ZERÓWKA statystyka 2013

1. Wiedząc, że udział trzech fabryk w dostawach puszek do sklepu jest w proporcji 1:2:2 oraz warunkowe prawdopodobieństwa wadliwości wynoszą 0,1;0,3;0,4 jakie jest prawdopodobieństwo, że kupiona wadliwa puszka pochodzi z fabryki nr 2.
Mamy dane

2. Jak zmieni się długość przedziału ufności dla wartości oczekiwanej gdy liczebność wzrośnie dwukrotnie. Jakie czynniki w jaki sposób wpływają na długość przedziału ufności dla prawdopodobieństw.
Będzie dwa razy mniejszy
Zależy od :
-poziomu istotności α,
-odchylenia standardowego δ
-liczebności próby N.

Od α i δ zależy wprost proporcjonalnie, czyli wraz ze wzrostem parametru rośnie długość przedziału ufności,
Od N zależy odwrotnie proporcjonalnie ze wzrostem liczebności maleje długość przedziału.
*Wzór z karty: P($P(\overset{\overline{}}{x} - u_{\propto}\frac{S}{\sqrt{N}} < EX < \overset{\overline{}}{x} + u_{\propto}\frac{S}{\sqrt{N}})$ Jak N pomnożymy przez 2 to mianownik się zwiększy wobec tego pierwszy fragment się zmniejszy, a drugi się zwiększy o tą samą ilość. W efekcie cały przedział się zwiększy. Analogicznie przerabiamy każdą wartość.

3. Weryfikując H₀: p=po przy prawostronnej hipotezie alternatywnej otrzymano Uemp = 1,73. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności można w tych warunkach odrzucić H₀.
Trzeba odczytać z tablicy rozkładu normalnego, wiedząc, że:

Dla poziomu istotności α= 1 - $\frac{\alpha}{2}$ =……….(jakaś wartość, której szukamy w środku tablicy, a wynik odczytujemy ze skrajnej kolumny i wiersza, tam gdzie pisze z)

Np. dla α_0,05=1 – $\frac{0,05}{2}$ = 0,975 (odczytujemy dla tej wartości U_emp=1,96 (bo wartość 0,975 znajduje się w wierszu dla: 1,6 i kolumnie 0,06)

Mamy dane U_emp.=1,73, więc: 1 - $\frac{\alpha}{2}$ =……..=(z tablicy) 1,73

Z tablicy odczytamy wartość dla 1,7 i 0,03=0,95818, CZYLI 1 - $\frac{\alpha}{2}$ = 0,95818 α=(1-0,95818)*2 =0,08364

Obszar krytyczny jest prawostronny, więc aby odrzucić H₀ U_emp musi być większe od tego odczytanego z tablicy dla α. Nam wyszło, że dla α=0,08 U_emp=1-$\frac{0,08}{2}$ = 0,960 >>1,72

Odp. Dla α>= 0,08 można w tych warunkach odrzucić H₀

4. Trzej synowie odziedziczyli majątek po ojcu – 43478470zł. Pierwszy syn dostał połowę tego, drugi połowę tego co zostało, trzeci połowę tego co zostało po drugim i tak w kółko. Ile pieniędzy dostanie 3. syn? Przedstaw sposób obliczeń.

(0,125 bo: połowa całości to 50% czyli 0,5 dla 1. syna, połowa połowy to już2 5%całości dla 2., a połowa ćwiartki, która została to 12,5% całości należna jest 3.

50% 1	25% 2.
	12,5% 3.

43478470*0.125=5434808,75 pierwsza rata

5434808,75* 0,125= 679351.09375
679351.09375*0,125= 84918,886718875
84918,886718875*0,125= 10617,86
10617,86*0,125=1326,86
1326,86*0,125=165,86
165,86*0,125=20.73
20.73*0,125=2,59
2,59*0,125=0.32
0.32*0,125=0.04

0.04*0,125= 0,01 grosz został z majątku, jest już nie podzielny

Zsumowując raty dla 3. Syna wyszło, że otrzyma on 6 211 209,4 zł

5. W firmie A średnie miesięczne wynagrodzenie wynosi 9tys zł, a w firmie B 12tys zł. Odchylenia standardowe: w A – 3,5tys, w B – 4tys. Jaką pensję może mieć osoba uznana za typową zarówno w firmie A i B jednocześnie?

