Odwzrowanie kartograficznie to odw. Regularne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyżnie.

Klasyfikacja odw kart w zależności od loklanych zniekształceń odwzorowawczych.

• Odw. Izometryczne - nie występują zniekształcenia; dla każdego punktu i kierunku w tym punkcie spełniony jest warunek μ=ds'/ds=1 stąd ds'=ds podstawiając I forme kwadratową powierzchni mamy: E'du²+F'dudv+G'dv²= Edu²+Fdudv+Gdv² z tego wynika E'=E F'=F G'=G lub E'/E=F'/F=G'/G=1. Pomiędzy powierzchnią elipsoidy kuli i płaszczyzny odw izo w ogóle nie występuje. Natomiast w odw nieizometrycznych mogą istnieć punkty lub pojedyncze linie dla których kryterium izometrii może być spełnione. W otoczeniu tych linii lub punktów zniekształcenia są stosunkowo małe. Warunek izometrii możemy zapisać P=R=1 Q=0 μ₁=μ₂=1 μ₁*μ₂=0 [wektorowo] m=n=1 w tym odw elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgu o promieniu = 1

• Odw. równokątne - nie występują zniekształcenia kątów; dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek A'=A jest on spełniony wówczas gdy E'/E=F'/F=G'/G na podstawie wzoru cotA'=P/p*cotA+Q/p widać że odw jest równokątne gdy P/p=1 Q=0 stąd wynika że odw równokątne P=R Q=0. Można również warunek zapisać w postaci μ₁=μ₂ μ₁*μ₂=0[wektorowo] m=n; elipsoidy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów.

• Odw. równopolowe - nie występują zniekształcenia pól; dla każdego punktu na powierzchni oryginału spełniony jest warunek p=dP'/dP=1 stąd p=Pier(E'G'-F')/pier(EG-F)=1; można również zapisać w postaci p=mn=1 stąd m=1/n w odw równopolowych dł jednej półosi elipsy zniekształceń odwzorowawczych jest równa odwrotności drugiej połowie.

• Odw. równoodległości w przypadku gdy A=0 linie v=const zachowują swoją dł warunek równodległości przyjmuje wtedy postać ∧_(uv)(E'=E); w przypadku gdy A=θ Line u=const zachowują swoją dł warunek przyjmuje postać ∧_(uv)∈ω(G'=G).

Klasyfikacja odw kart w zależności od kształtu siatek

• Odw. azymutalne r'=[x=ρ(B)cosL, y=ρ(B)sinL]; obrazami równoleżników B=const są okręgi kół koncentrycznych o środach w początku uk WSP prostokątnych płaskich xoy i promieniu ρ(B) zależnych od parametru B; obrazem południków L=const są odcinki linii prostych.

• Odw. walcowe r'=[x=x(B),y=cL]; obrazem równoleżników B=const są odcinki linii prostych równoległych do osi y uk wsp prostokątnych płaskich xoy; obrazem południków L=const są odcinki linii prostych równoległych do osi x uk WSP prostokątnych płaskich xoy.

• Odw. stożkowe r'=[x=q(B₀)-ρ(B)cos(CL), y=ρ(B)cos(CL)]; obrazami równoleżników B=const; są łuki okręgów kół koncentrycznych o środkach w punkcie o WSP x=q(B₀) y=0 i promieniu ρ(B) zależnych od parametru B; obrazami południków L=const są odcinki linii prostych.

• Odw. psełdoazymutalne r'=[x=ρ(B)cosδ(BL), y=ρ(B)sinδ(BL)]; obrazami równoleżników B=const; są okręgi kół koncentrycznych o środkach w początku uk WSP prostokątnych płaskich xoy i promieniu ρ(B) w zależności od parametru B; obrazami południków L=const są odcinki linii krzywych.

• Odw. psełdowalcowe r'=[x=x(B), y=y(BL);obrazami równoleżników B=const są odcinki lini prostych równoległych do osi y uk wsp prostokątnych płaskich xoy; obrazami południków L=const są odcinki linii krzywych.

• Odw. psełdostożkowe r'=[x=q(B₀)-ρ(B)cosδ(BL), y=ρ(B)sinδ(BL)], obrazami równoleżników są odcinki kół koncentrycznych o środkach w punkcie o wsp x=ρ(B) y=0 i promień ρ(B) zależy od parametru B, obrazami południków L=const są odcinki linii krzywych.

