5. Układy substancjalne i niesubstancjalne w klasycznym w ujęciu drugiej zasady termodynamiki.

Zadanie 5.1

Wodór o zasobie masy oraz azot o zasobie masy traktowane tak jak gaz doskonały podlegają przemianom izotermicznym. W którym przypadku przyrost zasobu entropii będzie większy i ile razy, jeżeli indywidualne stałe gazowe wodoru i azotu są odpowiednio równe : ;

Zadanie 5.2

Dwa różne gazy doskonałe znajdują się w tym samym naczyniu po obu stronach przegrody. Temperatury i ciśnienia obu gazów są równe. Zasób ilości materii pierwszego gazu równy jest n₁=1[kmol] zaś drugiego n₂=2[kmol]. Po usunięciu przegrody między gazami, zaczęły się one mieszać ze sobą. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii mieszaniny gazów wiedząc, że uniwersalna stala gazowa, .

Zadanie 5.3

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii ΔS_u układu termodynamicznego otoczonego osłoną adiabatyczną złożonego z podukładu bryłki miedzi o masie m_m=400[g] i temperaturze =120[°C] zanurzonej w podukładzie gliceryny o masie m_g=650[g] i temperaturze po osiągnięciu przez układ stanu równowagi termodynamicznej w temperaturze t_r=6,55[°C]. Ciepło właściwe miedzi c_m=0,092[$\frac{\text{cal}}{g\ K}\rbrack$, zaś gliceryny c_g=0,388[$\frac{\text{cal}}{g\ K}$].

$$S_{u} = 385,48 \bullet 0,4ln\frac{279,71}{293,15} + 1625,7 \bullet 0,65ln\frac{279,71}{263,15} = - 52,497 + 64.45 = 11,953\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

Zadanie 5.4

Zbiornik cylindryczny podzielony jest wewnątrz tłokiem na dwa jednakowe podobszary. W każdym z nich znajduje się zasób ilości materii powietrza n=0,1 [kmol] traktowanego tak jak gaz doskonały o jednakowych parametrach stanu p=0,1 [MPa] oraz V₀=0,25 [m³]. Zasób masy tłoka równy jest m=1 [kg] a jego pole powierzchni A=0,01 [m²]. W pewnej chwili czasu zbiornik zaczął się poruszać ze stałym przyspieszeniem a=10 w kierunku prostopadłym do płaszczyzny tłoka. Zakładając, że tłok w zbiorniku porusza się bez tarcia i że temperatura gazu w podobszarach nie ulega zmianie, znaleźć wartość przemieszczenia tłoka x oraz przyrost entropii ΔS_u w tym procesie wiedząc, że indywidualna stała gazowa powietrza R=287,04 [] zaś masa cząsteczkowa M=28,97 [].

Zadanie 5.5

Wyznaczyć, a następnie obliczyć przyrost zasobu entropii oraz minimalną wartość pracy niezbędnej do rozdzielenia zasobu masy m=[1kg] powietrza na dwa jego podstawowe składniki – tlen i azot, przy założeniu, że udziały objętościowe tlenu i azotu osiągają odpowiednio wartości r₀=0,21, zaś r_N=0,79. Założono, że tlen i azot są gazami doskonałymi, a proces ich rozdzielania zachodzi w przemianie izotermicznej w temperaturze T=288.15[K]. Indywidualne stałe gazowe tlenu i azotu mają odpowiednio wartości R₀=259,78[ ] oraz R_N=295,38[ ].

ΔS_u = m · · (r_Oln r_O+ r_Nln r_N) =

1 · · ( 0,21ln0,21 + 0,79ln0,79 ) = -147.566 []

L_min = T · ΔS_u = 288,15 ·(-147,566) = - 42521,1 [J]

Zadanie 5.6

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entalpii i entropii przemian gdy woda o zasobie ilości materii n = 1 [kmol] zostanie podgrzana od temperatury początkowej t_p = 25 [°C] do temperatury końcowej t_k = 200 [°C] pod ciśnieniem p = 0,1013 [MPa]. Ciepło właściwe molowe wody = 75,33 [] zaś ciepło właściwe molowe pary wodnej określone jest zależnością liniową typu

= a + bT []

Gdzie: a = 30,14 []

b = 11,3 ^• 10^-3 []

Ciepło przemiany fazowej wody w parę w temperaturze przemiany fazowej T_w = 373,15 [K] jest równe L_p(T_w) = 40700 []

ΔH = n_c (T_pf-T_p)+L_p(T_pf)n_c + n_ca(T_k - T_pf) + n_cb (T_k² - T_pf²) = 1 ^• 75,33 ^• 10³(373,15 - 298,15) + 40,7 ^• 10^{6 •} 1 + 1 ^• 30,14 ^• 10³(473,15 – 373,15) ^• 1 ^• 11,3(473,15² - 373,15²) = 5649,75 ^• 10³ + 40700 ^• 10³ +3014 ^• 10³ + 956,342 ^• 10³ = 50,3193 ^• 10⁶[J]

ΔS = n_cln+n_c+n_caln=

Zadanie 5.7

Wyznaczyć przedziały ciśnień dla których wartości różniczkowego współczynnika efektu zjawiska Joule’a – Thomsona przyjmują odpowiednio wartości dodatnie lub ujemne, wartość ciśnienia inwersji p_i , oraz wyznaczyć całkowity efekt zjawiska Joule’a – Thomsona ∆T_JT, jeżeli różniczkowy współczynnik efektu zjawiska Joule’a – Thomsona opisany jest funkcją liniową zależną jedynie od ciśnienia.

gdzie:

zaś gaz dławiony jest od ciśnienia do ciśnienia

Zadanie 5.8

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii S_w wody przechłodzonej do temperatury t_p = −5[^oC] przy jej izotermicznym przejściu w lód. Zasób ilości materii wody równy jest n_c = 1[kmol]. Molowe ciepło właściwe wody zaś lodu . Molowe ciepło przemiany fazowej pierwszego rodzaju topnienia lodu (krzepnięcia wody) jest równe  

$$S = 1 \bullet 4,19\left\lbrack \left( 18 + 8,6 \right)\ln\frac{273,15}{268,15} - \frac{1440}{273,15} \right\rbrack = - 20,0292\left\lbrack \frac{\text{kJ}}{K} \right\rbrack = - 20029,2\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

Zadanie 5.9

Zamknięty obustronnie cylinder izolowany cieplnie od otoczenia podzielony jest unieruchomionym na wstępie cienkim tłokiem o diatermicznych powierzchniach czołowych i beztarciowej powierzchni bocznej. Zasób objętości cylindra pomniejszony o zasób objętości tłoka równy jest V=1,1476 [m³]. Tłok dzieli cylinder na dwa podukłady o zasobach objętości

i które zawierają jednakowe zasoby mas powietrza m=0,6 [kg] o jednakowych ciśnieniach p=0,1 [MPa] lecz różnych temperaturach

i . Stała gazowa powietrza R=287,04 zaś wykładnik izentropy k=1,4. Po zwolnieniu tłoka z uwięzi i wyrównaniu temperatur w podukładach, wyznaczyć a następnie obliczyć wartość temperatury równowagi T_r, przyrosty ilości ciepła wymienionego między podukładami ∆Q₁, ∆Q₂, prace bezwzględne objętościowe wykonane przez podukłady ∆L₁, ∆L₂, przyrosty zasobów entropii powietrza w podukładach ∆S₁, ∆S₂ oraz przyrost zasobu entropii powietrza w układzie ∆S.

Zadanie 5.10

Azot traktowany tak jak gaz doskonały o zasobie ilości materii n=1[mol] i temperaturze początkowej T_p=293,15[K] rozgęszczany jest do próżni od objętości początkowej V_p=500[dm³] do objętości końcowej V_k=100V_p, a następnie w przemianie adiabatyczno-

-izochorycznej sprężany do stanu równowagi termodynamicznej. Masa cząsteczkowa azotu Współczynnik izentropy k=1,4 , uniwersalna stała gazowa . Wyznaczyć a następnie obliczyć temperaturę gazu w końcu przemiany rozgęszczania gazu do próżni oraz w stanie równowagi termicznej, jak również przyrost ilości ciepła produkcji oraz przyrost zasobu entropii gazu w stanie równowagi termicznej.

$$Q_{\text{pr}} = 3,8499 \bullet 10^{4}\left\lbrack \frac{J}{} \right\rbrack$$

Zagadnienie 5.1

W zbiorniku stalowym otwartym o zasobie objętości V₁ = 0,04[m³] znajduje się powietrze traktowane tak jak gaz doskonały będące w równowadze mechanicznej (p₁ = p₀) i nierównowadze termicznej (T₁ ≠ T₀) z powietrzem znajdującym się w otoczeniu zbiornika. Ciśnienie i temperatura powietrza w otoczeniu zbiornika są stałe i odpowiednio równe p₀ = 0,l[MPa] i T₀ = 300[K]. Na skutek nierównowagi termicznej (T₁ ≠ T₀) między powietrzem w układzie zbiornika otwartego, a powietrzem w otoczeniu zbiornika, zachodzi wymiana ciepła i masy prowadząca do równowagi termodynamicznej gazu w układzie zbiornika i otoczenia. Indywidualna stała gazowa powietrza R = 287,04 $\left\lbrack \frac{J}{\text{kgK}} \right\rbrack$ zaś wykładnik izentropy

k = l,4. Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości ciepła, które wypłynęło z układu zbiornika do otoczenia w funkcji temperatury gazu w zbiorniku w stanie równowagi termodynamicznej (T₁ = T₀, p₁ = p₀), dla przypadku, gdy temperatura początkowa

gazu w układzie zbiornika otwartego spełnia warunek (T_1p = 500[K] > T₀).