$\overset{\overline{}}{x}$_A=9 S²_A= 3,5

$\overset{\overline{}}{x}$_B=12 S²_B= 4

Są jakby 2 zbiory(przedziały): Dla firmy A<5,5;12,5> i B<8;16>, które pokazują skrajne zarobki w firmach. Ich część wspólna (A∩B)=<8;12,5> to przedział zarobków typowej osoby, która pracowała by w firmie A i B. Można obliczyć średnią: 8+12,5=10,25.

Odp. Osoba uznana za typową w firmie A i B jednocześnie może zarabiać od 8tys do12,5 tys, średnio 10,25tys.

6. Jakie są własności funkcji rozkładu zmiennej losowej.
przyporządkowuje wartościom tej zmiennej losowej wartości prawdopodobieństw, z jakimi one występują,

1. Jest ograniczona

2. suma wszystkich wartości funkcji równa się 1

7. Czy liniowa funkcja regresji o R²=0,45 jest istotna, jeśli próba liczyła 7 obserwacji.

H0= nie istotna

H1= istotna

$\frac{R^{2}}{1 - R^{2}}$*$\frac{N - k}{k - 1}$

k=2 bo jest to liniowa * dla funkcji kwadratowej k=3

= (0.45/0.55)*5=4.09

Sprawdzamy potem w tabelce Femp dla alfa 0.05 i 0.1 i wnioski

/dla F-Snedecora zawsze jest prawostronny obszar krytyczny w tej sytuacji; v₁=k-1; v₂=N-k/

α_0,05=6,61

α_0,01=16,26

Czyli nasze Femp nie zawiera się w przedziale, więc nie ma podstaw do odrzucenia H₀, zatem nie możemy stwierdzić, że jest istotna.

8. Załóżmy, że dla cechy o rozkładzie normalnym proporcja odchylenia standardowego w próbie i zakładanego dla populacji jest jak 3:2. Wylosowano próbę o liczebności 5 elementów. Czy na poziomie istotności 0,05, przy prawostronnej H₁ można odrzucić hipotezę o wariancji? Czy decyzja ulegnie zmianie jeśli próba byłaby dwukrotnie większa?

H0: δ²= δ²₀

H0: δ²> δ²₀

Dane: /odchylenie δ/ $\frac{\text{σ\ \ p}\text{roba}}{\text{σ\ populacja}}$ = $\frac{3}{2}$, nam jest potrzebna δ², więc $\frac{\sigma^{2}\text{\ proba}}{\sigma^{2}\text{\ populacja}}$ = $\frac{9}{4}$

Χ²= $\frac{\left( N - 1 \right)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$ i v=N-1 Χ²=$\frac{\left( 5 - 1 \right)9}{4}$ Χ²=9 v=4

α_0,05=9,488, więc nasz Χ²_emp jest poza obszarem, czyli H0 nie można odrzucić.

Próba dwukrotnie większa: N=10 Χ²= (10-1)*9/4 = 20,25 v=9, dla α_0,05=16,25, więc możemy odrzucić H0.

9. Jaka jest interpretacja zależności stochastycznej i korelacyjnej i jaki jest związek między dwoma relacjami zależności?

Zależność stochastyczna zachodzi, gdy zmiana wartości jednej zmiennej losowej powoduje zmianę rozkładu prawdopodobieństwa drugiej zmiennej losowej.

Zależność korelacyjna(korelacja) – określa siłę związku pomiędzy dwoma zmiennymi, gdzie określonym wartościom jednej zmiennej odpowiada szereg drugiej zmiennej.

Zależność korelacyjna jest typem zależności stochastycznej.

10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że maciorka urodzi czworaczki takiej samej płci?