• Odw. wielostożkowe r'=[x=q(B)-ρ(B)cosδ(BL), y=ρ(B)sinδ(BL)], obrazami równoleżników są odcinki okręgów kół ekscentrycznych o środkaxh w punkcie o wsp x=ρ(B) y=0 i promieniu ρ(B) zależnym od parametru B; obrazami południków L=const są odcinki linii krzywych

Odwzorowanie rzutów (azymutalne i walcowe):

• odw ortograficzne;

• odw stereograficzne;

• odw środkowe.

Ogólna charakterystyka odw kartograficznych stosowanych w geodezji i kartografi:

• Odw Mercatora powierzchni kuli w płaszczyznę gdy walec jest styczny do równika można przedstawić x=Rlntan(45+ϕ/2), y=Rλ; obrazami równoleżników są odcinki linii prostych równoległych do osi y uk wsp prostokątnych płaskich xoy obrazami południków są odcinki linii prostych równoległych do osi x uk wsp prostokątnych płaskich xoy; linie jednakowych zniekształceń dł odw pokrywają się z obrazami równoleżników; linie przecinające się pod stałym kontem odwzorowywują się na prostą przecinającą obrazy południków pod stałym katem; zastosowanie w nawigacji do tworzenia map morskich.

• Odw Cassiniego-Soldnera południk osiowy odw się bez zniekształceń; jest odw równoodległościowym w kierunku linii geodezyjnych prostopadle wychodzących z południka osiowego. Lokalne zniekształcenia w miarę oddalania się obrazu od południka osiowego rośnie. Linie geodezyjne prostopadle wychodzą z południka osiowego przecinają się na elipsoidzie z południkiem Soldnera pod kątem prostym; ich obrazy w odw są także wzajemnie prostopadłe. Obecnie stosowane odw jest do tworzenia wielkoskalowych map ograniczonych opszarów.

• Odw Gaussa-Krugera jest odw konforemnym powierzchni elipsoidy spłaszczonej w płaszczyznę spełniającą warunki: południk osiowy odw się na odcinek lini prostej; elementarna skala zniekształceń dł na południku osiowym jest stała i równa 1.interpretacja geometryczna równokątne walcowe styczne poprzeczne odwzorowanie elipsoidy spłaszczonej w płaszczyznę. Siatka: południk osiowy odw się na odcinek linii prostej. Pozostałe południki odw się na krzywe symetryczne wzg południka osiowego; równoleżniki odw się na krzywej symetrycznej wzg. Prostoliniowego obrazu równika. Izolinie zniekształceń dł tworzą linie proste równoległe do obrazy południka osiowego. Elementarna skala zniekształceń dł na południka osiowego μ=1 poza południkiem osiowym μ>1 w miarę oddalenia się od południka osiowego wartość elementarna skal zniekształceń dł szybko rośnie. Konstrukcja uk wsp: oś odciętych x pokrywa się z obrazem południka osiowego a oś rzędnych y z obrazem równika. Zastosowanie do map topograficznych uk wsp 1942 1965 1992 2000 odw stosowane w wąskich pasach południkowych 3^o i 6^o oraz uk 1992 pas 10^o.

• Odw UTM jest odw konforemnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę w którym południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej oraz elementarna skala zniekształceń dł na południku osiowym jest stała i mniejsza od jedności. Wsp prostokątne płaskie w odw UTM można wyznaczyć z wsp w odw G-K : x_UTM=m_ox_GK, y_UTM=m_oy_GK gdzie m_o -elementarna skla zniekształceń dł na południku osiowym. Interpretacja geometryczna: równokątne walcowe poprzeczne sieczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyźnie. Zastosowanie wojskowe mapy topograficzne.

Geodezyjne redukcje odwzorowawcze dotyczą dł boków katów wewnętrznych lub azymutów boków a także pól figur geodezyjnych. Różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiednimi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowanej na powierzchni oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na powierzchni obrazu nazywamy Geodezyjne redukcje odw.

Elementarna skala zniekształceń pól. Elementarne pole na powierzchni opisanej równaniem r=r(u,v) można przedstawić następująco dP=\r_udu*r_vdv\=\r_u*r_v\ dudv dP=Pier(EG-F²)dudv=Hdudv. Elementarna skala znie. Jest to stosunek odpowiednich sobie elementarnych pól na powierzchni obrazu i oryginału p=dP'/dP gdzie dP' elementarne pole pow. obrazu,dP elementarne pole pow oryginału. Podstawiając wzór na na elementarne łuki otrzymamy p=H'/H Jeżeli w danym odwzorowaniu kartograficznym wyznaczamy elementarne skale zniekształceń dł m, n w kierunkach głównych wówczas p=mn.

---