STATYKA

1. Postulaty statyki:

1. postulat – równoległoboku – jak dodawać siły. 2 siły P₁ i P₂ dodaje się, że ich suma jest wektorem utworzonym z przekątnej równoległoboku R= √P₁² + P₂² + 2P₁P₂cosα jeżeli mamy więcej niż dwie siły dodajemy je za pomocą wielokątów

2. postulat – dwie siły działające na ciało sztywne pozostają w równowadze, jeśli działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości i są przeciwnie skierowane – tworzą układ zerowy

3. postulat – jeżeli na ciało działa pewien układ sił to jego działanie nie ulega zmianie przez dodanie lub odjęcie zerowego układu sił. Siła jest wektorem przesuwnym, można go przesuwać wzdłuż jego kierunku.

4. postulat – zesztywnienia – układ sił przyłożonych do ciała odkształcalnego nie zmienia się (jego działanie się nie zmienia) po zesztywnieniu tego ciała

5. postulat – akcji i reakcji – każdemu działaniu towarzyszy leżące na tej samej prostej, przeciwnie skierowane i o tej samej wartości przeciwdziałanie

6. postulat – oswobodzenie od więzów – każde ciało nieswobodne na które działa układ sił zew. – czynnych można myślowo oswobodzić od więzów zastępując ich działanie siłami reakcji więzów. Dalej rozpatrujemy ciało jako poddane działaniu sił czynnych i reakcji wiązów.

2. Układy sił:

1. zbieżne – kierunki wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie

2. równoległe – siły są do siebie równoległe

3. dowolne

3. Tw. o trzech siłach:

Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w równowadze wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki tworzą trójkąt zamknięty.P₁=P₂+P₃

4. Moment sił względem punktu: M_o=r∙F

5. Moment sił względem osi:

M=r∙P , moment ten jest wektorem swobodnym do płaszczyzny π czuli ma kierunek prostej l

6. Tw. Varignona:

Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu ∑ⁿ_i=1r∙∑P_i=r∙W

7. Para sił:

Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do wielkości, przeciwnie skierowanych P₁+P₂=0

8. Redukcja dowolnego układu płaskiego:

Redukcja układu polega na wyznaczeniu wektora głównego oraz momentu głównego R=∑ⁿ_i=1P_i M_o=∑ⁿ_i=1M_i

9. Kratownice

Kratownicą nazywamy układ sztywno nieważkich prętów połączonych przegubowo. Kratownica ma zastąpić ciało sztywne, kratownice obciążamy zawsze w więzach, siły muszą działać wzdłuż pręta. Kratownica musi spełniać warunek sztywności p=2w-3 gdzie p – ilość prętów, w – ilość więzów. Musi byś kinematycznie niezmienna. Metody rozwiązywania kratownic: węzłów – polega na rozpatrywaniu poszczególnych węzłów, Rittera – pozwala obliczyć siły w wybranych prętach.

10. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił:

Każdą siłę działającą na ciało sztywne możemy sprowadzić do dowolnego punktu O przekładając parę sił o momencie równym momentowi siły wzg. punktu O R=P₁+P₂+…+P_n=∑P_i , M_o=M_1o+M_2o+…+M_no=∑M_io

11. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne:

Nie można projektować kratownic aby pręt leżał w jednej linii łączone przegubowo – układ statycznie niewyznaczalny.

KINEMATYKA

1. Opis ruchu

Aby zbadać ruch musimy to sprawdzić względem jakiegoś punktu odniesienia. Ruch jest to zmiana położenia w czasie. r – wektor położenia (początek w początku ukł. A koniec wodzi za punktem) r=xi+yj+zk Współrzędne zmieniają się w czasie więc są funkcjami czasu x=x(t) y=y(t) z=z(t). Krzywa po której porusza się punkt to tor ruchu, jest to krzywa przestrzenna.

2. Prędkość

v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’ prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze jest wektorem v=x’i+y’j+z’k v=√(x’)²+(y’)²+(z’)²

3. Przyspieszenie

a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru chyba że jest linią prostą v=x’’i+y’’j+z’’k v=√(x’’)²+(y’’)²+(z’’)²

4. Naturalny układ współrzędnych:

Płaszczyzna styczna do krzywej w punkcie A to każda płaszczyzna zawierającą styczną do tej krzywej w punkcie. Płaszczyzna ściśle styczna jest to płaszczyzna do której dąży płaszczyzna styczna A₁ równoległa do stycznej do krzywej w punkcie A gdy punkt A₁ dąży do A.

Płaszczyzna normalna do stycznej w punkcie A jest to płaszczyzna zawierająca wszystkie proste prostopadłe do stycznej do tej krzywej w tym punkcie. Na przecięciu pł. normalnej i pł. stycznej leży linia normalna główna.

Płaszczyzna prostująca to pł. prostopadła do pł. normalniej pł. ściśle stycznej zawierającej punkt A.