ΔQ_wyu = −5, 6 • 10³ [J]

Zagadnienie 5.2

Chłodzenie gazu przez otoczenie (T_1p>T₀) w zbiorniku otwartym o ściankach diatermicznych, będącego w równowadze mechanicznej z otoczeniem (p₁=p₀), jest procesem termodynamicznie nieodwracalnym, prowadzącym w efekcie końcowym do osiągnięcia przez gaz w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu stanu równowagi termodynamicznej (p₁=p₀ i T₁=T₀).

Uwzględniając treść i dane przedstawione w zagadnieniu 5.1 i wynikające z nich zależności określające elementarne przyrosty ilości ciepła wyprodukowanego w układzie zbiornika otwartego

δQ_pru = δQ_anu = (h₀−h₁)dm₁

i w otoczeniu

δQ_pro = δQ_kro = (h₁ − h₀)dm₁

oraz elementarne przyrosty ilości ciepła wymienione przez układ zbiornika otwartego

$$\delta Q_{\text{wyu}} = \frac{k}{k - 1}p_{0}V_{1}T_{0}\frac{dT_{1}}{T_{1}^{2}}$$

jak również przez otoczenie

δQ_wpo = −δQ_wyu

wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii gazu w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu w chwili osiągnięcia przez gaz stanu równowagi termodynamicznej.

$$S\left( T_{0} \right) = 5,17186\lbrack\frac{J}{K}\rbrack$$

Zagadnienie 5.3

W zbiorniku stalowym otwartym o zasobie objętości V₁ = 0,04[m³] znajduje się powietrze traktowane, tak jak gaz doskonały będące w równowadze mechanicznej (p₁ = p₀) i nierównowadze termicznej (T₁ ≠ T₀) z powietrzem znajdującym się w otoczeniu zbiornika. Ciśnienie i temperatura w otoczeniu zbiornika są stałe i odpowiednio równe p₀ = 0,1[MPa] i T₀ = 300[K]. Na skutek nierównowagi termicznej (T₁ ≠ T₀) między powietrzem w układzie zbiornika otwartego a powietrzem w otoczeniu zbiornika, zachodzi wymiana ciepła i masy prowadząca do równowagi termodynamicznej gazu w układzie zbiornika i otoczeniu. Indywidualna stała gazowa powietrza , zaś wykładnik izentropy k = 1,4.

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości ciepła, które wpłynęło do układu zbiornika z otoczenia w funkcji temperatury gazu w zbiorniku w stanie równowagi termodynamicznej (T₁ = T₀ , p₁ = p₀), dla przypadku, gdy temperatura początkowa gazu w układzie zbiornika otwartego spełnia warunek: T_1p = 198,316[K] < T₀

Q_wpu(T₀)  = 5794, 891 [ J ] 

Zagadnienie 5.4

Grzanie gazu przez otoczenie w układzie zbiornika otwartego o ściankach diatermicznych, będącego w równowadze mechanicznej z otoczeniem (p₁ = p₀) , jest procesem termodynamiczne nieodwracalnym, prowadzącym w efekcie końcowym do osiągnięcia przez gaz w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu stanu równowagi termodynamicznej ( p₁= p₀ i T₁=T₀ ).

Uwzględniając treść i dane przedstawione w zagadnieniu 5.3 i wynikające z nich zależności określające elementarne przyrosty ilości ciepła wyprodukowanego w układzie zbiornika otwartego

i w otoczeniu

oraz elementarne przyrosty ilości ciepła wymienione przez układ zbiornika otwartego

jak również przez otoczenie

wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii gazu w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu w chwili osiągnięcia przez gaz stanu równowagi termodynamicznej.

$$S\left( T_{o} \right) = 6,1345\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

Zagadnienie 5.5

W zbiorniku stalowym otwartym o zasobie objętości znajduje się powietrze traktowane tak jak gaz doskonały o początkowych parametrach stanu, ciśnieniu i temperaturze . Indywidualna stała gazowa powietrza , zaś wykładnik izentropy . Do zbiornika podłączono przewód zasilający w którym powietrze ma następujące ustalone parametry stanu, ciśnienie oraz temperaturę . Proces napełniania zbiornika przebiega w przemianie adiabatyczno-izochorycznej. Wyznaczyć zasób masy gazu w zbiorniku napełnianym w funkcji ciśnienia oraz temperatury, temperaturę w funkcji ciśnienia oraz zasobu masy gazu, jak również ciśnienie w funkcji temperatury. Obliczyć wartość temperatury oraz zasobu masy gazu, dla stanu równowagi mechanicznej między układem i otoczeniem (p₁ = p₀).

Zagadnienie 5.6

Napełnianie układu zbiornika otwartego o ściankach adiabatycznych gazem jest procesem termodynamicznym nieodwracalnym, prowadzącym do osiągnięcia przez gaz w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu, stanu równowagi mechanicznej (p₁=p₂).

Uwzględniając treść i dane przedstawione w zagadnieniu 5.5 i wynikające z nich zależności określające elementarne przyrosty ilości ciepła wyprodukowanego w układzie zbiornika otwartego

δQ_pru  = δQ_kru =(h₀−h₁)dm₁

i w otoczeniu

δQ_pro = δQ_ano = −δQ_kru

jak również relacje między zasobem masy, temperatury i ciśnienia w układzie zbiornika otwartego napełnianego gazem

m₁(T₁)=$\frac{d_{1}}{b_{1}{- T}_{1}}m_{1_{p}}$

p₁(T₁)=$\frac{a_{1} \bullet d_{1} \bullet T_{1}}{b_{1}{- T}_{1}}$

m₁(p₁)=$\frac{d_{1}a_{1} + p_{1}}{b{\bullet a}_{1}}m_{1_{p}}$

gdzie:

a₁=$\frac{p_{1_{p}}}{T_{1_{p}}}$

b₁=kT_o

d₁=kT_o-T_1p

wyznaczyć a następnie obliczyć wartość temperatury oraz przyrostu zasobu entropii gazu w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu w funkcji temperatury oraz zasobu masy gazu, dla stanu równowagi mechanicznej.

$$S\left( T_{0} \right) = 223,508\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

$$S\left( m_{1}\left( p_{0} \right) \right) = 223,258\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$$

Zagadnienie 5.7

Zbiornik stalowy osłonięty adiabatycznie z wmontowanym zamkniętym zaworem wypełniony jest powietrzem traktowanym tak jak gaz doskonały. Zasób objętości zbiornika równy jest V₁=0,04[m³] , zaś parametry stanu powietrza w nim zawartego są odpowiednio równe, ciśnienie p_1p=15[MPa] oraz temperatura T_1p=830,041[K]. Po otwarciu zaworu spustowego nastąpił wypływ gazu z układu zbiornika do otoczenia. Parametry stanu gazu w otoczeniu są ustalone i odpowiednio równe: p_o=0,1[MPa] oraz temperatura T_o=300 [K]. Wyznaczyć zasób masy gazu w zbiorniku otwartym w funkcji ciśnienia oraz w funkcji temperatury, ciśnienie w funkcji temperatury oraz w funkcji gęstości zasobu masy gazu, jak również temperaturę w funkcji ciśnienia oraz w funkcji zasobu masy gazu w zbiorniku. Obliczyć dla stanu równowagi mechanicznej między układem zbiornika a otoczeniem (p₁=p_o) wartości, temperatury oraz zasobu masy gazu. Indywidualna stała gazowa powietrza R=287,04[], zaś wykładnik izentropy k=1,4.

.

Zagadnienie 5.8

Opróżnienie układu zbiornika otwartego o ściankach adiabatycznych z gazu jest procesem termodynamicznym nieodwracalnym, prowadzącym do osiągnięcia przez gaz w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu, stan równowagi mechanicznej (p₁=p₀). Uwzględniając treść i dane przedstawione w zagadnieniu 5.7 i wynikające z nich zależności określające elementarne przyrosty ilości ciepła wyprodukowanego w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu jak również relację między zasobem masy, temperatury i ciśnienia w układzie zbiornika otwartego opróżnionego z gazu

wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii gazu w układzie zbiornika otwartego i w otoczeniu w funkcji temperatury oraz w funkcji zasobu masy gazu dla stanu równowagi mechanicznej.

Zagadnienie 5.9

Układ zbiorników otwartych między sobą o zasobach objętości pierwszy V₁ = 0,04 [m³ ] oraz drugi V₂ = 0,16 [m³ ] zawiera powietrz traktowane tak jak gaz doskonały. Gaz zawarty w zbiornikach znajduje się w równowadze mechanicznej p₁ = p₂ =p_r = 5 [MPa] i nierównowadze termicznej T_1p =250 [K] zaś T_2p= 500 [K]. Układ zbiorników osłonięty jest od otoczenia osłoną adiabatyczną zaś zbiorniki mają wspólną powierzchnię diatermiczną. Indywidualna stała gazowa powietrza R= 287,04 [] zaś wykładnik izentropy k=1,4. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości temperatury równowagi T_r , przyrosty ilości ciepła i masy wymienionej między zbiornikami w stanie równowagi termodynamicznej osiągniętej przez gaz w układzie zbiorników otwartych między sobą.

Δ

lub

$$T_{r} = \frac{m_{2_{p}}T_{2_{p}}}{m_{2_{p}} + m} = \frac{5,57414 \bullet 500}{5,57414 + 1,11483} = 416,667\left\lbrack \text{kg} \right\rbrack$$

ΔQ₂(T_r)=- ΔQ₁(T_r)=-357578[J]

Zagadnienie 5.10

Układ zbiorników otwartych między sobą osłonięty jest od otoczenia osłoną adiabatyczną, zaś między sobą diatermiczną. Gaz doskonały wypełniający układy zbiorników znajduje się w równowadze mechanicznej (p₁=p₂) i nierównowadze termicznej (T₁<T₂) między sobą. Dochodzenie gazu zawartego w układach zbiorników otwartych między sobą do stanu równowagi termodynamicznej (p₁=p₀ i T₁=T₀) jest procesem nieodwracalnym. Uwzględniając treść i dane przedstawione w zagadnieniu 5.9 i wynikające z nich zależności określające elementarne przyrosty ilości ciepła wyprodukowane w układzie zbiornika otwartego pierwszego Q_pr1 = Q_kr1 = (h₁ − h₂)dm₁ oraz drugiego Q_pr2 = Q_an2 = −Q_kr1 jak również elementarne przyrosty ilości ciepła wymienione między układem zbiornika pierwszego $Q_{\text{wp}_{1}}\ = \ \frac{k}{k - 1}\ p_{1}V_{1}\frac{dT_{1}}{T_{1}}$ oraz drugiego Q_wy2 = −Q_wp1 Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entropii gazu w układzie zbiornika pierwszego i drugiego w chwili osiągnięcia przez gaz w nich zawarty stanu równowagi termodynamicznej.

