ZGINANIE A MOMENTY SIŁ GNĄCYCH I SKRĘCAJĄCYCH

2.3.3.1. Podstawowe pojęcia przy zginaniu

W rozdziale 2.2.1 dowolny układ sił można było zredukować do jednej wypadkowej i do jednej pary sił.
Weźmy pod uwagę pręt, zaś w jego dowolnym przekroju poprzecznym za punkt redukcji przyjmijmy środek tego przekroju. Jeżeli w tym przekroju układ sił sprowadza się tylko do jednej składowej momentu zginającego Mg, to mamy do czynienia z czystym zginaniem (rys. 2.14a). Jeżeli występuje również siła styczna (tnąca) (rys. 2.14b), to mamy przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych.

rys. 2.14

Jeżeli siły czynne (obciążenia zewnętrzne) i siły bierne (reakcje) działające na pręt zginany leżą w jednej płaszczyźnie, to płaszczyznę tę nazywamy płaszczyzną zginania.
Gdy płaszczyzna zginania pokrywa się z płaszczyzną główną zawierającą oś pręta (czyli zawierającą środki ciężkości przekrojów poprzecznych pręta), to przypadek taki nazywamy zginaniem prostym w odróżnieniu od zginania ukośnego (oś pręta staje się krzywą przestrzenną). Pręty pracujące głównie na zginanie nazywamy belkami.
Rozważmy przypadek belki obciążonej dowolnym obciążeniem ciągłym q (rys.2.15).

Wytnijmy w myśli z belki odcinek o długości dx (o grubości jednostkowej). Po przeanalizowaniu warunków równowagi wyciętego odcinka otrzymamy związki między siłą tnącą, momentem gnącym i obciążeniem ciągłym:

(2.19)

2.3.3.2. Wykresy sił tnących i momentów gnących

Do obliczeń wytrzymałościowych belek zginanych (przedstawionych w dalszych rozdziałach) potrzebne są wykresy sił tnących i momentów gnących.

Przykład 2.22.

Rozważmy belkę obciążoną siłą skupioną P spoczywającą na dwóch podporach (przegub przesuwany i przegub nieprzesuwny).

Wyznaczmy reakcje w podporach z warunków równowagi belki:

Rozpatrzmy przekrój poprzeczny (1-1). Oddziaływanie odrzuconej myślowo prawej części belki zastępujemy siłą tnącą T₁ i momentem gnącym M₁. Z warunków równowagi rozpatrywanej części belki otrzymamy: 0 ≤ x₁ ≤ b

W przekroju poprzecznym (2-2) otrzymamy: b ≤ x₂ ≤ l

Wykorzystując wzory (2.19) otrzymamy również wyrażenia na T₁ i T₂ (co może być wykorzystane do sprawdzenia poprawności obliczeń.

Przykład 2.23.

Jako następny przykład rozpatrzmy belkę obciążoną siłą skupioną, momentem gnącym, obciążeniem ciągłym.

Wyznaczmy reakcje w podporach z warunków równowagi belki:

W przedziale pierwszym: 0 ≤ x ≤ l

W przedziale drugim: l ≤ x ≤3l

Wnioski praktyczne:

1)Na końcu belki (który nie jest obciążony momentem skupionym) moment zginający jest równy zeru.

2)Wartość bezwzględna siły tnącej na podporze jest liczbowo równa reakcji (składowej pionowej reakcji).

3)Wykres momentu zginającego ma skok wyłącznie w miejscu przyłożenia momentu skupionego. Wartość tego skoku jest równa wartości momentu skupionego.

4)Moment zginający w miejscu utwierdzenia równy jest, co do wartości bezwzględnej, momentowi reakcyjnemu utwierdzenia.

5)Wykres momentu zginającego ma załamania wyłącznie w miejscach działania sił skupionych, co na wykresie sił tnących uwidacznia się skokiem. Wartość tego skoku równa jest wartości siły skupionej.

6)Przy wyznaczaniu największych (bezwzględnych) wartości momentu zginającego należy wziąć pod uwagę: końcowe punkty belki (belki utwierdzone), punkty zerowania się siły tnącej, punkty przyłożenia sił skupionych.

Przykład 2.24.

Sporządzić wykresy momentów zginających oraz sił tnących dla belek jak na rysunku.

2.3.3.3. Wprowadzenie do teorii momentów bezwładności figur płaskich

Naprężenie możemy przedstawić jako iloraz uogólnionej siły przez uogólniony przekrój. W przypadku rozciągania, ścinania będzie to siła rozciągająca, ścinająca i przekrój poprzeczny. W przypadku skręcania i zginania będzie to moment skręcający, zginający i wskaźnik przekroju na skręcanie czy zginanie, przy obliczaniu którego potrzebna jest znajomość momentów bezwładności przekroju.

Łatwo zauważymy, że przy zginaniu np. płaskownika przy jednakowym obciążeniu odkształcenie jego będzie zależeć od tego, w której płaszczyźnie działa moment zginający (rys. 2.16).

Wynika z tego wniosek, że odkształcenie elementu (sztywność) zależy nie tyle od wielkości pola przekroju, ile od rozmieszczenia tego pola wokół osi przy zginaniu.

Momentem bezwładności J_z figury płaskiej względem osi z nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól dF tej figury i kwadratów odległości tych pól od osi z (rys. 2.17).