Są 2 płci : ♀ i ♂. Prawdopodobieństwo, że urodzi są samiczka jest takie same jak dla samczyka, po 50%, czyli 0,5

Można narysować sobie takie drzewko prawdopodobieństwa:
/ \

Płeć 1. Owieczki: 0,5 ♀ ♂ 0,5

/ \ / \

Płeć 2. Owieczki: 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5

/ \ / \ / \ / \

Płeć 3. Owieczki: 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5

/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \

Płeć 4. : 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,50,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5 0,5♀ ♂0,5

W czworaczkach mogą urodzić się same dziewczynki: 0.5*0,5*0,5*0,5 =0,0625 (mnożymy prawdopodobieństwo tej gałęzi drzewka, gdzie są same dziewczynki). Ale mogą urodzić się też sami chłopcy, czyli tak: 0.5*0,5*0,5*0,5 + 0.5*0,5*0,5*0,5= 2* 0,0625 = 0,125

11. Zmienna losowa X ma rozkład normalny – (10,1), a Y~N(6,2). Współczynnik korelacji między X i Y = 1. Oblicz współczynnik korelacji między Z i W jeśli Z=2X + 3Y, W=X – 2Y

X∼ N(10; 1)>>>δ=DX=1

Y∼ N(6; 2) >>>δ=DX=2

r_XY=1, r_xw= $\frac{\text{cov}_{\text{XY}}}{S_{X}*\ S_{Y}}$ = $\frac{\text{CXY}}{DX*\ DY}$ czyli CXY= r_xy *DX*DY CXY=1*1*2=2

Z=2X + 3Y W=X – 2Y

Z= a*X +b*Y W= c*X+d*Y >>>>>> a to wiemy z tablicy

a =2 b=3 c =1 d=-2

EZ = a*EX + b*EY EZ= 2*10+3*6=38

EW = c*EX + d*EY EW=1*10-2*6=-2

A my szukamy: r_zw=? r_xw= $\frac{\text{cov}_{\text{zw}}}{S_{z}*\ S_{w}}$ S_z toDZ, a S_W toDW (tak jak S_x =DX, czyli odchylenie), cov_ZW to CZW r_xw= $\frac{\mathbf{\text{CZW}}}{\mathbf{DZ*\ DW}}$

Brak nam:

CZW, obliczymy to z: CZW = ac D²X + bcCXY + adCXY + bdD²Y

CZW = 2*1*1²+3*1*2+2*(-2)*2+3*(-2)*2²= -24

DZ to $\sqrt{D^{2}Z}$, D²Z = a²*D²X + b²* D²Y + 2abCXY

D²Z = 2²*1²+3³*2²+2*2*3*2 = 64 DZ= $\sqrt{64}$ DZ=8

DW to $\sqrt{D^{2}W}$, D²W = c²*D²X + d²*D²Y + 2cdCXY

D²W= 1²*1²+(-2)²*2 ++2*1*(-2)*2= 9 DW=$\sqrt{9}$ DW=3

Czyli r_xw= $\frac{\text{CZW}}{DZ*\ DW}$ = $\frac{- 24}{8*3}$ r_xw= -1

Odp. Współczynnik korelacji wynosi -1

12.Zmienna rozkładu normalnego standaryzowanego. Oblicz wartość prawdopodobieństwa P(-0,62<Z<1,45). Po co przeprowadza się standaryzacje?

X∼ N(µ; σ) /nie kompletne dane, powinny być µ; σ podane/

P(-0,62<Z<1,45)= P(1,45)- P(-0,62)

TERMIN 1 statystyka 2013

1. Czy przedział ufności dla wartości dla wartości oczekiwanej P(35<m<45,5)=0,96 jest precyzyjny?

Miara precyzji: δ$\overset{\overline{}}{x}$= t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}}$ = t_α*$\frac{S}{\sqrt{N}}$ *$\frac{1}{\overset{\overline{}}{x}}$