6. Termodynamika ośrodków dielektrycznych i magnetycznych.

Zadanie 6.1

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości ciepła wymienionego miedzy dielektrykiem doskonałym (energia wewnętrzna jest funkcja tylko temperatury) a otoczeniem w przemianie izotermicznej T=300[K], jeżeli pole elektryczne zmienia wartość natężenia pola od wartości początkowej do końcowej E_k=10⁵ $\left\lbrack \frac{V}{m} \right\rbrack$. Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej przez pole elektryczne nad dielektrykiem równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego

$$\delta l_{\text{uV}}\ = (\overset{\overline{}}{F_{1}} \bullet \ d\overset{\overline{}}{x_{1}})$$

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola elektrycznego zaś objętościową gęstość zasobu przemieszczenia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji elektrycznej .

Przenikalność elektryczna próżni równa jest $\varepsilon_{0} = 8,9 \bullet 10^{- 12}\ \left\lbrack \frac{C^{2}}{Nm^{2}} \right\rbrack$ zaś względna przenikalność elektryczna dielektryka w temperaturze T=300[K] wynosi ε_r =31

j

$$Q = - L_{E} = - \frac{V\varepsilon_{0}\left( \varepsilon_{r} - 1 \right)}{2}\left( E_{k}^{2} - E_{p}^{2} \right) =$$

$$= - \frac{0,01 \bullet 8,9 \bullet 10^{- 12}\left( 31 - 1 \right)}{2}10^{10} = - 13,35 \bullet 10^{- 3}\text{\ \ }\left\lbrack J \right\rbrack$$

Zadanie 6.2

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości ciepła wymienionego między magnetykiem doskonałym (energia wewnętrzna jest funkcja tylko temperatury) a otoczeniem w przemianie izotermicznej T=10[K], jeżeli pole magnetyczne zmienia wartość natężenia pola od wartości H_p = 0 $\left\lbrack \frac{A}{m} \right\rbrack$ do wartości końcowej H_k = 10⁵$\left\lbrack \frac{A}{m} \right\rbrack$. Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej przez pole magnetyczne nad magnetykiem doskonałym równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnemu przyrostowi objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego :

$\text{δl}_{\text{uV}} = ({\overline{F}}_{1} \bullet d\overline{x_{1}}$)

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego $\overline{H}$ zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej $\overline{M}$ . Równanie stanu magnetyka doskonałego określone jest równaniem Curie:

$\overline{M} = c_{c}\mu_{o}\frac{\overline{H}}{T}$ [T]

Stała Curie dla magnetyka C_c=3,33[K], zaś przenikalność magnetyczna próżni

Zasób objętości magnetyka V = 0,001[m³]

$$Q = - \frac{Vc_{c}\mu_{o}}{2T}\left( H_{k}^{2} - H_{p}^{2} \right) = \frac{- 0,001 \bullet 3,33 \bullet 4\pi \bullet 10^{- 7}}{2 \bullet 10} = - 209,23\lbrack J\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

Zadanie 6.3

Sól paramagnetyczna o zasobie ilości materii n=1[mol] traktowana tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) spełniający prawo Curie

$${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{n}} = C_{C_{n}}\frac{\overset{\overline{}}{H}}{T}$$

gdzie $C_{C_{n}} = C_{C}\vartheta_{n} = 0,1\lbrack\frac{m^{3}K}{\text{kmol}}\rbrack$

podlega przemianie izomagnetycznej (stała pole magnetyczne), o natężeniu H=10⁶$\left\lbrack \frac{A}{m} \right\rbrack.$ Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej nad magnetykiem równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego.

$$\delta L_{u\overset{\overline{}}{V}} = \left( {\overset{\overline{}}{F}}_{1} \bullet d{\overset{\overline{}}{x}}_{1} \right)$$

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego $\overset{\overline{}}{H}$ zaś objętościową gęstość zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej $\overset{\overline{}}{M}$. Praca przemiany izomagnetycznej równa jest $L_{\overset{\overline{}}{H}} = 30\lbrack J\rbrack$, zaś temperatura początku przemiany T_p=1[K]. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość wektora momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji magnetycznej w końcu przemiany izomagnetycznej ${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{\text{nk}}}$, oraz wartość temperatury końca przemiany izomagnetycznej T_k. Przenikalność magnetyczna próżni $\mu_{0} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\left\lbrack \frac{H}{m} \right\rbrack.$

$${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{\text{np}}} = C_{C_{n}}\frac{\overset{\overline{}}{H}}{T_{p}} = 0,1 \bullet \frac{16^{6}}{1} = 10^{5}\lbrack\frac{Am^{2}}{\text{kmol}}\rbrack$$

$${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{\text{nk}}} = C_{C_{n}}\frac{\overset{\overline{}}{H}}{T_{p}} + \frac{L_{\overset{\overline{}}{H}}}{n\mu_{0}\overset{\overline{}}{H}} = 10^{5} + \frac{30}{10^{- 3} \bullet 4\pi \bullet 10^{- 7} \bullet 10^{6}} = 1,239 \bullet 10^{5}\lbrack\frac{Am^{2}}{\text{kmol}}\rbrack$$

$$T_{k} = C_{C_{n}}\frac{\overset{\overline{}}{H}}{{\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{\text{nk}}}} = \frac{0,1 \bullet 10^{6}}{1,239 \bullet 10^{5}} = 0,807\ \lbrack K\rbrack$$

Zadanie 6.4

Sól paramagnetyczna o zasobie ilości materii  n = 1 [mol] traktowana tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) podlega przemianie izomagnetycznej $(\overset{\overline{}}{H} = const)$. Praca przemiany izomagnetycznej równa jest $\ \ L_{\overset{\overline{}}{H}} = 30\ \lbrack J\rbrack$ zaś temperatura soli zmieniła się od temperatury początkowej T_p = 1 [K] do temperatury końcowej T_k = 0, 804 [K]. Molowe ciepło właściwe paramagnetyka doskonałego przy stałej polaryzacji indukcji magnetycznej określone jest zależnością $C_{{\overset{\overline{}}{M}}_{n}} = \frac{A_{C}}{T^{2}}\ \lbrack\frac{J}{kmol K}\rbrack$ , gdzie stała $A_{C} = 3000\ \lbrack\frac{J K}{\text{kmol}}\rbrack$.

Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej nad paramagnetykiem równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego $\delta l_{u_{V}} = ({\overset{\overline{}}{F}}_{1} d{\overset{\overline{}}{x}}_{1})$. Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego $\overset{\overline{}}{H}$ zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej $\overset{\overline{}}{M}$.

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu energii wewnętrznej soli paramagnetycznej E_I oraz przyrost ilości ciepła $Q_{\overset{\overline{}}{H}}$ wymienionego między układem a otoczeniem w przemianie izomagnetycznej.

$$E_{I} = - nA_{C}\left( \frac{1}{T_{k}} - \frac{1}{T_{p}} \right) = - 10^{- 3} 3000\left( \frac{1}{0,804} - 1 \right) = - 0,731\ \lbrack J\rbrack$$

$$Q = E_{I} - L_{\overset{\overline{}}{H}} = - 0,751 - 30 = - 30,751\ \lbrack J\rbrack$$

Zadanie 6.5

Sól paramagnetyczna traktowana tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) podlegająca równaniu stanu Curie:

gdzie stała Curie:

została w przemianie izomagnetycznej o stałym natężeniu pola magnetycznego $H = 10^{5}\left\lbrack \frac{A}{m} \right\rbrack$

poddana pracy przemiany powodującej wzrost jej temperatury od T_p = 1[K]

do . Molowe ciepło właściwe paramagnetyka

doskonałego przy stałej polaryzacji indukcji magnetycznej określone jest funkcją

gdzie stała

Przenikalność magnetyczna próżni

$$\mu_{0} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\left\lbrack \frac{H}{m} \right\rbrack$$

Wyznaczyć zależność funkcyjną molowego ciepła właściwego paramagnetyka

doskonałego przy stałym natężeniu pola magnetycznego wiedząc, że różnica ciepeł właściwych przy stałej sile i stałym przesunięciu uogólnionym określona jest związkiem

a następnie obliczyć wartości molowego ciepła właściwego paramagnetyka doskonałego przy

stałym natężeniu pola magnetycznego dla temperatur T_p i T_k

Zadanie 6.6

Do soli paramagnetycznej o zasobie masy m = 10 [kg] traktowanej tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) podlegającej równaniu stanu Curie

${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{n}}$

gdzie stała Curie

został w przemianie izomagnetycznej o natężeniu pola magnetycznego

=10⁵

doprowadzony przyrost ilości ciepła $Q_{\overset{\overline{}}{H}}$ powodujący wzrost jej temperatury od T_p=1[K] do T_k=3 [K] oraz przyrost wektora momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej ${\overset{\overline{}}{M}}_{{\overset{\overline{}}{H}}_{n}}$. Molowe ciepło właściwe paramagnetyka doskonałego przy stałym wektorze momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej określone jest zależnością

gdzie stała

Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej nad magnetykiem doskonałym równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej .

