Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

ĆWICZENIE 2

Przykład zastosowania filtru Kalmana.

Adam Góra

Specjalizacja GIP

Semestr: II

Rok akademicki: 2014/2015

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było zastosowanie filtru Kalmana do wyznaczenia rzędnych reperów sieci w momencie t₂. Dla porównania wyników zadanie opracowano również przy zastosowaniu wyrównania łącznego na podstawie pełnego układu równań.

Wykonanie ćwiczenia:

W pierwszym etapie ćwiczenia dla zadanej sieci pomiarowej (załącznik) przyjęto prawdziwe wartości rzędnych reperów w momencie t₁ oraz prawdziwe wartości v dla zależności:

H₂ = H₁ − v(t₂ − t₁)

Prawdziwe wartości rzędnych w momencie t₁:

NR	H [m]
A	101,1232
B	101,3451
1	99,7486
2	100,1533
3	100,4436

Prawdziwe wartości v:

Nr	V[mm/h]
V1	0,2
V2	0,5
V3	0,3

Moment pomiaru t₁ oraz t₂:

t₁=0 h

t₂=48 h

Prawdziwe wartości rzędnych w momencie t₂:

NR	H [m]
A	101,1232
B	101,3451
1	99,7390
2	100,1293
3	100,4292

Następnie wygenerowano wyniki obserwacji dla pomiaru wyjściowego i aktualnego o rozkładzie normalnym przyjmując σ_o=1 mm:

Pomiar wyjściowy:

Nr	Dystrybuanta	ε N(0,1)	Ilość stan. (n)	ε N(0,σ) [mm]
h1	0,51	0,02	2	0,00
h2	0,53	0,08	3	0,01
h3	0,31	-0,51	3	-0,09
h4	0,63	0,34	2	0,05
h5	0,93	1,50	3	0,26
h6	0,04	-1,75	3	-0,30
h7	0,87	1,13	4	0,23

$$0,8 < \sqrt{\frac{\lbrack\varepsilon\varepsilon\rbrack}{n}} < 1,2$$

0, 8 < 1, 00 < 1, 2

Nr	kod obs	Δh praw [mm]	Δh obs [mm]	σ [mm]
	P	K
h1	A	1	-1374,6	-1374,6
h2	1	2	404,7	404,7
h3	2	3	290,3	290,2
h4	3	1	-695,0	-695,0
h5	3	B	901,5	901,8
h6	B	1	-1596,5	-1596,8
h7	A	3	-679,6	-679,4

Pomiar aktualny:

Nr	Dystrybuanta	ε N(0,1)	Ilość stan. (n)	ε N(0,σ) [mm]
h1	0,45	-0,12	2	-0,02
h2	0,06	-1,53	3	-0,27
h3	0,05	-1,61	3	-0,28
h4	0,57	0,18	2	0,03
h5	0,13	-1,13	3	-0,20
h6	0,76	0,70	3	0,12
h7	0,92	1,43	4	0,29

Nr	kod obs	Δh praw [mm]	Δh obs [mm]	σ [mm]
	P	K
h1	A	1	-1384,2	-1384,2
h2	1	2	380,7	380,4
h3	2	3	275,9	275,6
h4	3	1	-704,6	-704,6
h5	3	B	901,5	901,3
h6	B	1	-1606,1	-1606,0
h7	A	3	-694,0	-693,7

0, 8 < 1, 12 < 1, 2

Zaburzenie związku v, σ_o=0,01 mm/h:

Nr	Dystrybuanta	ε N(0,1)	ε N(0,σ) [mm]		Nr	ΔV praw [mm]	ΔV obs [mm]
V1	0,05	-1,64	-0,016		V1	0,2	0,184
V2	0,35	-0,40	-0,004		V2	0,5	0,496
V3	0,61	0,29	0,003		V3	0,3	0,303

0, 8 < 0, 99 < 1, 2

1. Wyrównanie sieci w celu wyznaczenia wartości rzędnych na moment t_1.

Ułożenie równań obserwacyjnych:

Nr	p	k	dhA	dhB	dh1	dh2	dh3		l [mm]		mi [mm]
1	A	1	-1	0	1	0	0		0,00		0,14
2	1	2	0	0	-1	1	0		-0,01		0,17
3	2	3	0	0	0	-1	1		0,09		0,17
4	3	1	0	0	1	0	-1		-0,05		0,14
5	3	B	0	1	0	0	-1		-0,26		0,17
6	B	1	0	-1	1	0	0		0,30		0,17
7	A	3	-1	0	0	0	1		-0,23		0,20

Macierz warunków:

S	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000
	0,000	1,000	0,000	0,000	0,000

A^TA^-1

0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0087	0,0067	0,0047
0,0000	0,0000	0,0067	0,0221	0,0076
0,0000	0,0000	0,0047	0,0076	0,0105

Rozwiązanie układu równań normalnych – korekty do współrzędnych i ich błędy średnie:

Nr	dx [mm]	sX [mm]
dhA	0,00	0,00
dhB	0,00	0,00
dh1	-0,09	0,11
dh2	-0,04	0,18
dh3	-0,10	0,12

Kontrola przeprowadzonych obliczeń:

VTV	5,59
VTL	5,59

Test globalny:

Przeprowadzenie testu globalnego pozwala sprawdzić, w przypadku pewności co do poprawności obserwacji czy przyjęty model opracowania jest zgodny z obserwacjami lub odwrotnie, gdy mamy pewność co do poprawności i ścisłości modelu, test pozwala ocenić, czy w materiale obserwacyjnym nie ma błędów grubych.

