1. Przyjęcie wymiarów wstępnych

1.1. Przyjęcie wstępnych wymiarów płyty

• wysokość płyty

$$h_{f} \geq \frac{L}{35} = \frac{360}{35} = 10,28\ cm$$

h_f=12cm

1.2. Przyjęcie wstępnych wymiarów żebra

• wysokość żebra

$$h_{z} = \left( \frac{1}{15} \div \frac{1}{12} \right)B = \left( 0,51 \div 0,63 \right)\ \lbrack m\rbrack$$

h_ż=55cm

b_z = (0,3÷0,5)h_z = (0,16÷0,27)[ m]

b_ż=25cm

1.3. Przyjęcie wstępnych wymiarów rygla

• wysokość rygla

$$h_{r} = \left( \frac{1}{12} \div \frac{1}{10} \right)\left( n*L \right) = \left( \frac{1}{12} \div \frac{1}{10} \right)*3*3,6 = (0,9 \div 1,08)\lbrack m\rbrack$$

h_r=100cm

• szerokość rygla

b_r = (0,3÷0,5)h_r = (0,3÷0,5) * 1 [m]

b_r=40cm

1.4. Przyjęcie wstępnych wymiarów słupa

• wysokość słupa

h_sl = (0,6÷0,8)h_r = (0,6÷0,8) * 1[m]

h_r=70cm

• szerokość słupa

b_sl = b_r = 40cm

b_r=40cm

1.5. Przyjęcie wstępnych wymiarów stopy fundamentowej

DACH:

Warstwy wykończeniowe	Wartości charakterystyczne gk[kN/m^2]	γf	Wartości obliczeniowe go[kN/m^2]
2xpapa termozgrzewalna	0,12	1,35	0,162
Gładź cementowa 0,06*21	1,26	1,35	1,701
Folia paroprzepuszczalna	-	1,35	-
Styropian ekstrudowany 0,04*0,45	0,018	1,35	0,0243
Paroizolacja	-	1,35	-
Płyta żelbetowa 0,12*25	3	1,35	4,05
Tynk cementowo-wapienny 0,015*19	0,285	1,35	0,385
Obciążenie śniegiem	0,72	1,5	1,08
		Suma :	7,40 kN/m^2

7,40 kN/m² *7,6m*5,4m=303,70 kN

STROP:

Warstwy wykończeniowe	Wartości charakterystyczne gk[kN/m^2]	γf	Wartości obliczeniowe go[kN/m^2]
Gładź cementowa 0,06*21	1,26	1,35	1,701
Folia paroprzepuszczalna	-	1,35	-
Styropian ekstrudowany 0,04*0,45	0,018	1,35	0,0243
Paroizolacja	-	1,35	-
Płyta żelbetowa 0,12*25	3	1,35	4,05
Tynk cementowo-wapienny 0,015*19	0,285	1,35	0,385
Obciążenie użytkowe	9,4	1,5	14,1
		Suma :	20,27 kN/m^2

20,27 kN/m²* 7,6m*5,4m= 831,88 kN

SŁUP:

25kN/m³*(4,7m+4,1m)*0,7m*0,4m= 61,6kN

UŚREDNIONY CIĘŻAR GRUNTU I ŚCIANY:

20kN/m³*2m*2,5m*1m= 100kN

SUMA: N_max=303,70 kN + 831,88 kN + 61,6kN + 100kN=1297,18 kN

P_max=1297,18 kN*1,2=1556,616 kN

P_max/A≤0,81*q_f ,q_f =300

=> A≥6,14m²

h_s/b_s=7/4=L_st/B_st => L_st=3,3m, B_st=1,88

A= 6,20 m²

2. Obliczenia statyczne płyty

2.1. Zebranie obciążeń

• obciążenie stałe (zbierane na 1 m płyty)

Warstwy wykończeniowe	Wartości charakterystyczne gk[kN/m]	γf	Wartości obliczeniowe go[kN/m]
Gładź cementowa 0,06*1*21	1,26	1,35	1,701
Folia paroprzepuszczalna	-	1,35	-
Styropian ekstrudowany 0,04*0,45*1	0,018	1,35	0,0243
Paroizolacja	-	1,35	-
Płyta żelbetowa 0,12*25*1	3	1,35	4,05
Tynk cementowo-wapienny 0,015*19*1	0,285	1,35	0,385
Suma :	4,56 kN/m	1,35	6,17 kN/m

g_o= 6,17 kN/m

• obciążenie zmienne

p^o = p^k * 1, 00m * γ_f = 9, 4 * 1, 00m * 1, 5 = 14, 1 kN/m

2.2. Wyznaczenie momentów zginających

2.2.1 Momenty przęsłowe

Wszystkie momenty obliczamy korzystając z tablic Winklera dla belki trójprzęsłowej.