(2.20)

W przypadku trójkąta o podstawie b i wysokości h elementarne pole wynosi:
dF=z*dy=[b(h-y)/h]*dy
i moment bezwładności:

Przy wyznaczaniu momentu bezwładności J_z, można skorzystać ze wzoru Steinera.

(2.21)

Moment bezwładności J_z względem osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości J_zc oraz iloczynu pola figury F i kwadratu odległości między tymi osiami -a- (rys. 2.17). Ze wzoru (2.21) korzystamy przy obliczaniu momentów bezwładności figur płaskich, złożonych z prostych (składowych) figur geometrycznych. W tym wypadku moment bezwładności danej figury płaskiej jest równy sumie momentów bezwładności figur składowych.
Jeżeli moment bezwładności względem osi y oznaczymy J_y, zaś biegunowym momentem bezwładności J_o figury F będzie wyrażenie:

to ponieważ r² = z² + y² otrzymamy:

W tabeli 2.2 przedstawiono wybrane momenty bezwładności i wskaźniki wytrzymałości na zginanie i skręcanie figur płaskich.

2.3.3.4. Analiza odkształceń i naprężeń przy zginaniu, (rys.2.19)

Doświadczenia przeprowadzone ze zginanymi prętami pokazują, że:

- włókna górne uległy skróceniu (rys. 2.19a) w przekroju wzdłużnym, zaś w tej części w przekroju poprzecznym pręt poszerzy się (rys. 2.19b),

- włókna dolne uległy wydłużeniu i odpowiednio zwężeniu,

- względne odkształcenia poprzeczne pręta w każdym punkcie są proporcjonalne (poprzez liczbę Poissona ν ) do odkształceń wzdłużnych a więc istnieje związek między odkształceniami podobnie jak przy rozciąganiu lub ściskaniu,

- włókna równoległe do osi pręta znajdują się w jednokierunkowym stanie naprężeń (rozciąganie lub ściskanie) i nie wywierają na siebie żadnych nacisków poprzecznych,

- w strefie środkowej (warstwa obojętna) odkształcenia i naprężenia są równe zeru.

Rozważmy odkształcenia (rys. 2.19a) odcinków CD i AB. Odcinek (włókno) CD położone w odległości y od warstwy obojętnej przed odkształceniem miał długość równą AB = θ ρ , zaś po odkształceniu CD = θ (ρ -y).
Odkształcenie względne włókna CD wynosi :

Zaś naprężenie (zgodnie z prawem Hooke'a dla rozciągania, ściskania)

czyli rozkład naprężeń normalnych jest proporcjonalny do odległości od warstwy (osi) obojętnej (rys. 2.19a).
Weźmy pod uwagę wszystkie elementarne momenty w przekroju poprzecznym pręta (rys. 2.19c), które muszą zostać zrównoważone przez przyłożony do pręta moment zginający Mg:

gdzie: jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego pręta J_z (por. rozdz. 2.3.3.3).
Zakładając, że zginanie rozpatrujemy tylko w granicach sprężystości, otrzymamy zależność umożliwiającą określenie największych naprężeń:

(2.24)

Wprowadzając pojęcie wskaźnika wytrzymałości przekroju na zginanie W_z jako iloraz momentu bezwładności J_z względem osi obojętnej z przez odległość y_max najdalszego włóna od tej osi, otrzymamy warunek wytrzymałościowy na zginanie:

(2.25)

Dla belek zginanych wpływ naprężeń tnących od sił poprzecznych można pominąć, gdyż jest on istotny tylko przy bardzo krótkich belkach (gdy l ≤ 5h). Przypadek zginania z udziałem sił poprzecznych dla belek krótkich należy do zagadnień wytrzymałości złożonej.

2.3.3.5. Obliczenia wytrzymałościowe. Przykłady.

Przykład 2.25.

Belka dwupodporowa o długości l= 1,5m, obciążona siłą ciągłą q=5 kN / m , ma przekrój prostokątny h = 2b. Obliczyć wymiary belki, jeżeli kg = 100 MPa.

Wyznaczamy równanie momentów:

gdzie reakcje R_a i R_b wyznaczamy z warunków równowagi:

Znajdujemy max, moment gnący dla

Korzystając ze wzoru (2.25) oraz (tab. 2.2) ze wzoru na wskaźnik W_z

Otrzymamy:

Stąd wymiary belki:

h≥ 5,5 * 10^-

Bardzo często zachodzi potrzeba zaprojektowania belki o równej wytrzymałości. Jest to belka, w której w każdym jej przekroju naprężenia maksymalne są równe naprężeniom dopuszczalnym.

Przykład 2.26.

Zaprojektować belkę wspornikową o równej wytrzymałości, o przekroju prostokątnym o stałej szerokości b.

Korzystając z wzoru (2.25) warunek równej wytrzymałości ma postać σ_g = kg w każdym przekroju belki.

Ponieważ belka ma stałą szerokość, więc wysokość h_x będzie zależeć od miejsca położenia przekroju x.

Wysokość belki będzie zmieniać się paraboliczne od x=O do x=l. Wykonanie belek o takim kształcie jest kłopotliwe i kosztowne, przeto przyjmuje się uproszczony kształt opisany na profilu teoretycznym. Przykładem belki stopniowanej będzie między . innymi resor, wałek ze stopniowanymi średnicami.