Test globalny
f
σ0^,
α
hi2
σ0,  krytyczne
σ0^,  ≤  σ0,  krytyczne

Test lokalny:

Zastosowanie testu lokalnego pozwala na sprawdzenie wystąpienia oraz zlokalizowanie błędów grubych w materiale obserwacyjnym. Przyjęte kryterium testu 2,5.

Nr obs.	Vi [m]	σVi [m]	|ui|	ui<2,5
1	-0,63	0,75	0,84	spełniony
2	0,18	0,65	0,27	spełniony
3	0,18	0,65	0,27	spełniony
4	-0,25	0,71	0,35	spełniony
5	-0,93	0,81	1,15	spełniony
6	1,25	0,84	1,49	spełniony
7	-1,62	0,86	1,89	spełniony

Test spełniony:

1. W materiale obserwacyjnym nie występują błędy grube.

2. Zastosowany model jest zgodny z siecią kontrolną.

Spełnienie testu globalnego i testów lokalnych świadczą o poprawności zastosowanego modelu oraz wskazuje na brak błędów grubych w materiale obserwacyjnym.

Wykaz współrzędnych wyrównanych

	H wyr (t1) [m]	σh [mm]
A	101,1232	0,00
B	101,3451	0,00
1	99,7485	0,11
2	100,1533	0,18
3	100,4435	0,12

1. Wyrównanie łączne – wyznaczenie rzędnych reperów na mometnt t₁ oraz t₂ na podstawie pełnego układu równań.

Ułożenie równań obserwacyjnych:

Nr	p	k	dhA (t1)	dhB (t1)	dh1 (t1)	dh2 (t1)	dh3 (t1)	dhA (t2)	dhB (t2)	dh1 (t2)	dh2 (t2)	dh3 (t2)		l [mm]	mi [mm]
1	A	1	-1	0	1	0	0	0	0	0	0	0		0,00	0,14
2	1	2	0	0	-1	1	0	0	0	0	0	0		-0,01	0,17
3	2	3	0	0	0	-1	1	0	0	0	0	0		0,09	0,17
4	3	1	0	0	1	0	-1	0	0	0	0	0		-0,05	0,14
5	3	B	0	1	0	0	-1	0	0	0	0	0		-0,26	0,17
6	B	1	0	-1	1	0	0	0	0	0	0	0		0,30	0,17
7	A	3	-1	0	0	0	1	0	0	0	0	0		-0,23	0,20
8	A	1	0	0	0	0	0	-1	0	1	0	0		0,02	0,14
9	1	2	0	0	0	0	0	0	0	-1	1	0		0,27	0,17
10	2	3	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	1		0,28	0,17
11	3	1	0	0	0	0	0	0	1	0	-1	0		-0,04	0,22
12	3	B	0	0	0	0	0	0	1	0	0	-1		0,20	0,17
13	B	1	0	0	0	0	0	0	-1	1	0	0		-0,12	0,17
14	A	3	0	0	0	0	0	-1	0	0	0	1		-0,29	0,20
15	1	-	0	0	1	0	0	0	0	-1	0	0		0,79	0,48
16	2	-	0	0	0	1	0	0	0	0	-1	0		0,19	0,48
17	3	-	0	0	0	0	1	0	0	0	0	-1		-0,14	0,48

Macierz warunków:

S	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0

A^TA^-1

0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0082	0,0058	0,0042	0,0000	0,0000	0,0005	0,0006	0,0004
0,0000	0,0000	0,0058	0,0200	0,0066	0,0000	0,0000	0,0006	0,0015	0,0008
0,0000	0,0000	0,0042	0,0066	0,0098	0,0000	0,0000	0,0003	0,0007	0,0007
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
0,0000	0,0000	0,0005	0,0006	0,0003	0,0000	0,0000	0,0094	0,0040	0,0014
0,0000	0,0000	0,0006	0,0015	0,0007	0,0000	0,0000	0,0040	0,0144	0,0050
0,0000	0,0000	0,0004	0,0008	0,0007	0,0000	0,0000	0,0014	0,0050	0,0122

Rozwiązanie układu równań normalnych – korekty do współrzędnych i ich błędy średnie:

		X [mm]	σdh [mm]
moment t1	dhA	0,00	0,00
	dhB	0,00	0,00
	dh1	-0,10	0,10
	dh2	-0,05	0,16
	dh3	-0,10	0,11
moment t2	dhA	0,00	0,00
	dhB	0,00	0,00
	dh1	0,15	0,11
	dh2	0,08	0,14
	dh3	0,06	0,13