Przenikalność magnetyczna próżni , zaś molowa gęstość zasoby masy soli paramagnetycznej jest równa . Różnica molowych ciepeł właściwych przy stałym natężeniu pola magnetycznego oraz przy stałym wektorze momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej jest równa .

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość przyrostu zasobu entalpii soli

paramagnetycznej H^*

$$H^{*} = \frac{m_{s}}{\rho_{n_{s}}}\left( A_{c} + \mu_{0}C_{c_{n}}H^{2} \right)\left( \frac{1}{T_{p}} - \frac{1}{T_{k}} \right) = = = 94,5912\lbrack\rbrack$$

Zadanie 6.7

Do soli paramagnetycznej o zasobie masy m = 10 [kg] traktowanej tak jak paramagnetyk doskonały (energia wewnętrzna jest funkcją tylko temperatury) podlegająca równaniu stanu Curie.

$${\overline{M}}_{{\overline{H}}_{n}} = C_{C_{n}}\frac{\overline{H}}{T}\lbrack\frac{Am^{2}}{\text{kmol}}\rbrack$$

gdzie stała Curie

$$C_{C_{n}} = C_{C} \bullet \vartheta_{n} = 0.1\lbrack\frac{m^{2}K}{\text{kmol}}\rbrack$$

został w przemianie izomagnetycznej o natężeniu pola magnetycznego

H=10⁵

doprowadzony przyrost ilości ciepła $Q_{\overline{H}}$ powodujący wzrost jej temperatury od T_p=1[K] do T_k=3 [K] i przyrost wektora momentu molowej gęstości zasobu polaryzacji magnetycznej ${\overline{M}}_{{\overline{H}}_{n}}$

$$C_{{\overline{M}}_{n}} = \frac{A_{C}}{T^{2}}\left\lbrack \frac{J}{\text{kmolK}} \right\rbrack$$

$$A_{C} = 3000\left\lbrack \frac{\text{JK}}{\text{kmol}} \right\rbrack$$

Elementarny przyrost objętościowej gęstości ilości pracy wykonanej nad magnetykiem doskonałym równy jest iloczynowi skalarnemu siły uogólnionej i elementarnego przyrostu objętościowej gęstości zasobu przesunięcia uogólnionego

Siłą uogólnioną jest wektor natężenia pola magnetycznego $\overline{H}$ zaś objętościową gęstością zasobu przesunięcia uogólnionego jest wektor momentu objętościowej gęstości zasobu polaryzacji indukcji magnetycznej $\overline{M}$.

Przenikalność magnetyczna próżni $\mu_{0} = 4\pi 10^{- 7}\left\lbrack \frac{H}{m} \right\rbrack$, zaś molowa gęstość zasoby masy soli paramagnetycznej $\rho_{n_{s}} = 300\left\lbrack \frac{\text{kg}}{\text{kmol}} \right\rbrack$. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości przyrostu ilości ciepła $Q_{\overline{H}}$, przyrost zasobu energii wewnętrznej E_I, oraz pracę $L_{\overline{H}}$ przemiany izomagnetycznej.

$$E_{I} = \frac{m_{s}}{\rho_{s}}A_{C}\left( \frac{1}{T_{p}} - \frac{1}{T_{k}} \right) = \frac{10}{300} \bullet 3000\ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 66,6667\lbrack J\rbrack$$

$${L_{\overline{H}}{= - \frac{m_{s}}{\rho_{s}}\mu}_{0}C}_{C_{n}}H^{2}\left( \frac{1}{T_{p}} - \frac{1}{T_{k}} \right) = - \frac{10}{300} \bullet 4\pi 10^{- 7} \bullet 0,1 \bullet 10^{2}\left( \frac{1}{T_{p}} - \frac{1}{T_{k}} \right) = - 27,9253\lbrack J\rbrack$$

$$Q_{\overline{H}} = \frac{m_{s}}{\rho_{s}}\left( \frac{1}{T_{p}} - \frac{1}{T_{k}} \right)\left( A_{C} + \mu_{0}C_{C_{n}}H^{2} \right) = \frac{10}{300}\left( 1 - \frac{1}{3} \right) \bullet \left( 3000 \bullet 4\pi 10^{- 7} \bullet 0,1 \bullet 10^{10} \right)$$

$$Q_{\overline{H}} = 94,519\lbrack J\rbrack$$

Zadanie 6.8

Względna stała dielektryczna nitrobenzenu zmienia się w funkcji temperatury zgodnie z zależnością

ε_r = aT + b

gdzie :

$a\ = \ - 0,1025\ \lbrack\frac{1}{K}$]

b  =  6, 1261

zaś temperatura w funkcji natężenia pola elektrycznego $E\ = \ \lbrack\frac{V}{m}$].

T = cE + d

gdzie :

$c = \ 0,004\ \lbrack\frac{\text{mK}}{V}$]

d = −183, 16 [K]

zaś stała dielektryczna próżni

$$\varepsilon_{o} = 8,9\ \bullet 10^{- 12}\lbrack\frac{C^{2}}{\text{Nm}^{2}}\rbrack$$

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość zależności funkcyjnej względnej stałej dielektrycznej _r=_r(E) w funkcji natężenia pola elektrycznego $\overset{\overline{}}{E,\ \ }$ oraz pracę pola elektrycznego wykonaną nad nitrobenzenem o zasobie objętości V = 1[cm³] w przemianie w której natężenie pola elektrycznego wzrasta od wartości początkowej $E_{p} = 0\lbrack\frac{V}{m}\rbrack$ do wartości końcowej $E_{k} = 10^{4}\lbrack\frac{V}{m}\rbrack$

_r = a_rE + b_r

gdzie

a_r = ac=-0,1025 0,004 = -0,41 10^-3$\left\lbrack \frac{m}{V} \right\rbrack$

zaś

b_r = ad + b = −0, 1025  • (−183,16) +  6, 1261 = 24, 9

Zatem

_r= -0,41 10^-3 E + 24,9

$$L_{\overset{\overline{}}{E}} = V_{o}\left( \frac{2}{3}a_{r}\left( E_{k}^{3} - E_{p}^{3} \right) + \frac{1}{2}\left( b_{r} - 1 \right)\left( E_{k}^{2} - E_{p}^{2} \right) \right) = = 10^{- 6} \bullet 8,854 \bullet 10^{- 12} \bullet \left( \frac{2}{3}\left( - 0,41 \bullet 10^{- 3} \bullet 10^{12} + \frac{1}{2}\left( 24,9 - 1 \right) \bullet 10^{8} \right) \right) = = 8,1604 \bullet 10^{- 9}\lbrack J\rbrack$$

7. Kinetyczna Teoria gazów – elementy termodynamiki statystycznej.

Zadanie 7.1

Wyznaczyć i obliczyć wartość drogi przebytej przez cząsteczkę azotu N₂ w temperaturze T = 300 [K] pod ciśnieniem p = 0, 1 [Mpa] w czasie , t = 1 [s] oraz ilość zderzeń z wykonanych przez cząsteczkę w czasie t, jak również ilość zderzeń z_n cząsteczek zawartych w jednostce objętości w czasie t, wiedząc, że masa cząsteczkowa azotu $\mathrm{M}_{\mathrm{N}_{\mathrm{2}}}\mathrm{= 28\ }\left\lbrack \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{\text{mol}}} \right\rbrack$, liczba Avogadra $\mathrm{N}_{\mathrm{A}}\mathrm{=}6,023*10^{23}\left\lbrack \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\text{mol}}} \right\rbrack\ $, uniwersalna stała gazowa $\mathrm{B = 8314}\left\lbrack \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{\text{kmol\ K}}} \right\rbrack$ zaś średnica cząsteczki azotu d_N2 = 3, 74 * 10⁻¹⁰[m].

Wyznaczenie masy cząsteczki azotu

Wyznaczenie stałej Boltzmana : k=B/NA

Wyznaczenie wartości prędkości średniej cząsteczek azotu:

Wyznaczenie drogi przebytej przez czasteczke azotu:

Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu ilości cząsteczek azotu:

Wyznaczenie średniej drogi swobodnej cząsteczki azotu

Wyznaczenie średniego czasu między zderzeniami:

Wyznaczenie ilości zderzeń cząsteczek w jednostce czasu:

Wyznaczenie ilości zderzeń pomiędzy cząsteczkami w jednostce objeosci i czasu:

Zadanie 7.2

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość średniej energii kinetycznej cząsteczki tlenu w temperaturze oraz jej prędkość średnią wiedząc, że masa cząsteczkowa tlenu , liczba Avogadra , uniwersalna stała gazowa .