To u nas: $\overset{\overline{}}{x}$ - t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}}$ = 35 i $\overset{\overline{}}{x}$ + t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}}$ = 45,5, a $\overset{\overline{}}{x}$ = 39+45,5/2 $\overset{\overline{}}{x} = 42,25$

t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}}$ =45,5 - $\overset{\overline{}}{x}$ t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}} = 45,5 - \ 42,25\ $ t_α* $\frac{S}{\sqrt{N}*\ \overset{\overline{}}{x}} = 3,25$

δ$\overset{\overline{}}{x}$= 3, 25*$\frac{1}{42,25}$ δ$\overset{\overline{}}{x}$=0,077 >>>7,7%

Odp. Przedział ufności jest precyzyjny, ponieważ współczynnik precyzji jest mniejszy od 10% (bardzo precyzyjny <5%)

2. Współczynniki regresji wynoszą bx =0,2 i by=3,2, próba o N=18. Sprawdzić istotność współczynnika korelacj
N=18
bx=0,2=covxy/S²y -> covxy=0,2* S²y
by=3,2=covxy/ S²x -> covxy=3,2 S²x

0,2* S²y =3,2 S²x
S²y =16 S²x
Sy =4*Sx
r_xy=cov_xy/(Sx*Sy)
r_xy=3,2 S²x /(1Sx*4Sx) = 3,2 *S²x /4 S²x =0,8

H0: qxy = 0
H1: qxy ≠0

temp= $\frac{r}{\sqrt{\frac{1 - \ r^{2}}{N - 2}}}$ 0,8/0,15=5,33
obszar krytyczny dla alfa 0,01 -> 2,921
H0 została wysoko istotnie odrzucona na korzysc H1, współczynnik korelacji jest istotny.

3. Weryfikując H₀: p=po przy prawostronnej hipotezie alternatywnej otrzymano Uemp = 1,08. Dla jakiego najmniejszego poziomu istotności można w tych warunkach odrzucić H₀. [jw.]

4. Jakie są własności dystrybuanty?

Dystrybuanta polega na kumulowaniu wartości funkcji prawdopodobieństwa f(x)

1. jest określona dla liczb rzeczywistych (od -∞ do +∞) niezależnie od typu zmiennej losowej

2. ograniczona, gdyż wyraża prawdopodobieństwo, czyli 0≤F(x)≤1

3. niemalejąca

4. przynajmniej prawostronnie ciągła

5. Pewien szach przegrał zakład i musiał oddać zboże w taki sposób, że na pierwszym polu położył 1 ziarno, na 2-gim polu 2 razy więcej, na 3 dwa razy więcej (czyli 4 ziarna) i tak dalej do końca pól szachownicy. Jeśli założymy, że 1000 ziaren waży kilogram, to jaką ilość zboża musiał oddać?

/szachownica ma 64 pola: 8x8/

1	2	2*2=4	4*2=8 =2^3	8*2=16=2^4	16*2=32	32*2=64	64*2=128
128*3=256	256*2=512
							2^62

No i nikt nie wie jak to zadanie obliczyć, bo nawet kalkulator nie ma tylu cyfr…

Zasada: 1+2+2²+2³+2⁴+………………………………………………+2⁶²/1000=………………………

6. Wiadomo, że masa jaja ma rozkład normalny X∼ N(62g; 10g). Jeden producent sprzedaje jaja w cenie po 40gr za szt, drugi dzieli jaja na klasy do 55g za 35gr i powyzej 55g za 45gr. Który zarobi więcej?

Nasze pytanie, cz opłaca się dzielić jajka na klasy? Jakie jest prawdopodobieństwo, że więcej będzie jaj powyżej 55gram?