1. M_AB

M_AB^g = k₁ * g * l² = 0, 08 * 6, 17 * 3, 6² = 6, 397 kNm

max M_AB^p = k₂ * p * l² = 0, 101 * 14, 1 * 3, 6²=18,456 kNm

min M_AB^p = k₂ * p * l² = −0, 025 * 14, 1 * 3, 6²=−4,568 kNm

max M_AB = M_AB^g + maxM_AB^p = 6, 397 + 18, 456=24,853 kNm

min M_AB = M_AB^g + minM_AB^p = 6, 397 − 4, 568=1,829 kNm

b) M_BC

M_BC^g = k₁ * g * l² = 0, 025 * 6, 17 * 3, 6² = 1, 999 kNm

max M_BC^p = k₂ * p * l² = 0, 075 * 14, 1 * 3, 6² = 13, 705 kNm

min M_BC^p = k₂ * p * l² = −0, 05 * 14, 1 * 3, 6² = −9, 137 kNm

max M_BC = M_BC^g + maxM_BC^p = 1, 999 + 13, 705 = 15, 704 kNm

min M_BC = M_BC^g + minM_BC^p = 1, 999 − 9, 137  = −7, 138 kNm

2.2.2. Moment podporowe M_B

M_B^g = k₁ * g * l² = −0, 1 * 6, 17 * 3, 6² = −7, 996 kNm

max M_B^p = k₂ * p * l² = 0, 017 * 14, 1 * 3, 6² = 3, 106 kNm

min M_B^p = k₂ * p * l² = −0, 117 * 14, 1 * 3, 6² = −21, 380kNm

max M_B = M_B^g + maxM_B^p = −7, 996 + 3, 106 = −4, 889 kNm

min M_B = M_B^g + minM_B^p = −7, 996 − 21, 38 = −29, 376 kNm

2.2.3. Moment uśredniony  M_AB

$$us\text{r\ }M_{\text{AB}} = \frac{\text{min\ M}_{\text{AB}} + \frac{\text{odp\ M}_{A} + odp\ M_{B}}{2}}{2}$$

min M_AB = 1, 829  kNm

odp M_A = 0, 0 kNm

odp M_B = M_B^g + odp M_B^p

M_B^g = −7, 996  kNm

odp M_B^p = k₂ * p * l² = −0, 05 * 14, 1 * 3, 6² = −9, 137 kNm

odp M_B = −7, 996 − 9, 137 = −17, 133 kNm

$$\mathbf{u}\mathbf{s}\mathbf{\text{r\ }}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{AB}}} = \frac{1,829\ \ \ + \frac{0,0 - 17,133\ }{2}}{2} = \mathbf{- 3,369\ kNm}$$

2.2.4. Moment uśredniony  M_BC

$$us\text{r\ }M_{\text{BC}} = \frac{\text{min\ M}_{\text{BC}} + \frac{\text{odp\ M}_{B} + odp\ M_{C}}{2}}{2}$$

min M_BC = −7, 138 kNm

odp M_B = odp M_C = M_B^g + odp M_B^p = M_C^g + odp M_C^p

M_B^g = M_C^g = −7, 996 kNm

odp M_B^p = odp M_C^p = −9, 137 kNm

odp M_B =  odp M_C = −7, 996 − 9, 137 = −17, 133 kNm

$$\mathbf{u}\mathbf{s}\mathbf{\text{r\ }}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{BC}}} = \frac{- 7,138\ \ \ + \frac{- 17,133 - 17,133}{2}}{2} = \mathbf{- 12,135\ kNm}$$

2.2.5. Moment krawędziowy [M_B]

$$\lbrack M_{B}\rbrack = - (|\min{M_{B}| - \min\left| \text{odp\ T}_{B}^{L},\text{odp\ T}_{B}^{P} \right|*0,5*b_{z} + \left| g + p \right|*\frac{b_{z}^{2}}{8})}$$

szerokość żebra →b_z = 0, 25 m

obciążenie stałe obliczeniowe $\rightarrow g = 6,17\ \frac{\text{kN}}{m}$

obciążenie zmienne obliczeniowe $\rightarrow p = 14,1\ \frac{\text{kN}}{m}$

min M_B= − 29, 376 kNm

minT_B^L = k₃ * g * l + k₄ * p * l =   − 0, 6 * 6, 17 * 3, 6 − 0, 617 * 14, 1 * 3, 6 = −44, 646 kN

minT_B^L = k₃ * g * l + k₄ * p * l =  0, 5 * 6, 17 * 3, 6 + 0, 583 * 14, 1 * 3, 6 = 40, 699 kN

$$\mathbf{\lbrack M}_{\mathbf{B}}\mathbf{\rbrack} = - (\operatorname{29,376}{- 40,699\ *0,5*0,25 + \left| 6,17 + 14,1 \right|*\frac{{0,25}^{2}}{8}) = \mathbf{- 24,447\ kNm}}$$