Zadanie 7.3

Wyznaczyć i obliczyć wartość współczynnika lepkości dynamicznej dla tlenu O₂ w temperaturze T=300[K] i przy ciśnieniu wiedząc, że średnica cząsteczki tlenu , masa cząsteczkowa tlenu , liczba Avogadra , uniwersalna stała gazowa , zaś współczynnik lepkości dynamicznej określony jest zależnością

$${\overset{\overline{}}{\vartheta}}_{O_{2}} = \left( \frac{8BT}{\pi M_{O_{2}}} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{8 \bullet 8314,3 \bullet 300}{3,14 \bullet 32} \right)^{\frac{1}{2}} = 445,521\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Zadanie 7.4

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość średnicy cząsteczki wodoru H₂ wiedząc , że jej droga swobodna w temperaturze t=25 i przy ciśnieniu p=1[Atm] jest równa . Masa cząsteczkowa wodoru

, liczba Avogadra N_A=6,023∙10^-23 , uniwersalna stała gazowa, zaś objętościowa gęstość zasobu masy rtęci

Zadanie 7.5

Stosunek liczby cząsteczek ) o prędkości trzykrotnie większej od prędkości średniej do liczby cząstek o prędkości średniej jest wskaźnikiem liczby cząsteczek szybkich. Obliczyć ten stosunek i wykazać, że nie zależy on ani od temperatury ani od rodzaju gazu. Rozkład zasobu ilości cząsteczek w funkcji modułu ich prędkości (Rozkład Maxwella) wyrażony jest zależnością:

Zadanie 7.6

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość ciśnienia wywieranego przez cząsteczki gazu o zasobie ilości N = 10²³ zamkniętych w zbiorniku o objętości V = 1[dm³] wiedząc, że masa cząsteczki m_cz = 10⁻²⁵[kg] oraz, że moduł średniej kwadratów prędkości cząsteczek . Obliczyć również całkowity zasób energii wewnętrznej oraz ich temperaturę T wiedząc, że uniwersalna stała gazowa $B = 8314\lbrack\frac{J}{\text{kmolK}}\rbrack$ zaś liczba Avogadra $N_{A} = 6,023*10^{23}\lbrack\frac{1}{\text{mol}}\rbrack$

$$T = \frac{m_{\text{cz}}N_{A}}{3B}\overset{\overline{}}{\vartheta^{2}} = \frac{10^{- 25} \bullet 6,023 \bullet 10^{23}}{3 \bullet 8314} \bullet 10^{4} = \frac{6,023 \bullet 10^{2}}{24,942} = 24,148\left\lbrack K \right\rbrack$$

Zadanie 7.7

Wodór o zasobie ilości cząsteczek N = 1, 03 * 10²³ zamknięty jest w naczyniu o objętości V = 1 [dm³] pod ciśnieniem p = 1 [Atm]. Masa cząsteczkowa wodoru $M_{H_{2}} = 2\ \lbrack\frac{g}{\text{mol}}\rbrack$, uniwersalna stała gazowa oraz liczba Avogadra $N_{A} = 6,023 \bullet 10^{23}\lbrack\frac{1}{\text{mol}}\rbrack$ zaś objętościowa gęstość zasobu masy rtęci $\rho_{r} = 13546\lbrack\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$. Wyznaczyć a następnie obliczyć wartości temperatury gazu T oraz modułu średniej kwadratów prędkości ϑ_sk jego cząsteczek.

$$\vartheta_{\text{sk}} = \sqrt{{{\overset{\overline{}}{\vartheta}}^{2}}_{H_{2}}} = \sqrt{\frac{3N_{A}\text{Vhρ}_{r}g}{M_{H_{2}}N}} = \sqrt{\frac{3 \bullet 6,023 \bullet 0,76 \bullet 13546 \bullet 9,81 \bullet 10^{- 3} \bullet 10^{26}}{2 \bullet 1,03 \bullet 10^{23}}} = 941,199\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack$$

$$T = \frac{h\rho_{r}\text{gV}N_{A}}{\text{NB}} = \frac{0,76 \bullet 13546 \bullet 9,81 \bullet 10^{- 3} \bullet 6,023 \bullet 10^{26}}{1,03 \bullet 10^{23} \bullet 8314} = 71,0332\ \lbrack K\rbrack$$

Zadanie 7.8

Obliczyć zasób ilości N cząsteczek tlenu zawartych w zasobie objętości (objętość główki szpilki) po odpompowaniu tlenu i wytworzeniu podciśnienia p=0,1[mmH₂O] wiedząc że energia kinetyczna cząsteczki tlenu jest równa $\overline{E_{k}} = 6,2119 10^{- 21}\left\lbrack J \right\rbrack$. Liczba Avogadra N_A=6,02310²³[$\frac{1}{\text{mol}}\rbrack,$ uniwersalna stała gazowa B=8314[$\frac{J}{\text{kmolK}}\rbrack$, masa cząsteczkowa tlenu M_O2=32[$\frac{g}{\text{mol}}\rbrack$, objętościowa gęstość zasobu masy wody $\rho_{w} = 1000\lbrack\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$

$T = \frac{2}{3}\frac{N_{A}}{B}\overline{E_{K}} = \frac{2 6,023 10^{23} 6,2119 10^{- 21}}{3 8,3243}$=300[K]

$$N_{O_{2}} = \frac{h_{w}\rho_{w}\text{gV}N_{A}}{\text{BT}} = \frac{0,1 1000 9,81 10^{- 9} 6,023 10^{26}}{8314,3 300} = 2,3688*10^{14}$$

Zadanie 7.9

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości ciepła ΔQ_V które należy doprowadzić do zasobu masy m = 3, 45 • 10⁻³[kg] helu zamkniętego w zbiorniku o stałej objętości by jego temperatura wzrosła od wartości początkowej $t_{p} = 0\lbrack\ \mathring{}C\rbrack$ do wartości końcowej $t_{k} = 100\lbrack\ \mathring{}C\rbrack$. W jakim stosunku zmieni się moduł średniej kwadratów prędkości cząstek gazu $\vartheta_{\text{sk}} = \sqrt{\overset{\overline{}}{\vartheta^{2}}}$ na skutek wzrostu jego temperatury. Masa cząsteczkowa helu wynosi $M_{\text{He}} = 4\lbrack\frac{g}{\text{mol}}\rbrack$ liczba Avogadra $N_{A} = 6,023*10^{23}\lbrack\frac{1}{\text{mol}}\rbrack$ zaś uniwersalna stała gazowa $B = 8314\lbrack\frac{J}{\text{kmolK}}\rbrack$

Zadanie 7.10

Cząsteczki argonu o średnicy d=3,9610^-10[m] znajdują się w zbiorniku o zasobie objętości V=1[m³] w temperaturze t=0[⁰C] oraz przy ciśnieniu p=1[Atm]. Wiedząc, że uniwersalna stała gazowa B=8314$\lbrack\frac{J}{\text{kmolK}}\rbrack$, masa cząsteczkowa argonu M=39,95 $\lbrack\frac{g}{\text{mol}}\rbrack$, liczba Avogadra N_A=6,02310²³$\lbrack\frac{1}{\text{mol}}\rbrack$, objętościowa gęstość zasobu masy rtęci ρ_r=13546$\lbrack\frac{\text{kg}}{m^{3}}\rbrack$ wyznaczyć a następnie obliczyć wartość średniej drogi swobodnej $\overset{\overline{}}{l}$ cząsteczki argonu, średnią liczbę zderzeń cząsteczki z oraz średnią liczbę zderzeń cząsteczek z_n między sobą w jednostce objętości i czasu

$$\overline{\mathbf{\vartheta}}\mathbf{= (}\frac{\mathbf{8BT}}{\mathbf{\pi}\mathbf{M}_{\mathbf{\text{Ar}}}}\mathbf{)}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{= (}\frac{\mathbf{8} \mathbf{8314} \mathbf{273,16}}{\mathbf{3,14} \mathbf{39,95}}\mathbf{)}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{= 380,581\lbrack}\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

$\mathbf{n}_{\mathbf{o}_{\mathbf{\text{Ar}}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{\text{kT}}}\mathbf{=}\mathbf{N}_{\mathbf{A}}\frac{\mathbf{p}}{\mathbf{\text{BT}}}\mathbf{=}\mathbf{N}_{\mathbf{A}}\frac{\mathbf{\rho}_{\mathbf{r}}\mathbf{\text{hg}}}{\mathbf{\text{BT}}}$=6,02310²⁶ $\frac{\mathbf{13546} \mathbf{0,76} \mathbf{9,81}}{\mathbf{8314} \mathbf{273,16}}$=2,6784210²⁶[$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\rbrack}$

$\overline{\mathbf{l}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{BT}}}{\mathbf{N}_{\mathbf{A}}\mathbf{\text{hg}}\mathbf{\rho}_{\mathbf{r}}\mathbf{d}_{\mathbf{\text{Ar}}}^{\mathbf{2}}\sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{8314} \mathbf{273}\mathbf{,}\mathbf{16}}{\mathbf{6}\mathbf{,}\mathbf{023}{\mathbf{10}}^{\mathbf{26}} \mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{76} \mathbf{13546} \mathbf{9}\mathbf{,}\mathbf{81} \mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{14} \mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{96} \mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{20}} \sqrt{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{3775} \mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{8}}$[m]=53,778[nm]

$\mathbf{\tau =}\frac{\overline{\mathbf{l}}}{\overline{\mathbf{\vartheta}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5,3775}\mathbf{}\mathbf{10}^{\mathbf{- 8}}}{\mathbf{380,581}}$=1,41310^-10[s]

$$\mathbf{z =}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{\tau}}\mathbf{= 7,07714} \mathbf{10}^{\mathbf{9}}\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{s}}\mathbf{\rbrack}$$

$\mathbf{z}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{n}_{\mathbf{\text{oAr}}}}{\mathbf{2}} \mathbf{z =}$9,4777810³⁴$\mathbf{\lbrack}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{s}\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}\mathbf{\rbrack}$

Zadanie 7.11

Prędkość dźwięku w powietrzu w funkcji temperatury określają następujące wartości

t [°C]	20	1000
a	344	700

Porównać te wartości z prędkościami modułów średniej kwadratów prędkości cząsteczek azotu N₂ w podanych temperaturach wiedząc, że uniwersalna stała gazowa B=8314,3 , zaś masa cząsteczkowa azotu .