Więc musimy sprawdzić po prostu P(X>55) X∼ N(62g; 10g)

P(X>55)= 1 – F(55)

F(55)= F(U=$\frac{x - \mu}{\sigma}$) = F(U= U=$\frac{55 - 62}{10}$) = F(U=-0,7) = 1- F(0,7) =1-0,75804 =0,242

P(X>55)= 1 – F(55) = 1-0,242= 0,758 >>> czyli mamy pewność 75,8% że jajka będą powyżej 55gram, a małych 24,2%

Czyli facet B zarobi(średnio): 0,758*45gr+ 0,242*35= 42,58gr za jajko. Facet B zarobi tylko 40gr

7. Co to jest wariacja a co wariancja?

8. . Jaka jest interpretacja zależności stochastycznej i korelacyjnej i jaki jest związek między dwoma relacjami zależności? [jw]

9. Weryfikowano hipotezę o wariancjo (zakładano równość 4) mając do dyspozycji próbę liczącą 8 obserwacji. Obliczono wielkość Χ²_emp=13,56. Napisać hipotezy i zinterpretować podane wyniki.

H_o: σ²=4

H₁: σ²≠4

Χ²_emp=13,56 v=N-1 v=7

Musimy wziąć przedział ufności obustronny

α_0,05 - Χ²= 1- $\frac{\alpha}{2}$ = 0,975; v=7 >>>z tablicy: 1,690

- Χ²= $\frac{\alpha}{2}$ =0,025, v=7 >>>z tablicy: 16,013

α_0,01 - Χ²= 1- $\frac{\alpha}{2}$ = 0,995; v=7 >>>z tablicy: 0,989

- Χ²= $\frac{\alpha}{2}$ =0,005, v=7 >>>z tablicy: 20,278

Odp. Χ²_emp=13,56 zawiera się w przedziale, H_o: σ²=4 można odrzucić wysokoistotnie.

10. Wiadomo, że 0,5% wszystkich mężczyzn i 0,25%wszystkich kobiet ma daltonizm. Spośród 60 mężczyzn i 400kobiet wybrano losowo jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny, pod warunkiem wylosowania osoby z daltonizmem?

Mam do czynienia z prawdopodobieństwem warunkowym: P(A/B), co oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, obliczone przy założeniu, że nastąpiło zdarzenie B: P(A/B)= $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

U nas:

Niech P(A) oznacza prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny, a P(B) prawdopodobieństwo wylosowania osoby z daltonizmem.

Jest taka tabelka:

	A1	A2
B1	a	b	a+c
B2	c	d	c+d
	a+b	b+d	a+b+c+d=n

Np. A₁ ∩ B₁ oznacza, że losowo wybrany element jest z A₁ i B₁ – część wspólna

U nas:

A₁ – daltonizm D

A₂ – nie ma daltonizmu/zdrowa Z

B₁ - mężczyzna M

B₁- kobieta K

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny, pod warunkiem wylosowania osoby z daltonizmem?

Oznacza: P(M/D)= $\frac{P(M \cap D)}{P(D)}$

	D	Z
M	a	b	60
K	c	d	400
	a+c	b+d	460

a: 0,5% mężczyzn ma daltonizm, czyli jak mamy ich 60, to 0,005*60= 0,3 prawdopodobieństwo mężczyzny daltonisty

b: 99,5%*60= 59,7

c: kobieta daltonistka: 0,25%*400 = 1

d: 99,75%*400 = 399

Pytanie u nas: Jeśli wylosowano osobę z daltonizmem, to jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna?

$\frac{P(M \cap D)}{P(D)}$ = $\frac{\frac{a}{n}}{\frac{a + c}{n}}$ = $\frac{a}{\text{n\ }}\ \bullet \ \frac{n}{a + c} = \ \frac{a}{a + c}$ = $\frac{0,3}{1,3}$ = 0,2307

11. Jakie jest prawdopodobieństwo, że maciorka urodzi czworaczki takiej samej płci? [jw]

12. Obliczono parametry masy ciała w próbach 3 ras A B i C. W każdej próbie było 8 zwierząt. Średnie wynosiły odpowiednio: 38,5, 41,4 39kr, a wariancje: 26, 30,3 i 28,2. Uszeregować rasy pod względem poziomu i zróżnicowania badanej cechy. Uzasadnić.

/to nie wiem, na ile jest rozwiązane dobrze, ale jak inaczej to zrobić , to nie wiem/

Rozwiązanie: zdjęcie