Obwiednie momentów

3. Wymiarowanie płyty ze względu na zginanie (SGN)

Klasa ekspozycji: PN-EN 1992-1-1 tabela 4.1. → korozja spowodowana karbonatyzacja; beton zainstalowany w środowisku suchym lub stale mokrym → XC1

3.1. Przyjęcie wartości wytrzymałościowych dla betonu i stali

Beton : C25/30

wytrzymałość charakterystyczna betonu na ściskanie →f_ck = 25 MPa

wytrzymałość obliczeniowa betonu na ściskanie $\rightarrow f_{\text{cd}} = \alpha_{\text{cc}}*\frac{f_{\text{ck}}}{\gamma_{c}}$

współczynnik wytrzymałościowy wg EC 2 →γ_c = 1, 4

współczynnik od →α_cc = 1, 0

$$f_{\text{cd}} = 1,0*\frac{25\ MPa}{1,4} = 17,857\ MPa$$

Stal

wytrzymałość charakterystyczna stali na rozciąganie →f_yk = 500 MPa ( A III N )

wytrzymałość projektowa stali na rozciąganie $\rightarrow f_{\text{yd}} = \frac{f_{\text{yk}}}{\gamma_{s}}$

współczynnik obliczeniowy →γ_s = 1, 15

$$f_{\text{yd}} = \frac{500\ MPa}{1,15} = 434,78\ MPa$$

3.2. Określenie minimalnego zbrojenia

Otulenie nominalne: c_nom = c_min + c_cev

c_min = max{c_min, b ;  c_min, dur + c_dur, γ − c_dur, st − c_dur, add; 10 mm}

c_min, b = O  pręta zbrojeniowego, przy założeniu, że nominalny, maksymalny wymiar ziaren kruszywa jest mniejszy niż 32 mm

c_min, b = 10mm

c_min, dur15 mm

c_dur, γ = c_dur, st = c_dur, add = 0 mm

c_min = max{10 ; 15;10}[mm] = 15 mm

5 mm ≤ c_cev ≤ 10 mm; przyjęto 5 mm

c_nom = 15 + 5=20 mm=0, 02m

h_f = 0, 12m

d = h_f − c_nom − O/2 = 0, 095m

b=1,00 m

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{M_{\text{ED}}}{b*d^{2}*f_{\text{cd}}}$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - {2*\mu}_{\text{eff}}}$$

$$\mathbf{\xi}_{\mathbf{eff,lim}} = 0,8*\frac{\lbrack?\rbrack_{cu3}}{\lbrack?\rbrack_{cu3} + \lbrack?\rbrack_{s}} = 0,8*\frac{\lbrack?\rbrack_{cu3}}{\lbrack?\rbrack_{cu3} + \frac{f_{\text{yd}}}{E_{s}}} = 0,8*\frac{3,5*10^{- 3}}{3,5*10^{- 3} + \frac{434,78}{200*10^{3}}}\mathbf{= 0,493}\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

f_ctm - średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie (PN-EN 1992-1-1; tab. 3.1.)

f_ctm = 2, 6 MPa

3.3. Zbrojenie przęseł dołem

3.3.1. Zbrojenie przęseł dołem dla momentu przęsłowego max M_AB

M_ED = max M_AB = 24, 853 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{2485,3\ }{100*{9,5}^{2}*1,786} = 0,152\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,154} = 0,166\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\mathbf{A}_{\mathbf{S}\mathbf{1}} = 100*0,166*9,5*\frac{1,786}{43,48} = \mathbf{6,478\ \ \lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

$$\mathbf{A}_{\mathbf{S,min}} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,26}{50}*100*9,5\ ;\ 0,0013*100*9,5 \right\} = \max\left\{ 1,284\ ;\ 1,235 \right\} = \mathbf{1,284\lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

A_S1 ≥ A_S, min

Przyjęto zbrojenie: Ø 8/10 mm w rozstawie co 9,5 cm.