1. dla T₁=293,16 [K]
   
   dla T₂=1273,16 [K]
   

2. Zestawienie wyników i ich porównanie

T[K]	293,16	1273,16
	510,903	1064,7
a	344	700

8. Kinetyczna teoria promieniowania-elementy termodynamiki kwantowej.

Zadanie 8.1

Zakładając, że w przypadku ciała rozżarzonego do „czerwonego żaru” długość fali λ_max1=7,6∙10^-7 [m] odpowiadająca maksimum wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania przypada w bliskiej podczerwieni, zaś dla „niebieskiego żaru”, długość fali λ_max2=4,3∙10^-7 [m] przypada na bliski nadfiolet, wyznaczyć a następnie obliczyć wartości temperatur jakie na mocy prawa przesunięć Wiena odpowiadają tym długościom fal. Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla tych długości fal jak również wartość objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania dla tych temperatur, wiedząc, że stała Boltzmanna k=1,3806∙10^-23, stała Plancka h=6,6262∙10^-34[Js], prędkość światła w próżni c=3∙10⁸

Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objetosciowej gęstości zasobu energii dla lambda m1

Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objetosciowej gęstości zasobu energii dla lambda m2

1. Obliczanie wartości objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej promieniowania dla wartości temperatury

Objętościowa gęstość zasobu energii promieniowania określona jest zależnością:

gdzie

Dla

Dla

Zadanie 8.2

Wyznaczyć a następnie obliczyć promień Bohra w atomie wodoru oraz siły przyciągania elektrostatycznego ładunków elektrycznych F_e oraz wartości siły grawitacji między protonem i elektronem wiedząc, że przenikalność elektryczna w próżni ε₀ = 8,9 · 10^-12 , stała Plancka h = 6,626 · 10^-34 [J·s], stała grawitacji G = 6,67 · 10^-11 , ładunek elektronu e = 1,602 · 10^-19 [C], masa elektronu m_e = 9,109 · 10^-31 [kg], masa protonu

m_p = 1,762 · 10^-27 [kg]

1Wyznaczeni promienia bohra z drugiego postulatu bohra:

h kreślone=h/2π

2Orbitalny moment pedu: L=n*h kreś

3F_e i Fd muszą być równe aby spełnić mechaniczny warunek stabilności:

F_e=1/4πε₀*z*$e^{2}/r\hat{}2$

4Orbitalny moment pedu: L=m_e*v*r=h kreś*n => v=n*h kreś/m_e*r

5 wyznaczenie promienia orbity elektronu:

r=4π*ε₀*h kreś^2*n^2/ m_e2e²

z=1 n=1

r=a

$${a_{0} = \varepsilon}_{0}\frac{h^{2}}{\text{πm}_{e}e^{2}} = 8,9 \bullet 10^{- 12}\frac{6,62 \bullet 10^{- 68}}{3,14 \bullet 9,109 \bullet {1,602}^{2} \bullet 10^{- 31}10^{- 38}} = 5,32314 \bullet 10^{- 11}\left\lbrack m \right\rbrack = 0,532314\left\lbrack \mathring{\mathrm{A}} \right\rbrack$$

6 Wyznaczenie siły oddziaływania elektrostatycznego między protonem a elektronem:

F=1/ 4πε₀ *e^2/$a_{0}\hat{}2$

$$F_{e} = \frac{m_{e}^{2}\pi e^{6}}{4\varepsilon_{0}^{3}h^{4}} = \frac{{9,109}^{2} \bullet 3,14 \bullet {1,602}^{6 \bullet} \bullet 10^{- 62} \bullet 10^{- 114}}{4 \bullet {8,9}^{3} \bullet {6,62}^{4} \bullet 10^{- 36} \bullet 10^{- 136}} = 8,13 \bullet 10^{- 8}\left\lbrack N \right\rbrack$$

Wyznaczenie siły oddziaływania grawitacyjnego miedzy protonem a elektronem:

$$F_{g} = G\frac{m_{p}m_{e}^{3}\pi^{2}e^{4}}{\varepsilon_{0}^{2}h^{4}} = 6,67\frac{1,762 \bullet {9,109}^{3} \bullet {3,14}^{2} \bullet {1,602}^{4}}{{8,9}^{2} \bullet {6,62}^{4}}\frac{10^{- 11} \bullet 10^{- 93} \bullet 10^{- 27} \bullet 10^{- 76}}{10^{- 24} \bullet 10^{- 136}} = 1,35191 \bullet 10^{- 48}\left\lbrack N \right\rbrack$$

Zadanie 8.3

Zakładając, że powierzchnie gwiazd zachowują się tak jak ciała doskonale czarne, wyznaczyć a następnie obliczyć wartość temperatury T_S powierzchni Słońca i temperatury T_GP Gwiazdy Polarnej wiedząc, że długości fal promieniowania dla których funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum, w przypadku Słońca jest równa zaś Gwiazdy Polarnej . Wyznaczyć również a następnie obliczyć wartość gęstości strumienia emisji energii promieniowania tych gwiazd. Stała Wiena , stała Boltzmanna , Stała Plancka oraz prędkość światła w próżni .

$$T_{s} = \frac{\sigma_{w}}{\lambda_{\text{ms}}} = \frac{2,898 \bullet 10^{- 3}}{0,51 \bullet 10^{- 6}} = 5682,4\left\lbrack K \right\rbrack$$

$$\sigma = \frac{2\pi^{5}k^{4}}{15h^{3}h^{2}} = \frac{2 \bullet {3,14}^{5} \bullet {1,3806}^{4} \bullet 10^{\left( - 23 \right) \bullet 4}}{15 \bullet {6,626}^{3}{\bullet 3}^{2}10^{\left( - 34 \right) \bullet 3} \bullet 10^{16}} = 5,67 \bullet 10^{- 8}\left\lbrack \frac{J}{m^{2}sT^{4}} \right\rbrack$$

Zadanie 8.4

Wahadło składa się z ciężarka o masie m=0,01[kg] zawieszonego na nici o długości l=0,1[m].

Założono, że amplituda drgań wahadła jest taka, iż nić przy maksymalnym wychyleniu tworzy z pionem kąt α=0,1[rad]. Energia wahadła maleje w wyniku dyssypacji lepkiej. Określić, jaką częścią energii potencjalnej wahadła jest kwant energii tracony przez nić na skutek dyssypacji lepkiej wiedząc, że stała Plancka h=6,6262·10^-34 [J·s], zaś częstotliwość drgań wahadła określona jest związkiem :

$\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

gdzie

Zadanie 8.5

W eksplozji termojądrowej temperatura wybuchu wewnątrz kuli ognistej osiąga chwilową wartość T_k=10⁷ [K] Oblicz długość fali λ_m dla której funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ρ_T(λ) osiąga wartość maksymalną oraz wartość objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania i ciśnienie promieniowania p wewnątrz kuli ognistej. Stała Boltzmanna k= 1,3806·10^-23 [$\frac{J}{K}$], stała Plancka

, stała Wiena , prędkość światła w próżni .

W eksplozji termojądrowej temperatura wybuchu wewnątrz kuli ognistej osiąga chwilową wartość T_k=10⁷ [K] Oblicz długość fali λ_MAX dla której funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ρ_T(λ) osiąga wartość maksymalną oraz wartość objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ε_IV i ciśnienie promieniowania p wewnątrz kuli ognistej. Stała Boltzmanna k= 1,3806·10^-23 [$\frac{J}{K}$], stała Plancka

h=6,6262*10^-34 [Js], stała Wiena , prędkość światła w próżni .

1. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych stanów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

- w funkcji długości fali

- w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością:

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem:

Uwzględniając związek między długością fali elektromagnetycznej a jej częstotliwością w próżni:

otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od +d

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem:

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa:

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

zaś funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu częstotliwości fal jest równa:

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

Całka z funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określa objętościową gęstość zasobu energii promieniowania.

Przyjmując oznaczenie

otrzymano

3. Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

Przyrównując pochodną funkcji po długości fali do zera:

otrzymano równanie

Przyjmując oznaczenie:

powyższe równanie przyjmuje postać:

z którego wyznaczono wartość

x = 4,965

dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum zaś długość fali osiąga wartość:

4. Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla x = 4,965

otrzymano

Stąd

5. Wyznaczenie ciśnienia promieniowania

Relacja między unoszoną przez foton energia h a masą fotonu

stąd masa fotonu

Przyrównując fotony do cząsteczek gazu można przystosować wyrażenie określające ciśnienie cząsteczek gazu

do określenia ciśnienia promieniowanie

gdzie – średnia masa fotonu

Funkcja rozkładu zasobu energii promieniowania w polu dozwolonych stanów energetycznych równa jest:

Średni zasób energii oscylatora promieniowanie (fotonu) o częstotliwości ν dla wszystkich stanów energetycznych jest równy

Zatem funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania określona jest związkiem

=·=

zaś objętościowa gęstość zasobu energii wewnętrznej fotonów w pudle izotermicznym określona jest wyrażeniem

Całka z funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów w pudle izotermicznym po wszystkich długościach fal

równa jest objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów.

Zatem objętościowa gęstość zasobu energii wewnętrznej fotonów w pudle izotermicznym przyjmie postać

Podstawiając otrzymamy wynik do wyrażenia określającego ciśnienie promieniowania uzyskano równanie

które jest równaniem stanu gazu fotonowego

6. Obliczenie wartości długości fali λ_m

=$\frac{2,898 10^{3}}{10^{7}} = 2,898\left\lbrack A^{} \right\rbrack = 0,2898\left\lbrack \text{mm} \right\rbrack$

7. Obliczenie wartości objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej promieniowania

=β T⁴₌$\left( \frac{8\pi^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}} \right)T^{4} = \left( \frac{8 {3,14}^{5} {1.3806}^{4}}{15 {6.6262}^{3} 3^{3}}\frac{10^{34 \bullet 3}}{10^{23 \bullet 4} 10^{8 \bullet 3}} \right)10^{28} =$

$$= 0,075294 10^{14} = 7,5294 10^{12}\left\lbrack \frac{J}{m^{3}} \right\rbrack$$

_{8. Obliczenie wartości ciśnienia promieniowania wewnątrz kuli ognistej}

p=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3} 7,5294 10^{15}\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack = 2,5098 10^{6}\left\lbrack \text{MPa} \right\rbrack$

Zadanie 8.6

Zakładając, że temperatura powierzchni Słońca równa jest T_s=5700[K] oraz, że jego średnica wynosi D_s=1,4∙10⁹[m], zaś zasób masy m_s=2∙10³⁰[kg]. Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartości masy spoczynkowej traconej przez Słońce w ciągu sekundy, jak również określić jaką część swej masy traci Słońce w ciągu roku, jeżeli stała Stefana-Boltzmanna σ=5,67∙10^-8$\left\lbrack \frac{J}{m^{2}sK^{4}} \right\rbrack$

$$R_{T} = \text{\ σ}T^{4} = 5,67 \bullet 10^{- 8}{(5 \bullet 7)}^{2} = 59,853\ \bullet 10^{6}\ \left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

$$\dot{Q} = R_{T}\pi{D_{s}}^{2} = 59,853 \bullet 10^{6} \bullet 6,1544\ \bullet 10^{18} = 368,34 \bullet 10^{24}\ \left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$$