5. Przyspieszenie styczne i normalne:

a_s=dv/dt – przyspieszenie styczne

a_n=v²/ρ – przyspieszenie normalne

6. Droga: s=∫^t2_t1Vdt

7. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t)

10. Przyspieszenie Coriolisa

Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i prędkości względem punktu A. p_c=2ω×v_r. Przyspieszenie Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty i postępowy (ω= zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora prędkości względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.

11. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:

l. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno związana z tą bryłą zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie swobody).

2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły są nieruchome, prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1 stopień swobody).

3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły płaszczyzną zajmuje położenie równoległe i jest równoległy do pewnej stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 stopnie swobody).

4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła nieruchomego punktu bryły (3 stopnie swobody).

5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego.

12. Ruch postępowy bryły sztywnej:

v=dr_o/dt=v_o a=d²r_o/dt²=dv_o/dt=a_o

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same prędkości v_o i przyśpieszenia a_o w tej samej chwili czasu.

- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.

- dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O’.

13. Ruch obrotowy bryły:

ω=dφ/dt ε=dω/dt=d²φ/dt² v=ω×r’ a=ε×r’+ω×(ω×r’)

a=ε×r’+ω(ω∙r’)-ω²r’

14. Ruch płaski bryły:

v=v_o+ω×r’ a=a_o+ε×r’+ω(ω∙r’)-ω²r’

Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe.

Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu możemy znaleźć prędkość punktów posługując się wzorem v=ω×CA. Wektor prędkości kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.

15. Ruch złożony bryły

Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem nieruchomego układu.

Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu względem ruchomego układu współrzędnych.

Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno związanego z układem ruchomym obserwowanym względem nieruchomego układu.

v=v_u+v_w

v_u=v_o+ω×r’

a=a_u+a_w+a_c

a_u=a_o+ε×r’+ω×(ω×r’)

a_c=2ω×v_w

DYNAMIKA

1. Prawa Newtona:

I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma.

III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty i są przeciwnie skierowane.

IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych sił.

V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach m₁ i m₂ przyciągają się z siłą wprost

proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. F=k m₁m₂/r²

2. Pierwsze i drugie zagadnienie dynamiki

1 polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste dynamiki. F=m d²r/dt²

2 polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu nieznanej siły. Zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą – zagadnienie odwrotne dynamiki. m d²r/dt²=F(t,r,v)

3. Zasada d’Alamberta:

Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny jest w każdej chwili równa zeru.

F+(-ma)=0

4. Dynamiczne równania ruchu punktu:

a=dv/dt e_s +v²/ρ e_n

e_s=m dv/dt

e_n=m v²/ρ

e_b=e_s×e_n

5. Drgania:

Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω²=k/m → x’’+ ω²x=0

x=Asinω_ot gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu t, A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak wymuszenia.

Drgania tłumione mx’’+βx’+kx=0 ; x’’+β/m x’+k/m x=0 ; β/m = 2u ; k/m=ω²

Drgania słabo tłumione(u<ω).Okres drgań jest dłuższy od okresy drgań nie tłumionych zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej. Drgania tłumione nie są drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione (u>ω) drgania tłumione są drganiami aperiodycznymi dla tych drgań wychylenie maleje wykładniczo z czasem. Tłumienie krytyczne (u=ω).

Drgania wymuszone mx’’+kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły wymuszającej, H- amplituda wymuszenia;

x’’+k/m x=H/m sinpt; x’’+ω²x=hsinp

p<ω – wówczas przesunięcie fazowe dąży do 0 i mówimy że częstość siły wymuszającej jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą

p>ω – przesunięcie fazowe dąży do –π i wychylenia drgań harmonicznych zależy od masy ciała wykonującego drgania

p=ω – przesunięcie fazowe dąży do π/2 i zachodzi zjawisko rezonansu.

6. Pęd punktu

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn masy punktu i jego prędkości: p=mv

Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt → m dv/dt=F ; m=const. d/dt (mv)=F → dp/dt=F.

Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-p(0)=∫^t₀Fdt

Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na ten układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.

7. Kręt punktu

Krętem k_o punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu p=mv tego punktu materialnego względem punktu O: k_o=r×p=r×mv.

Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego samego punktu. dk_o/dt=M_o

Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli M_o=0 to k₀=const.

8. Praca mechaniczna

Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą układu sił do rozpatrywanego układu materialnego w czasie jego ruchu. dL=Pdr – praca elementarna L_AB=∫_ABPdr=∫_AB(FxdxFydyFzdz) – praca wykonana pomiędzy punktami krzywej

9. Moc

Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt: N=dL/dt.

Moc jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu przyłożenia. N=P∙v

Moc układu sił działających na bryłę sztywną: moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna i prędkości kątowej. N=W∙v_o+M_o∙ω.

10. Zasada równoważności pracy i en. kinetycznej

Przyrost energii kinetycznej układu na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) i wewnętrznych działających na punkty układu na tym przesunięciu. L+L*=E₂-E₁

Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równa sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu. L=E₂-E₁

11. Pole sił

Jest to przestrzeń o takiej własności że na dowolnie umieszczony w niej punkt materialny działa ściśle określona siła zależna tylko od położenia punktu.