A_S, prov=6, 78  [cm²]>A_S1 = 6, 478  [cm²]

3.3.2. Zbrojenie przęseł dołem dla momentu przęsłowego max M_BC

M_ED = max M_BC = 15, 704 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{1570,4}{100*{9,5}^{2}*1,786} = 0,097\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,0,97} = 0,103\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 100*0,103*9,5*\frac{1,786}{43,48} = \mathbf{4,008\ \ \lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}\text{\ \ }$$

A_S, min = max{1,284 ; 1,235} = 1, 284[cm²]

A_S1 = 4, 008  [cm²] ≥ A_S, min = 1, 284[cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 6/8 mm w rozstawie co 9,5 cm.

A_S, prov=4, 13 [cm²]>A_S1 = 4, 008  [cm²]

3.4. Zbrojenie podpór górą

3.4.1. Zbrojenie podpór górą dla momentu podporowego min M_B

$$d^{'} = d + \frac{b_{z}}{6}$$

d^′ - obliczeniowa wysokość przekroju płyty nad żebrem

$$\mathbf{d}^{\mathbf{'}} = 0,095 + \frac{0,25}{6} = \mathbf{0,137}\ \left\lbrack m \right\rbrack$$

M_ED = |min M_B|=|−29, 376| kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{2937,6}{100*{13,7}^{2}*1,786} = 0,088\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,088} = 0,092\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,092*100*13,7*\frac{1,786}{43,48} = \mathbf{5,169\ \lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}\text{\ \ }$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,26}{50}*100*13,7\ ;\ 0,0013*100*13,7 \right\} = \max\left\{ 1,852;\ 1,781 \right\} = \mathbf{1,781\lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

A_S1 = 5, 169  [cm²] ≥ A_S, min = 1, 781 [cm²]

Przyjęto zbrojenie: Ø 8mm w rozstawie co 9,5 cm.

A_S, prov=5, 29  [cm²]>A_S1 = 5, 169  [cm²]

3.4.2. Zbrojenie podpór górą dla momentu krawędziowego [M_B]

M_ED = |[M_B]|=|−24, 447 | kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{2444,7}{100*{9,5}^{2}*1,786} = 0,152\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,152} = 0,165\ \left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\mathbf{A}_{\mathbf{S}\mathbf{1}} = 100*0,165*9,5*\frac{1,786}{43,48} = \mathbf{6,452\ \ \lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

A_S, min = max{1,284 ; 1,235} = 1, 284[cm²]

A_S1 ≥ A_S, min

Przyjęto zbrojenie: Ø 8/10 mm w rozstawie co 9,5 cm.

A_S, prov=6, 78  [cm²]>A_S1=6, 452  [cm²

3.4.3. Zbrojenie skrajnej podpory górą dla momentu M_A=0, 15*max M_AB

M_ED = M_A = 0, 15 * maxM_AB = 0, 15 * 24, 853 = 3, 728 kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{372,8}{100*{13,7}^{2}*1,786} = 0,011\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,011} = 0,011\left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack - \right\rbrack$$

$$A_{S1} = 0,011*100*13,7*\frac{1,786}{43,48} = 0,619\ \ \lbrack cm^{2}\rbrack$$

$$A_{S,min} = \max\left\{ 0,26*\frac{0,26}{50}*100*13,7\ ;\ 0,0013*100*13,7 \right\} = \max\left\{ 1,852;\ 1,781 \right\} = \mathbf{1,781\lbrack c}\mathbf{m}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

A_S1 = 0, 619 [cm²] ≤ A_S, min = 1, 781[cm²]

Z uwagi na bardzo mały moment przyjmuję A_S1 = A_S, min = 1, 781 [cm²]

Przyjęto zbrojenie Ø 8 mm w rozstawie co 28 cm.

A_S, prov=1, 8  [cm²]>A_S1 = 1,781  [cm²]

3.5. Zbrojenie przęseł górą

$$M_{\text{cr}} = f_{\text{ctm}}*W_{c} = 2600*\frac{1*{0,12}^{2}}{6} = 6,240\ kNm$$

|usr M_AB| = |−3,369 |kNm ≤ M_cr = 6, 240  kNm

Warunek został spełniony - nie ma potrzeby zbrojenia górą dla usr M_AB

|usr M_BC| = |−12,385|kNm > M_cr = 6, 240kNm

$$\mu_{\text{eff}} = \frac{1238,5}{100*{9,5}^{2}*1,786} = 0,077\left\lbrack - \right\rbrack$$

$$\xi_{\text{eff}} = 1 - \sqrt{1 - 2*0,077} = 0,080\left\lbrack - \right\rbrack \leq \xi_{eff,lim} = 0,493\ \left\lbrack \right\rbrack$$

$$A_{S2} = 9,5*100*0,080*\frac{1,786}{43,48} = \mathbf{3,122}\ \mathbf{\lbrack}\mathbf{\text{cm}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\rbrack}$$

A_S, min = 1, 284[cm²]

A_S2 > A_S, min

Przyjęto zbrojenie: Ø 6/8 mm w rozstawie co 9,5cm.

