
gdzie:
X(t) – wektor stanu,
Y(t) – wektor sygnałów wyjściowych,
U(t) – wektor sygnałów wejściowych,
A – macierz stanu,
B – macierz wejść,
C – macierz wyjść,
D - macierz transmisyjna układu.
Człony, które badałyśmy to:
Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
Równanie wyjścia:
Macierze:
Macierze C’ i D’ zostały utworzone ponieważ na tablicy pomiarowej nie było możliwości ustawienia wartości 1. Aby ją uzyskać pomnożyłyśmy równanie wyjścia przez (-1).
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon całkujący
Równanie stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon inercyjny
Równanie stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon różniczkujący rzeczywisty
Równanie stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
;
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon proporcjonalno – całkujący
Równanie stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon dwuinercyjny
Równanie stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Człon oscylacyjny:
Równania stanu:
Równanie wyjścia:
Macierze:
Charakterystyka skokowa dla tego układu wygląda następująco:
Dla członu oscylacyjnego rozpatrzyłyśmy 5 przypadków, z czego 4 zostały zadane przez prowadzącego. W przypadku oznaczonym gwiazdką macierze zostały wyznaczone z równań stanu i wyjścia.
Macierze:
Charakterystyki skokowe dla wszystkich układów członu wyglądają następująco
Charakterystyki wykonane podczas badania poszczególnych członów umieszczone zostały na końcu sprawozdania.
Badanie prostego układu regulacji
W drugiej części ćwiczenia należało sprawdzić warunki sterowalności, obserwowalności i stabilności układu regulacji. Aby to zrobić wyznaczyłyśmy równanie stanu, następnie transmitancję wypadkową.
Schemat badanego układu
Równanie stanu tego układu:
Transmitancja dwóch elementów połączonych szeregowo:
Transmitancja wypadkowa:
Z powyższego układu równań wypisujemy macierz:
Sterowalność
Warunek sterowalności: warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz o n - wierszach i m - kolumnach miała rząd n, czyli n - liniowo niezależnych kolumn.
Warunek:
; ;
;
Warunek sterowalności został spełniony, stąd układ jest sterowalny.
Obserwowalność
Warunek obserwowalności: warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby macierz:
o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo niezależnych wierszy. Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją macierzy O. Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco:
układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy jest równy n.
Warunek:
;
;
Warunek obserwowalności został spełniony, stąd układ jest obserwowalny.
Stabilność
Warunek na stabilność:
gdzie: I – macierz jednostkowa;
A – macierz stanu;
Sprawdzanie stabilności układu dla macierzy stanu
Ponieważ jeden z członów równania charakterystycznego układu posiadającego macierz stanu ma wartość ujemną, to układ nie jest stabilny.
Wnioski
Charakterystyki skokowe otrzymane podczas badania członów dynamicznych są zgodne z charakterystykami teoretycznymi tych członów.
Ze względu na brak możliwości ustawienia wartości 1 na tablicy pomiarowej dla macierzy D całe równanie wyjścia pomnożyłyśmy przez ( -1 ) otrzymując macierze C’ i D’.
Równanie to wyglądało następująco:
–y = kp * ( -u )
Po wykonaniu tego na tablicy pomiarowej zadawałyśmy ujemne wymuszenie u.
Człon oscylacyjny został zamodelowany przez nas dla różnych macierzy A. Na podstawie otrzymanych charakterystyk mogłyśmy stwierdzić, że zmiany wartości w macierzy A powodują zmiany zachowania się układu.
Dla przykładowej macierzy:
zmiany wartości:
a2 powodują zmianę wielkości oscylacji. Przy zmianie jej wartości z 1 na 7 widzimy, że przy wartości 7 oscylacje są dużo większe.
a3 powodują tłumienie wykresu odpowiedzi powodując zbliżanie go do zera. Jeśli zmienimy wartości z ( -1 ) na ( -7 ) możemy zaobserwować, że dla wartości ( -7 ) charakterystyka jest przesunięta w kierunku zera.
a4 powodują tłumienie oscylacji. Zwiększając wartość a4 z ( -1 ) do 0 zauważamy, że oscylacje nie są tłumione, zaś w przypadku jej zmniejszenia do wartości ( -7 ) oscylacje nie występują i charakterystyka jest zbliżona do wykresu dla członu dwuinercyjnego.
Po wykonaniu ćwiczenia oraz analizie otrzymanych wyników jesteśmy z stanie stwierdzić, że układ regulacji jest sterowalny, obserwowalny, lecz nie jest stabilny.