14. Zasada zachowania energii

Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. E+U=const.

15. Twierdzenie o ruchu środka układu punktów materialnych

Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne. ma_c=W lub mv_c(t)-mv_c(0)= ∫^t₀Wdt

16. Pęd UPM

Q=Σⁱ⁼ⁿ_i=1m_iv_i dQ/dt=ΣP_i – Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na punkty tego układu.

Q=d/dt (mr_c)=mv_c – pęd układu punktów materialnych równy jest iloczynowi masy całkowitej układu i prędkości jego środka masy.

17. Kręt UPM

Nazywamy sumę geometryczną momentów pędu wszystkich punktów materialnych należących do rozpatrywanego układu. K_o=Σr_i×m_iv_i

Kręt ciała materialnego względem odi obrotu róny jest iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej ciala. K_z=I_z ω

Pochodna względem czasu krętu upm względem środka masy równa jest sumie geometrycnaej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tegoż środka. dK_c/dt=ΣM_ic

18. En. kinetyczna UPM

Nazywamy sumę energii kinetycznych wszystkich jego punktów T=Σⁱ⁼ⁿ_i=1(m_iv²_i)/2

19. Geometria mas

Środek masy- punkt geometryczny względem którego obliczany moment statyczny wynosi 0.

Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy wektor będący sumą iloczynów mas tych punktów i ich promieni – wektorów

S = Σ m _i r _i bryła: S = ∫_m rdm, S= r_cM r_c- promień do środka masy, M - masa

20. Zasada Dirichleta

Gdy układ materialny znajduje się w zachowawczym polu sił, wówczas położenie w którym energia potencjalna osiąga minimum jest położeniem równowagi trwałej.

21. Zasada Torricellego

dla pola grawitacyjnego położenie w którym środek masy nieswobodnego układu materialnego o więzach idealnych znajdującego się w jednorodnym polu sił ciężkości osiąga minimalne wzniesienie na wybrany poziom jest położeniem równowagi trwałej.

22. Twierdzenie Koeniga

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu. E = ½ mv_c² + ½ Σ m _i v_wi²

23. Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami.

I _z = I _xx + I _yy = I _z’ + md² ,( I_l = I₀ = md² )

Momenty bezwładności względem punktu

I _xx =∫ x² dm

I _yy =∫ y² dm

I _zz =∫ z² dm

Momenty bezwładności względem osi

I _x =∫ (y² + z² ) dm = I _yy + I _zz

I _y =∫ (x² + z² ) dm = I _xx + I _zz

I _z =∫ (x² + y² ) dm = I _xx + I _yy

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych kartezjańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

I _xy = I _yx = ∫ xy dm

I _yz = I _zy = ∫ yz dm

I _zx = I _xz = ∫ zx dm

MECHANIKA ANALITYCZNA

1. Stopnie swobody

S=3n-k gdzie k-ilość więzów działających na obiekt, n-ilość punktów, które w sposób jednoznaczny modelują konstrukcję.

2. Więzy

Więzy są to ograniczenia ruchu ciał

Rodzaje więzów:

skleronomiczne lub reonomiczne (ze względu na czas)

geometryczne i kinematyczne (ze względu na prędkość)

holonomiczne i nieholonomiczne

jednostronne i dwustronne

idealne i nieidealne (ze względu na opory)

3. Przesunięciem przygotowanym punktu swobodnego jest każde przesunięcie tego punktu.

Przemieszczeniem przygotowanym swobodnego ciała sztywnego jest każde przesunięcie postępowe, każdy obrót lub każdy skręt chwilowy. Przesunięcie przygotowane jest nieskończenie małe, dowolne, zgodne z więzami, rzeczywiste

δr = δxi + δyj + δzk

4. Zasada prac przygotowanych - wirtualnych

Pracę elementarną siły P na przygotowanym przesunięciu jej punktu przyłożenia nazywamy pracą przygotowaną δL = Pδr

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym układu była równa zeru.

5. Siła uogólniona

Q_j=∑ⁱ⁼ⁿ_i=1(P_ix ∂x_i/∂q_j + P_iy ∂y_i/∂q_j + P_iz ∂z_i/∂q_j) j=1,2,…s Wielkości Q₁,Q₂,…Q_s noszą nazwę sił uogólnionych odpowiadających współrzędnym uogólnionym q₁,q₂…q_s

6. Równanie Lagrange’a II rodzaju

Są to równania różniczkowe ruchu układu materialnego o węzłach idealnych, holonomicznych i nie zawierają niewiadomych reakcji więzów. d/dt (∂T/∂q’_j)- ∂T/∂q_j=Q_j

L=T-V – funkcja Lagrange’a, q’ – prędkość uogólnina

W zachowawczym polu sił: d/dt (∂T/∂q’_j)- ∂T/∂q_j= ∂V/∂q_j