A_S, prov=4, 14 [cm²]>A_S2 = 3, 122   [cm²]

3.6. Zestawienie zbrojenia płyty na szerokość 1 mb

ZBROJENIE	PRZEKRÓJ	M	d	μeff	ξeff	AS1	AS, min	Ø	AS, prov	ROZS-TAW
		[kNm]	cm	-	-	cm^2	cm^2	mm	cm^2	cm
DOŁEM	AB	24,853	9,5	0,152	0,166	6,578	1,284	8/10	6,78	9,5
	BC	15,704	9,5	0,097	0,103	4,008	1,284	6/8	4,14	9,5
GÓRĄ	B	29,376	13,7	0,088	0,092	5,169	1,781	8	6,78	9,5
	[B]	24, 447	9,5	0,152	0,165	6,452	1,284	8/10
	uśrBC	12,385	9,5	0,077	0,080	3,112	1,284	8	5,29	9,5
cz.Zamo- cowania	A	3,728	13,7	0,011	0,011	0,619	1,781	8	1,8	28

4. Stan graniczny użytkowania (SGU)

SGU liczymy dla ekstremalnych wartości sił wewnętrznych od obciążeń charakterystycznych
(obciążenia zmienne od części długotrwałej)

-charakterystyczne obciążenie użytkowe $p^{k} = 9,40\ \frac{\text{kN}}{m}$

-charakterystyczne obciążenie stałe $g^{k} = 4,56\ \frac{\text{kN}}{m}$

-współczynnik dla długotrwałej części obciążenia zmiennego: ψ_d := 0,8

- obciążenie charakterystyczne dla części długotrwałej: $p_{\psi}^{k} = 9,40*0,8 = 7,52\ \frac{\text{kN}}{m}$

4.1. Momenty przęsłowe i podporowy od charakterystycznego obciążenia ciągłego g^k+p^k

M_AB^k = 0, 08 * 4, 56  * 3, 60² + 0, 101 * 7, 52 * 3, 60² = 13, 626 kNm,

M_BC^k = 0, 025 * 4, 56  * 3, 60² + 0, 075 * 7, 52 * 3, 60² = 8, 491 kNm

M_B^k = −0, 1 * 4, 56  * 3, 60 − 0, 117 * 7, 52 * 3, 60² = −16, 130 kNm

Moment rysujący: M_cr = f_ct, eff * W

W - wskaźnik wytrzymałości na zginanie

f_ct, eff - efektywna wytrzymałość betonu na rozciąganie (f_ct, eff = f_ctm = 2600 kPa)

$$W = \frac{b*h^{2}}{6} = \frac{1,0*{0,12}^{2}}{6} = 2,4*10^{- 3}m^{3}$$

$$\mathbf{M}_{\mathbf{\text{cr}}} = 2600\frac{\text{kN}}{m^{2}}*2,4*10^{- 3}m^{3} = \mathbf{6,24\ kNm}$$

M_cr < M_AB oraz M_cr < M_B

W przęsłach AB i CD oraz w przekroju nad podporą B i C wystąpią zarysowania betonu.
4.2. Dane materiałowe

Beton: C16/20 → f_ctm = 2, 6 MPa

E_cm = 31 GPa

Stał: → E_s = 200 GPa

4.3. Sprawdzenie warunków rozwarcia rys prostopadłych

4.3.1Przęsło AB :

Przekrój B-B → Ø = 8/10 mm obliczam zbrojenie zastępcze; r = 15 cm; c = 20 mm

$$5*\left( 20 + \frac{10}{2} \right) = 125mm > r = 95mm \rightarrow s_{r,max} = k_{3}*c + k_{1}*k_{2}*k_{4}*\varnothing*\frac{1}{\rho_{\text{eff}}}$$

Ø_eq=$\frac{6*8^{2} + 5*10^{2}}{6*8 + 5*10}$=9,0 mm

k₃=3,4
k₄=0,425
k₁=0,8
k₂=0,5

$$\alpha_{\text{et}} = \frac{E_{s}}{E_{c,eff}} = \frac{E_{s}}{E_{\text{cm}}}*\left( 1 + \varphi_{\infty,t_{0}} \right) = \frac{200}{31}*\left( 1 + 2,1 \right) = 20$$