Q = σT⁴πD_s²τ = 368, 34 • 10²⁴[J]

$$\overset{\overline{}}{m_{\text{fs}}} = \frac{\sigma T^{4}\pi{D_{s}}^{2}\tau}{c^{2}} = \frac{368,34 \bullet 10^{24}}{9 \bullet 10^{16}} = 4,093 \bullet 10^{9}\left\lbrack \text{kg} \right\rbrack = \ 4,093 \bullet 10^{6}\lbrack T\rbrack$$

τ_r = 3600 • 24 • 365 = 3, 13536 • 10⁷[s]

Zatem

$$P_{\tau}\% = \frac{\overset{\overline{}}{m_{\text{fs}}}\tau_{r}}{m_{s}} \bullet 100\% = \frac{4,095 \bullet 10^{9} \bullet 3,1536 \bullet 10^{7}}{2 \bullet 10^{30}} \bullet 100\% = 6,457 \bullet 10^{- 12}\ \%$$

Zadanie 8.7

Dla jakiej długości fali _m funkcja rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania R_T (λ) osiąga maksimum i jaka jest jej wartość dla źródła promieniowania o temperaturze T=6000 [K]. Stała Plancka h=6,6262⋅10^-34[J⋅s] , stała Wiena stała Boltzmanna k=1,3806⋅10^-23 [$\frac{J}{K}$] , prędkość światła w próżni . Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fali λ_m oraz gęstość strumienia emisji energii promieniowania dla rozważanego źródła promieniowania.

$$R_{T}\left(_{m} \right) = \frac{2hc^{2}}{{_{m}}^{5}\lbrack\exp\left( \frac{\text{hc}}{_{m}\text{kT}} \right) - 1\rbrack}$$

Uwzględniając prawo przesunięć Wiena

_mT=_w

otrzymano

$$R_{T}\left(_{m} \right) = \frac{2hc^{2}}{{_{m}}^{5}\lbrack\exp\left( \frac{\text{hc}}{_{w}k} \right) - 1\rbrack} = \frac{23,146,62623^{2}10^{- 18}10^{30}}{{0,483}^{5}\lbrack\exp\left( \frac{6,6262310^{- 26}10^{3}10^{23}}{2,8981,3806} \right) - 1\rbrack} = 99,769610^{12} = 99769,610^{9}\ \ \lbrack\frac{J}{m^{3}s}\frac{1}{m}\rbrack$$

$$R_{T} = \ T^{4} = 5,6710^{- 8}\ 6000^{4} = 74908800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \lbrack\frac{J}{m^{2}s}\rbrack$$

Zadanie 8.8

W ściance pudła izotermicznego o temperaturze T=6000 [K] wywiercono otwór o średnicy d=10 [mm]. Obliczyć gęstość strumienia emisji energii promieniowania oraz strumień emisji energii promieniowania w zakresie przedziału fal od λ₁=5500 [Å] do λ₂=5510 [Å] emitowanych przez wywiercony otwór, wiedząc, że stała Stefana Boltzmanna σ=5,67∙10^-8 $\left\lbrack \frac{J}{m^{2}sK^{4}} \right\rbrack$, stała Plancka h=6,6262∙10^-34[J∙s], stała Boltzmanna k=1,3806∙10^-23$\left\lbrack \frac{J}{K} \right\rbrack$.

⋌ = ⋌₂ − ⋌₁ = 551 − 550 = 1 [nm] = 10⁻⁹[m] 

$\rightthreetimes_{sr} = \rightthreetimes_{1} + \frac{\rightthreetimes}{2} = 550 + \frac{1}{2} = 550,5\ \left\lbrack \text{nm} \right\rbrack = 0,5505 \bullet 10^{- 6}\lbrack m\rbrack$

$R_{T} = R_{T}\left( \rightthreetimes_{sr} \right) \rightthreetimes = \frac{2\pi hc^{2}}{\rightthreetimes_{sr}^{5}\left( \exp\left( \frac{\text{hc}}{\rightthreetimes_{sr}\text{kT}} \right) - 1 \right)}\Delta \rightthreetimes$

$\frac{2\pi hc^{2}}{\rightthreetimes_{sr}^{5}}\Delta \rightthreetimes = \frac{2 \bullet 3,14 \bullet 6,626 \bullet 3^{2} \bullet 1 \bullet 10^{- 34} \bullet 10^{16} \bullet 10^{30} \bullet 10^{- 9}}{{0.5505}^{5}} = 7411,4 \bullet 10^{3}$

$\frac{\text{hc}}{\rightthreetimes_{sr}\text{kT}} = \frac{6,626 \bullet 3 \bullet 10^{- 34} \bullet 10^{8} \bullet 10^{6} \bullet 10^{23} \bullet 10^{- 3}}{0,5505 \bullet 1,3806 \bullet 6} = 4,35923$

$\exp\left( \frac{\text{hc}}{\rightthreetimes_{sr}\text{kT}} \right) - 1 = 78,1969 - 1 = 77,1969$

Zatem wartość przyrostu gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie przedziału długości fal od ⋌₁ do ⋌₂

$R_{T} = \frac{7411,4 \bullet 10^{3}}{77,1969} = 96,006 \bullet 10^{3}\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$

$\Delta\dot{Q} = \Delta R_{T} \bullet A = 96,006 \bullet 10^{3} \bullet \frac{3,14 \bullet 1 \bullet \left( 10^{- 2} \right)^{2}}{4} = 96,006 \bullet 10^{3} \bullet 7,85 \bullet 10^{- 5} = 7,54\left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$

Zadanie 8.9

Dla wnęki reprezentujące ciało doskonale czarne o określonej temperaturze, długość fali równa jest . Jaka będzie długość fali jeżeli wartość temperatury ścianki wnęki wzrośnie tak, że wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania zwiększy się dwukrotnie. Oblicz ponadto temperatury ciała doskonale czarnego dla długości fal i wiedząc, że stała Wiena .

λ_m2=${(0,5)}^{\frac{1}{5}}\lambda_{m_{1}}$=0,870531•0,65•10⁻³=0,565858·10⁻⁶ [m]=

=565,858 [nm]

$T_{1} = \frac{}{\lambda_{m_{1}}}$=$\frac{2,898 \bullet 10^{- 3}}{0.65}10^{6}$=4458,46 [K]

$T_{2} = \frac{}{\lambda_{m_{2}}}$=$\frac{2,898 \bullet 10^{- 3}}{0,565858}10^{6}$=5121,93 [K]

Zadanie 8.10

Dla jakiej długości fali λ_m przypada maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ε_λ (λ) = ρ_T (λ) dla ciała ludzkiego. Jaka jest wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania R_T(λ_m) oraz gęstość strumienia emisji promieniowania R_T dla ciała ludzkiego wiedząc, że stała Stefana-Boltzmanna oraz stała Wiena .

λ_m== [m]

R_T

Zadanie 8.11

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości energii cieplnej wypromieniowanej w przedziale czasu Δτ =2[h] przez ciało doskonale czarne o temperaturze T=1000 [K] i o powierzchni emisji A=0,1 [m²] w paśmie długości fal od λ₁=0,65[μm] do λ₂=0,7[μm].Stała Plancka .Stała Boltzmanna prędkość światła w próżni c≈3∙10⁸

$$\lambda_{sr} = \frac{\lambda_{1} + \lambda_{2}}{2} = \frac{650 + 700}{2} = 675\ \ \left\lbrack \text{nm} \right\rbrack$$

$$R_{T}\left( \lambda_{sr} \right) = \frac{2\pi hc^{2}}{{\lambda_{sr}}^{5}(exp\left( \frac{\text{hc}}{\lambda_{sr}\text{kT}} \right) - 1)} = = \frac{2 \bullet 3,14 \bullet 6,6262 \bullet 3^{2} \bullet 10^{16} \bullet 10^{30}}{{0,675}^{5}\left( \exp\left( \frac{6,6262 \bullet 3}{675 \bullet 1,3806} \bullet \frac{10^{23} \bullet 10^{9} \bullet 10^{8}}{10^{3} \bullet 10^{34}} \right) - 1 \right) \bullet 10^{34}} = = 1,45529 \bullet 10^{6}\text{\ \ }\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s}\frac{1}{m} \right\rbrack$$

Δλ = λ₂ − λ₁ = 0, 7 − 0, 65 = 0, 05  [μm]

$$R_{T} = R_{T}\left( \lambda_{sr} \right) \bullet \Delta\lambda = 1,45529 \bullet 10^{6} \bullet 50 \bullet 10^{- 9} = 0,072765\ \ \left\lbrack \ \frac{J}{m^{2}s}\ \right\rbrack$$

$$\dot{Q} = R_{T} \bullet A = 0,072765 \bullet 0,1 = 7,2765 \bullet 10^{- 3}\text{\ \ }\left\lbrack \ \frac{J}{s}\ \right\rbrack$$

ΔQ = R_T • A • Δτ = 7, 2765 • 10⁻³ • 7200 = 52, 3904  [ J ]

Zadanie 8.12

W początkowym stadium ewolucji Wszechświat wypełniony był promieniowaniem o bardzo wysokiej temperaturze. Ponieważ Wszechświat rozszerza się adiabatycznie zatem temperatura promieniowania spada. Obecnie wartość temperatury we Wszechświecie szacowana jest na T=2,8[K].Wyznaczyć a następnie obliczyć promień i objętość Wszechświata przyjmując oszacowanie ,że gdy promień Wszechświata w stanie początkowym był równy r_o = 10⁹[m] (porównywalny z promieniem Słońca), jego temperatura wynosiła T₀=10 ¹⁷ [K].