Kontrola przeprowadzonych obliczeń:

VTV	14,35
VTL	14,35

Test globalny:

f

σ0^,

α

hi2

σ0,  krytyczne

σ0^,  ≤  σ0,  krytyczne

Test lokalny:

Nr obs.	Vi [m]	σVi [m]	|ui|	ui<2,5
1	-0,75	0,77	0,97	spełniony
2	0,20	0,67	0,31	spełniony
3	0,25	0,67	0,37	spełniony
4	-0,37	0,72	0,51	spełniony
5	-0,93	0,82	1,14	spełniony
6	1,16	0,85	1,36	spełniony
7	-1,62	0,87	1,86	spełniony
8	1,15	0,73	1,57	spełniony
9	1,14	0,69	1,66	spełniony
10	1,51	0,67	2,26	spełniony
11	-0,53	0,84	0,63	spełniony
12	0,77	0,77	1,00	spełniony
13	0,14	0,83	0,17	spełniony
14	-1,12	0,83	1,34	spełniony
15	1,13	0,96	1,17	spełniony
16	0,12	0,93	0,13	spełniony
17	-0,62	0,95	0,65	spełniony

Spełnienie testu globalnego i testów lokalnych świadczą o poprawności zastosowanego modelu oraz wskazuje na brak błędów grubych w materiale obserwacyjnym.

Wykaz współrzędnych wyrównanych

Nr	Hi wyr (t1) [m]	σH		Nr	Hi wyr (t2) [m]	σH		Nr	V wyr. [mm/h]
A	101,1232	0,00		A	101,1232	0,00		V1	-0,195
B	101,3451	0,00		B	101,3451	0,00		V2	-0,497
1	99,7485	0,10		1	99,7391	0,11		V3	-0,297
2	100,1532	0,16		2	100,1294	0,14
3	100,4435	0,11		3	100,4293	0,13

1. Filtr Kalmana.

Pomiar w momencie t₁:

X^^’1		C^^X’1
101,1232		0,00000
101,3451		0,00000
99,7485		0,00000
100,1533		0,00000
100,4435		0,00000

Predykcja wektora stanu na moment t₂ na podstawie wyznaczonego wektora X^₁ oraz równania zmiany stanu:

ɸ
1
0
0
0
0

NR	H progn. [m] (X^^2^')
HA^^	101,1232
HA^^	101,3451
H1^^	99,7397
H2^^	100,1294
H3^^	100,4290

Predykcja macierzy kowariancji wektora stanu na moment t₂:

CY
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

C^^X’2 ≡K
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

Obliczenie macierzy zysku:

Macierz kowariancji wektora obserwacji Cl2
0,00002
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000

Macierz współczynnikowa - A2
-1
0
0
0
0
0
-1

Macierz zysku - G
0,00000
0,00000
0,46876
0,19871
0,06976

Obliczenie uściślonego wektora stanu na moment t₂:

Nr	Wektor korekt - x2^^		Uściślony wektor stanu - (X^^2) [m]
	H praw - H progn [mm]
A	0,00000		HA^^
B	0,00000		HB^^
1	0,00070		H1^^
2	0,00015		H2^^
3	-0,00024		H3^^

Obliczenie uściślonej macierzy kowariancji wektora stanu na moment t₂:

Uściślona macierz kowariancji - CX^2
0
0
0
0
0

1. Porównanie wyników

	Wyrównanie łączne
	Nr	Hi^^ ^wyr (t2) [m]
	A	101,1232
	B	101,3451
	1	99,7391
	2	100,1294
	3	100,4293
Cx^2
0	0	0
0	0	0
0	0	0,0094
0	0	0,0040
0	0	0,0014

	Kalman
	Nr	Hi^^ (t2) [m]
	HA^^	101,1232
	HA^^	101,3451
	H1^^	99,7391
	H2^^	100,1294
	H3^^	100,4293
CX^2
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0,0094	0,0040
0	0	0,0040	0,0144
0	0	0,0014	0,0050

1. Wnioski

Uzyskane wyniki wyznaczenia rzędnych na momentu t₂ z obu metod tj. przy zastosowaniu filtru Kalmana oraz wyrównania łącznego są identyczne. Takie same wartości przyjmują zarówno wektor stanu na moment t₂ jak i jego macierz kowariancji. Stąd wnioskuje się, że obie metody rozwiązania zagadnienia są tożsame i mogą być stosowane zamiennie. Warto jednak zwrócić uwagę na to, iż przy wyrównaniu łącznym mamy do czynienia ze znacznie większą złożonością obliczeń, co w przypadku większej ilości pomiarów okresowych, może prowadzić do trudności obliczeniowych. Filtr Kalmana jest natomiast metodą sekwencyjną i nie grozi mu taka ewentualność. Pozwala zatem na sprawne obliczenie rzędnych w dowolnym momencie czasu bez konieczności wyrównywania wszystkich obserwacji jednocześnie.