φ_∞, t0- przyjęty na podstawie PN-EN 1992-1-1 str. 28 rys. 3.1
h₀ - miarodajny wymiar
A_C - pole przekroju betonu
u - obwód tej części, która jest poddana wysychaniu

$$h_{0} = 2*\frac{Ac}{u}$$

A_C = b*h=1,0*0,12=0,12 m² u = 1,0m
($h_{0} = 2*\frac{0,12}{1} = 240\ mm$, t₀=28 dni) φ_∞, t0=2,1

$$\rho = \frac{A_{s1}}{b*d}\text{\ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A_{s1} = 6,78*10^{- 4}\ m^{2} \\ b = 1\ m \\ d = 0,095\ m \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\rho = \frac{6,78*10^{- 4}\ m^{2}}{1*0,095} = 7,14*10^{- 3}\ $$

$$x_{\text{II}} = d*\left\lbrack \sqrt{\rho*\alpha_{\text{et}}*\left( 2 + \rho*\alpha_{\text{et}} \right)} - \rho*\alpha_{\text{et}} \right\rbrack$$

$$x_{\text{II}} = 0,095*\left\lbrack \sqrt{7,14*10^{- 3}*20*\left( 2 + 7,14*10^{- 3}*20 \right)} - 7,14*10^{- 3}*20 \right\rbrack = 0,0390\ m$$

$$h_{\text{eff}} = \min\left\{ \begin{matrix} 2,5*\left( h - d \right) \\ \frac{\left( h - x_{\text{II}}\ \right)}{3} \\ \end{matrix}\ \right\}$$

$$h_{c,eff} = \min\left\{ \begin{matrix} 2,5*\left( 0,12 - 0,095 \right) \\ \frac{\left( 0,12 - 0,0390\ \right)}{3} \\ \end{matrix}\ \right\} = \min\begin{Bmatrix} 0,0625 \\ 0,0270 \\ \end{Bmatrix} = 0,0270\ m$$

A_c, eff = h_c, eff * b = 0, 0270 * 1 = 0, 0270 m²

$$\rho_{p,eff} = \frac{A_{s1}}{A_{c,eff}} = \frac{6,78*10^{- 4}}{0,0270} = 0,025\ \left\lbrack \right\rbrack$$

$$\mathbf{s}_{\mathbf{r,max}} = k_{3}*c + k_{1}*k_{2}*k_{4}*\frac{\varnothing}{\rho_{\text{eff}}} = 3,4*20 + 0,425*0,8*0,5*\frac{9}{0,025} = 129,2mm = \mathbf{0,1292}\mathbf{m}$$

I_II - moment bezwładności przekroju w II fazie

$${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} = \frac{\sigma_{s} - k_{t}*\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}*(1 + \alpha_{\text{et}}*\rho_{p,eff})}{E_{s}} \geq 0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$$

k_t - współczynnik zależny od czasu trwania obciążenia (k_t = 0, 6 dla obc. krótkotrwałych; k_t = 0, 4 dla obc. długotrwałych ) → przyjęto k_t = 0, 4

M_ED = M_AB = 17, 032

$$I_{\text{II}} = \frac{b*{x_{\text{II}}}^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{s1}*{(d - x_{\text{II}})}^{2}$$

$$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}} = \frac{1*{0,0390\ }^{3}}{3} + 20*6,78*10^{- 4}*\left( 0,095 - 0,0390 \right)^{2} = \mathbf{6,23*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 5}}\mathbf{\ }\mathbf{m}^{\mathbf{4}}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{s}} = \alpha_{\text{et}}*\frac{M_{\text{ED}}}{I_{\text{II}}}*\left( d - x_{\text{II}} \right) = 20*\frac{17,032}{6,23*10^{- 5}}*\left( 0,095 - 0,039 \right) = \mathbf{306193,259\ kPa}$$

$$0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} = 0,6*\frac{306193,259\ }{200*10^{6}} = 9,19*10^{- 4}\lbrack - \rbrack$$

$${\mathbf{\lbrack?\rbrack}_{\mathbf{\text{sm}}}\mathbf{- \ \lbrack?\rbrack}}_{\mathbf{\text{cm}}} = \frac{306193,259\ \ \ - 0,4*\frac{2600}{0,025}*(1 + 20*0,025)}{200*10\hat{}6} = \mathbf{1,22*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}$$

${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} \geq 0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$ warunek spełniony

w_k = 0, 1292  * 1, 92 * 10⁻³ = 2, 481*10⁻⁴ m

Warunek na rozwarcie rys → w_k ≤ w_k, lim

w_k, lim = 0, 4 mm  → patrz Tablica 7.1N: zalecane wartości w_max (mm)

w_k = 0, 2481 mm ≤  w_k, lim = 0, 4 mm Warunek spełniony.