r= r₀₌ •10 ⁹= •10²⁵ =3,57143 •10²⁵[m]

V= ()³ •πr³₀ = (10/2.8)³ •10⁴⁸ • 4/3 • 3.14•10²⁷=

= 3,57143³ • 4,18879 •10⁷⁵=

=45,5539 • 4,18879 •10⁷⁵ [m³ ] =

=1,90816 •10⁶⁸[km³]

Zadanie 8.13

Wykorzystując równanie stanu gazu fotonowego wyznaczyć a następnie obliczyć wartości objętościowej gęstości zasobu energii wewnętrznej promieniowania oraz ciśnienia promieniowania dla temperatur T_s= 6000[K]

oraz T=10⁷[K]. Stała Plancka

Stała Boltzmanna , prędkość światła w próżni

Objętościowa gęstość zasobu energii wewnętrznej promieniowania określona jest związkiem

ℰ_IV =  βT⁴

gdzie

$\beta = \sigma\frac{4}{c} = \frac{8^{5}k^{4}}{15h^{3}c^{3}} = \frac{8 \bullet {3,14}^{5} \bullet {1,38}^{4}}{15 \bullet {6,6262}^{3} \bullet 3^{3}} \bullet \frac{10^{34 \bullet 3}}{10^{23 \bullet 4} \bullet 10^{8 \bullet 3}} = 7,56 \bullet 10^{- 16}\lbrack\frac{J}{m^{3}K^{4}}\rbrack$

$= \ \beta T^{4} = 7,56 \bullet 10^{- 16} \bullet 6^{4} \bullet 10^{12} = 0,98\lbrack\ \frac{J}{m^{3}}\rbrack$

p=$= \ \frac{1}{3} \bullet 0,98 = 0,33\left\lbrack \text{Pa} \right\rbrack \approx 3 \bullet 10^{- 6}\lbrack\text{at}\rbrack$

$= \ \beta T^{4} = 7,56 \bullet 10^{- 16} \bullet 10^{28} = 7,56 \bullet 10^{12}\lbrack\frac{J}{m^{3}}\rbrack$

p==2, 52 • 10¹²[Pa] ≈ 2, 5 • 10⁷[at]

Zadanie 8.14

Ponieważ całkowity zasób energii na powierzchni Ziemi jest prawie stały, zatem promieniowanie absorbowane przez Ziemię równoważne jest emitowanemu.

Przyjmując iż temperatura Słońca równa jest T_s = 5750[K] wyznaczyć a następnie obliczyć wartość gęstości strumienia emisji energii promieniowania słonecznego na powierzchni Słońca R_Ts  oraz na powierzchni Ziemi R_Tsz, strumień energii promieniowania słonecznego padający na Ziemie ${\dot{\text{Qs}}}_{z}$ oraz emitowany przez Ziemie ${\dot{Q}}_{z}$ , średnią dobową temperaturę powierzchni Ziemi T_z oraz produkcję entropii na powierzchni Ziemi wiedząc że:

Stała Stefana-Boltzmanna

Promień Słońca r_S = 7 • 10⁸[m]

odległość Ziemi od Słońca r_ZS=1,496∙10¹¹[m],

oraz promień Ziemi r_z = 6, 37 • 10⁶[m]

1. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Słońca

Uwzględniając prawo Stefana – Boltzmana promieniowanie ciała doskonale czarnego którym jest Słońce, wyznaczono gęstość strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Słońca

$$R_{\text{Ts}} = \sigma \bullet {T_{s}}^{4}\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

2. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania słonecznego na powierzchni Ziemi

$${\dot{Q}}_{s} = R_{\text{Ts}} \bullet S_{S} = R_{\text{Tsz}} \bullet S_{\text{oz}} = const$$

z którego po uwzględnieniu prawa Stefana – Boltzmana wyznaczono gęstość strumienia energii emisji promieniowania słonecznego padającego na Ziemię

$$R_{\text{Tsz}} = \frac{S_{S}}{S_{\text{oz}}}{\bullet R}_{\text{Ts}} = \frac{4\pi{r_{S}}^{2}}{4\pi{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4} = \frac{{r_{S}}^{2}}{{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4}\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

3. Wyznaczenie strumienia energii promieniowania słonecznego padającego na powierzchnię Ziemi.

S_obz = π • r_z²

Zatem strumień promieniowania słonecznego absorbowany przez Ziemię jest równy:

$${\dot{Q}}_{\text{sz}} = R_{\text{Tsz}} \bullet S_{\text{obz}} = \pi{{\bullet r}_{z}}^{2} \bullet \frac{{r_{S}}^{2}}{{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4}\left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$$

4. Oszacowanie strumienia energii promieniowania powierzchni Ziemi

$${\dot{Q}}_{z} = {\dot{Q}}_{\text{sz}} = \pi{{\bullet r}_{z}}^{2} \bullet \frac{{r_{S}}^{2}}{{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4}\left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$$

5. Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Ziemi

Powierzchnia kuli ziemskiej jest równa S_z = 4π•r_z² zatem gęstość strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Ziemi wyrażona jest związkiem:

$$R_{\text{Tz}} = \frac{{\dot{Q}}_{Z}}{S_{z}} = \frac{1}{4} \bullet \frac{{r_{S}}^{2}}{{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4} = \frac{1}{4} \bullet R_{\text{Tsz}}$$

6. Wyznaczenie średniej dobowej temperatury powierzchni Ziemi

Znając wartość gęstości strumienia emisji energii promieniowania Ziemi R_Tz

wyznaczono z równania Stefana – Boltzmana promieniowania ciała doskonale czarnego

R_Tz = σ * T_z⁴

wartość średniej dobowej temperatury powierzchni Ziemi

$$T_{z} = \sqrt[4]{\frac{R_{\text{Tz}}}{\sigma}}$$

7. Wyznaczenie produkcji entropii na powierzchni Ziemi

Zakładając że wartość średniej dobowej temperatury powierzchni jest stała

T_z = const

zgodnie z drugą zasadą termodynamiki elementarny przyrost zasobu entropii na powierzchni Ziemi jest równy

$$dS_{z} = \frac{\delta Q_{z}}{T_{z}}$$

Produkcja entropii na powierzchni Ziemi równa jest jej strumieniowi

$${\dot{S}}_{z} = \frac{\text{dS}_{z}}{\text{dτ}} = \frac{\frac{\delta Q_{\text{sz}}}{\text{dτ}}}{T_{z}} = \frac{{\dot{Q}}_{\text{sz}}}{T_{z}} = \text{\ π}{r_{z}}^{2}\frac{{r_{S}}^{2}}{{{T_{z}r}_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4}\left\lbrack \frac{J}{\text{sK}} \right\rbrack$$

8. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Słońca

$$R_{\text{Ts}} = \sigma \bullet {T_{s}}^{4} = 5,6 \bullet 10^{- 8} \bullet \left( 5,75 \right)^{4} \bullet 10^{12} = 61,203 \bullet 10^{6}\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

9. Obliczenie wartości gęstości strumienia energii promieniowania słonecznego na powierzchni Ziemi

$$R_{\text{Tsz}} = \frac{{r_{S}}^{2}}{{r_{\text{Sz}}}^{2}} \bullet \sigma \bullet {T_{S}}^{4} = \frac{7^{2}}{{1,496}^{2}} \bullet 61,203 \bullet 10^{16} \bullet 10^{- 22} \bullet 10^{6} = 1340\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

10. Obliczenie wartości strumienia energii promieniowania padającego na powierzchnię Ziemi

$${\dot{\text{Qs}}}_{z} = R_{\text{Tsz}} \bullet S_{\text{obz}} = 1340 \bullet 3,14{\bullet {6,37}^{2}\ \bullet \ 10}^{12} = 170,73 \bullet 10^{15}\left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$$

11. Oszacowanie wartości strumienia energii promieniowania powierzchni Ziemi

$${\dot{Q}}_{z} = {\dot{Q}}_{\text{sz}} = 170,73 \bullet 10^{15}\left\lbrack \frac{J}{s} \right\rbrack$$

12. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania powierzchni Ziemi

$$R_{\text{Tz}} = \frac{1}{4}R_{\text{Tsz}} = \frac{1}{4}1340 = 335\left\lbrack \frac{J}{m^{2}s} \right\rbrack$$

13. Obliczenie średniej dobowej temperatury powierzchni Ziemi

$$T_{z} = \sqrt[4]{\frac{R_{\text{Tz}}}{\sigma}\ } = \sqrt[4]{\frac{335}{5,6} \bullet 10^{8}} = 278,1\lbrack K\rbrack$$

14. Obliczenie wartości produkcji entropii na powierzchni Ziemi

$${\dot{S}}_{z} = \frac{{\dot{Q}}_{\text{sz}}}{T_{z}} = \ \frac{170{\bullet 10}^{15}}{278,1} = 0,61392{\bullet 10}^{15}\left\lbrack \frac{J}{\text{sK}} \right\rbrack$$

Zadanie 8.15

Wyznaczyć, a następnie obliczyć wartość maksymalną funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania ε_λ (λ)=ρ_T (λ), objętościową gęstość zasobu energii promieniowania , oraz wartość maksymalną funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania R_T(λ) dla źródła temperatury T_S=6000[K], jak również gęstość strumienia emisji promieniowania w zakresie długości fal od λ₁=0,75[] do λ₂=0,8[].

Stała Plancka h= 6, 626210^-34 [ Js] Stała Boltzmanna

prędkość światła stała Wiena σ_w = 2,89810^-3[mK], =7.5610^-16[]

= ==483[nm]=0,483[m]

λ_śr =(λ₂ +λ₁) 0,5 =

R_T(λ_śr)==

Δλ=λ₂ -λ₁=0,8-0,75=0,05[m].

R_T=R_T(λ_śr) Δλ=