Całki: ∫ f '(x) / f(x) dx = ln I f(x) I +C. ∫ x^α dx = x^α+1 / α +1 +C , ∫ 1/x dx = ln IxI +C , ∫ a^x dx = a^x / lnx +C , ∫ sinx dx = - cosx +C , ∫ cosx dx = sinx +C , ∫ dx / cos²x = tgx + C , ∫ dx / sin² x = - ctgx +C , ∫ dx / 1+x² = arc tgx +C , ∫ dx / √1-x² = arc sinx +C . ∫ e^-x dx = -e^-x +C . ∫ f '(x) g(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f(x) g'(x) dx

POCHODNE √X = 1 / 2√X, ⁿ√x = 1 / n ⁿ√x^n-1 , 1/x = - 1 / x² , sin x = cos x , cos x = - sin x , a ^X = a ^X ln _a , tg x = 1 / cos² x , ctg x = 1 / sin² x, e ^X = e ^X ,

log _a x = 1 / x ln a, log x = 1 / x ln 10, ln x = 1 / x , arc sin x = 1 / √ (1 - x²) , arc cos x = - 1 / √ (1 - x²) , arc tg x = 1 / 1 + x² , arc ctg x = - 1 / 1 - x² .

Równania o zmiennych rozdzielonych. Xy' +y=y² , xy'=y²-y , y'=y²-y / x , y'/y²-y = 1/x , ∫ dy/y²-y = ∫ 1/x dx , ... y = 1 / 1-Cx. x²(2yy'-1)=1 , 2yy'-1=1/x² , 2yy'=1/x²+1 , 2∫ ydy = ∫(1/x² +1)dx , y²= -1/x +x+c. Równanie jednorodne. y'=f(y/x), y/x=u , y=u*x , y' = u'x+u. xy'=x+y , y'=1 + y/x , u'x+u=1+u , u'x=1 , u' = 1/x , ∫du=∫1/x dx , u=lnIxI+C , y/x = lnIxI+C , y=xlnIxI+xC. Równania liniowe. Y'+p(x)y=f(x), y'+p(x)=0. y'- 3y=2 , y'-3y=0 , y'/y=3 , ∫dy/y = ∫3dx , ... , y=Ce^3x , y=C(x)e^3x, y' =C' (x)e^3x + 3 C(x)e^3x , C' (x)e^3x + 3 C(x)e^3x - 3C(x)e^3x=2 , C'(x) = 2/e^3x , C(x) = ∫ 2/e^3x dx, ..., C(x) = -2/3 e^-3x + C , y = C(x) e^3x , y=-2/3+Ce^3x. Równanie Bernolliego. a(x)y'+b(x)y = f(x) y^α , y'/y^α +b(x) y^1-α = f(x) , z=y^1-α , z' = (1-α) y ^{- α} y' . y'- 4y/x = x√y. y' - 4y/x = xy^1/2 , y'/y^1/2 - 4y^1/2/x = x , z=y^1/2 , z' = ½ y^-1/2 y' , 2z' = y'/y^1/2 , 2z' - 1z/x=x , z' - 2z/x = x , z'-2z/x=0 , ..., z=Cx², z=C(x)x² , z'=C'(x)x²+ C(x)2x , 2(C'(x)x²+ C(x)2x) - (4C(x)x²) / x = x , C'(x) = 1/2x , ..., C(x) = ½ lnIxI+C , z=c(x) , z=y^1/2 , y=(1/2lnIxI +C)²x⁴. Równanie zupełne. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, P'y=Q'x , u(x,y) = ∫^x_x0P(x,y₀)dx + ∫^y_y0 Q(x,y)dy=C.

Równania drugiego rzędu. F(x,y',y”)=0 , y”=u', y'=u. F(y,y',y') , y'=u , y”=u'y'=u'u. F(x,y,y',y”)=0. y”+ ay'+by=f(x) 1. ∆>0 , y=C₁e ^{r1 x} + C₂e ^{r2 x} , ∆=0, y= C₁e ^{r0 x} + C₂ xe ^{r0 x}, ∆<0 ,r=α+βi y=C₁e ^{α x} cosβx+ C₂e ^{α x}sinβx. liczymy y = C₁y₁+C₂y₂ , y₁=e^{r 1 x}, y₂=e^{r 2x} , C₁=C₁(x), C₂=C₂(x), układ równań C₁'y₁+C₂'y₂=0 , C₁'y₁'+C₂'y₂'=f(x) wyznaczniki W, W₁, W₂, C₁'(x), C₂'(x) , C₁(x), C₂(x) , y = C₁y₁+C₂y₂ .y”- 5y'+6y = x, y”-5y'+6y = 0 , r²-5r+6=0, Δ=1, r₁=2, r₂=3, y=C₁e ^{2 x} + C₂e ^{3 x}, układ równań, C₁ `(x)e <sup>2 x</sup> + C<sub>2</sub> ` (x)e ^{3 x}=0 , C₁'(x)2e^2x + C₂'(x)3e^3x=x , W = I e^2x e^3x I I 2e^2x 3e^3x I = e^5x , W₁= I 0 e^3x I I x 3e^3x I = -xe^3x, W₂= I e^2x 0 I I 2e^2x x I = xe^2x , C₁' (x) = W₁/W = -xe^-2x , C₂^' (x) = W₂/W = xe ^{- 3x}, C₁(x)=∫ C₁' (x), C₂(x)=∫ C₂' (x)_, C₁(x) = -1/2xe^-2x + ½ (-1/2e^-2x) + k₁ , C₂(x)= -1/3xe^-3x - 1/9e^-3x + k₁, y=(-1/2 xe^-2x - 1/4e^-2x + k₁) e^2x + (-1/3 xe^-3x - 1/9 e^-3x + k₁) e^3x. Metoda przewidywań. y”+ ay'+by=f(x), y=y* + y₀ , y* - rozwiązanie ogólne, y₀- przewidywane. y”+y'-2y=6x². y*=y”+y'-2y =0 , r²+r-2=0, r₁=-2, r₂=1, y*=C₁e^-2x + C₂e^x, y₀= ax²+bx+c , y₀' = 2ax+b, y₀” = 2a , 2a+2ax+b-2(ax²+bx+c)=6x² , liczę układ 2a+b-2c=0 , 2a-2b, -2a=6 , mam a= -3, b= -3, c=-4,5 , y=y*+y₀ , y= C₁e^-2x + C₂e^x - 3x²-3x-4,5. y”+ay'+by=f₁(x)+f₂(x), y=y*+y₀₁+y₀₂. y”+y=x+2e^x , y”+y=0, r²+1=0, r= ± i , r= i , r= α+β , α=0 , β=1 , y* = C₁cosx+C₂sinx, y”+y=x , y₀₁=ax+b, y₀₁' = a, y_o1” = 0, ax+b=x, a=1, b=0, y₀₁=x, y”+y=2e^x, y₀₂=ae^x, y₀₂'=ae^x, y₀₂”=ae^x, ae^x+ae^x=2e^x, 2ae^x=2e^x, a=1, y₀₂=e^x, y=C₁cosx+C₂sinx+x+e^x. Równanie ortogonalne. y'=-1/y'. y²=4(x-c), pochodna: 2y y' = 4, wstawiam y'= -1/y', y(-1/y')=2, -y/y' = 2 , y'/y= -1/2, ∫dy/y = -1/2 ∫ dx, ..., y=Ce ^-x/2.

---