4.3.2. Podpora B

Przekrój B-B → Ø = 8/10 mm obliczam zbrojenie zastępcze; r = 15 cm; c = 20 mm

M_ED = M_B^k = | − 20, 163 | [kNm]

$$\sigma_{s} = 20*\frac{20,163}{6,23*10^{- 5}}*\left( 0,095 - 0,039 \right) = 362480,899\ kPa$$

$$0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}} = 0,6*\frac{362480,899\ }{200000000} = 1,087*10^{- 3}\ \lbrack - \rbrack$$

$${\mathbf{\lbrack?\rbrack}_{\mathbf{\text{sm}}}\mathbf{- \ \lbrack?\rbrack}}_{\mathbf{\text{cm}}} = \frac{362480,899\ \ \ - 0,4*\frac{2600}{0,025}*(1 + 20*0,025)}{200*10\hat{}6} = \mathbf{1,5*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 3}}$$

${\lbrack?\rbrack_{\text{sm}} - \ \lbrack?\rbrack}_{\text{cm}} \geq 0,6*\frac{\sigma_{s}}{E_{s}}$ warunek spełniony

w_k = 0, 1292  * 1, 5 * 10⁻³ = 1, 938*10⁻⁴ m

Warunek na rozwarcie rys → w_k ≤ w_k, lim

w_k, lim = 0, 4 mm 

w_k = 0, 1938 mm ≤  w_k, lim = 0, 4 mm Warunek spełniony.

4.4. Sprawdzenie warunku ugięcia

4.4.1. Sprawdzenie warunku ugięcia dla przęsła AB

a = ζ * a_II + (1−ζ) * a_I

$$\mathbf{\zeta} = 1 - \beta*\left( \frac{\sigma_{\text{sr}}}{\sigma_{s}} \right)^{2} = 1 - \beta*\left( \frac{M_{\text{cr}}}{M_{\text{AB}}} \right)^{2} = 1 - 0,5*\left( \frac{6,24}{13,626\text{\ \ }} \right)^{2} = \mathbf{0,}\mathbf{895}\ \lbrack - \rbrack$$

β = 0, 5 dla obciazenia dlugotrwalego

$$\mathbf{E}_{\mathbf{c,eff}} = \frac{E_{\text{cm}}}{1 + \varphi\left( \infty,t_{0} \right)} = \frac{31}{1 + 2,1} = \mathbf{10\ GP}\text{a\ }$$

$\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}} = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{M_{A} + M_{B}}{10*M_{\text{AB}}} \right) = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{0 - 16,230}{10*13,626} \right)\mathbf{= 0,}\mathbf{092}$

α_et=20

* obliczenie a_I

• S_y = b * h * 0, 5 * h + α_et * A_s1 * d = 1 * 0, 12 * 0, 5 * 0, 12 + 20 * 6, 78 * 10⁻⁴ * 0, 095 = 8, 488 * 10⁻³ m³

• A = b * h + α_et * A_s1 = 1 * 0, 12 + 20 * 6, 78 * 10⁻⁴ = 0, 133 m²

$${x_{I} = \frac{S_{y}}{A} = \frac{8,488*10^{- 3}}{0,133} = 0,064\ m\backslash n}{I_{I} = \frac{b*{x_{I}}^{3}}{3} + \frac{b*(h - {x_{I})}^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{s1}*\left( d - x_{I} \right)^{2} =}$$

$$= \frac{1*{0,064}^{3}}{3} + \frac{1*(0,12 - {0,064)}^{3}}{3} + 20*6,78*10^{- 4}*\left( 0,095 - 0,064 \right)^{2} = \mathbf{1,589*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}$$

$$\mathbf{a}_{\mathbf{I}} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{BC}}*l^{2}}{E_{c,eff}*I_{I}} = 0,117*\frac{13,626*{3,6}^{2}}{10{*10}^{6}*1,589*10^{- 4}}\mathbf{= 0,01}\mathbf{3}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

* obliczenie a_II

I_II = 6, 23 * 10⁻⁵ m⁴ (z punktu 5.3)

$$\mathbf{a}_{\mathbf{\text{II}}} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{AB}}*l^{2}}{E_{c,eff}*I_{\text{II}}} = 0,092*\frac{13,626*{3,6}^{2}}{10{*10}^{6}*6,23*10^{- 5}}\mathbf{= 0,}\mathbf{026}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

a = ζ * a_II + (1−ζ) * a_I = 0, 895  * 0, 026  + (1−0,895 ) * 0, 013=0, 025 m

$a,lim = \frac{3,65}{250} = \mathbf{0,014\ m}\ $  

a≥a, lim warunek ugięcia niespełniony

Wniosek: W takim wypadku należy zwiększyć klasę betonu, zaprojektować więcej zbrojenie lub zwiększyć grubość płyty.

4.4.1. Sprawdzenie warunku ugięcia dla przęsła BC

$$\mathbf{\zeta} = 1 - \beta*\left( \frac{M_{\text{cr}}}{M_{\text{BC}}} \right)^{2} = 1 - 0,5*\left( \frac{6,24}{8,491\text{\ \ }} \right)^{2} = \mathbf{0,}\mathbf{730}\ \lbrack - \rbrack$$

β = 0, 5 dla obciazenia dlugotrwalego

E_c, eff=10 GPa (z punktu 4.2.1)

$\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}} = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{M_{B} + M_{C}}{10*M_{\text{BC}}} \right) = \frac{5}{48}*\left( 1 - \frac{- 16,130 - 16,130}{10*8,491} \right) = \mathbf{0,144}$

α_et=20

* obliczenie a_I

• S_y = b * h * 0, 5 * h + α_et * A_s1 * d = 1 * 0, 12 * 0, 5 * 0, 12 + 20 * 4, 14 * 10⁻⁴ * 0, 095 = 7, 987 * 10⁻³ m³

• A = b * h + α_et * A_s1 = 1 * 0, 12 + 20 * 4, 14 * 10⁻⁴ = 0, 128 m²

$${x_{I} = \frac{S_{y}}{A} = \frac{7,987*10^{- 3}}{0,128} = 0,062\ m\backslash n}{I_{I} = \frac{b*{x_{I}}^{3}}{3} + \frac{b*(h - {x_{I})}^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{s1}*\left( d - x_{I} \right)^{2} =}$$

$$= \frac{1*{0,062}^{3}}{3} + \frac{1*(0,12 - {0,062)}^{3}}{3} + 20*4,14*10^{- 4}*\left( 0,095 - 0,062 \right)^{2} = \mathbf{1,535*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}$$

$$\mathbf{a}_{\mathbf{I}} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{BC}}*l^{2}}{E_{c,eff}*I_{I}} = 0,144*\frac{0,010*{3,6}^{2}}{10{*10}^{6}*1,535*10^{- 4}} = \mathbf{0,01}\mathbf{0}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

* obliczenie a_II

$$\rho = \frac{A_{s1}}{b*d}\text{\ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} A_{s1} = 4,14*10^{- 4}\ m^{2} \\ b = 1\ m \\ d = 0,095\ m \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\rho = \frac{4,14*10^{- 4}\ }{1*0,095} = 4,36*10^{- 3}\ $$

$$x_{\text{II}} = d*\left\lbrack \sqrt{\rho*\alpha_{\text{et}}*\left( 2 + \rho*\alpha_{\text{et}} \right)} - \rho*\alpha_{\text{et}} \right\rbrack =$$

$$= 0,095*\left\lbrack \sqrt{4,36*10^{- 3}*20*\left( 2 + 4,36*10^{- 3}*20 \right)} - 4,36*10^{- 3}*20 \right\rbrack = 0,0322\ m$$

$$I_{\text{II}} = \frac{b*{x_{\text{II}}}^{3}}{3} + \alpha_{\text{et}}*A_{s1}*\left( d - x_{\text{II}} \right)^{2} =$$

$$= \frac{1*{0,0322}^{3}}{3} + 20*4,14*10^{- 4}*\left( 0,095 - 0,0322 \right)^{2} = 4,38*10^{- 5}\ m^{4}$$

$$\mathbf{a}_{\mathbf{\text{II}}} = \alpha_{k}*\frac{M_{\text{BC}}*l^{2}}{E_{c,eff}*I_{\text{II}}} = 0,144*\frac{8,491*{3,6}^{2}}{10{*10}^{6}*4,38*10^{- 5}}\mathbf{= 0,0}\mathbf{36}\mathbf{\ }\mathbf{m}$$

a = ζ * a_II + (1−ζ) * a_I = 0, 730   * 0, 036  + (1−0,730 ) * 0, 010=0, 035 m

$a,lim = \frac{3,65}{250} = \mathbf{0,014\ m}\ $  

a≥a, lim warunek ugięcia niespełniony

Wniosek: W takim wypadku należy zwiększyć klasę betonu, zaprojektować więcej zbrojenie lub zwiększyć grubość płyty.