STATYKA
1. Postulaty statyki:
1. postulat – równoległoboku – jak dodawać siły. 2 siły P

1

i P

2

dodaje się,

że ich suma jest wektorem utworzonym z przekątnej równoległoboku R=
√P

1

2

+ P

2

2

+ 2P

1

P

2

cosα jeżeli mamy więcej niż dwie siły dodajemy je za

pomocą wielokątów
2. postulat – dwie siły działające na ciało sztywne pozostają w
równowadze, jeśli działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości i
są przeciwnie skierowane – tworzą układ zerowy
3. postulat – jeżeli na ciało działa pewien układ sił to jego działanie nie
ulega zmianie przez dodanie lub odjęcie zerowego układu sił. Siła jest
wektorem przesuwnym, można go przesuwać wzdłuż jego kierunku.
4. postulat – zesztywnienia – układ sił przyłożonych do ciała
odkształcalnego nie zmienia się (jego działanie się nie zmienia) po
zesztywnieniu tego ciała
5. postulat – akcji i reakcji – każdemu działaniu towarzyszy leżące na tej
samej prostej, przeciwnie skierowane i o tej samej wartości
przeciwdziałanie
6. postulat – oswobodzenie od więzów – każde ciało nieswobodne na
które działa układ sił zew. – czynnych można myślowo oswobodzić od
więzów zastępując ich działanie siłami reakcji więzów. Dalej rozpatrujemy
ciało jako poddane działaniu sił czynnych i reakcji wiązów.
2. Układy sił:
1. zbieżne – kierunki wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie
2. równoległe – siły są do siebie równoległe
3. dowolne
3. Tw. o trzech siłach:
Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w
równowadze wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki
tworzą trójkąt zamknięty.P

1

=P

2

+P

3

4. Moment sił względem punktu: M

o

=r∙F

5. Moment sił względem osi:
M=r∙P , moment ten jest wektorem swobodnym do płaszczyzny π czuli ma
kierunek prostej l
6. Tw. Varignona:
Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest
równa momentowi wypadkowej tego układu względem punktu
∑

n

i=1

r∙∑P

i

=r∙W

7. Para sił:
Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do
wielkości, przeciwnie skierowanych P

1

+P

2

=0

8. Redukcja dowolnego układu płaskiego:
Redukcja układu polega na wyznaczeniu wektora głównego oraz momentu
głównego R=∑

n

i=1

P

i

M

o

=∑

n

i=1

M

i

9. Kratownice
Kratownicą nazywamy układ sztywno nieważkich prętów połączonych
przegubowo. Kratownica ma zastąpić ciało sztywne, kratownice obciążamy
zawsze w więzach, siły muszą działać wzdłuż pręta. Kratownica musi
spełniać warunek sztywności p=2w-3 gdzie p – ilość prętów, w – ilość
więzów. Musi byś kinematycznie niezmienna. Metody rozwiązywania
kratownic: węzłów – polega na rozpatrywaniu poszczególnych węzłów,
Rittera – pozwala obliczyć siły w wybranych prętach.
10. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił:
Każdą siłę działającą na ciało sztywne możemy sprowadzić do dowolnego
punktu O przekładając parę sił o momencie równym momentowi siły wzg.
punktu O R=P

1

+P

2

+…+P

n

=∑P

i

, M

o

=M

1o

+M

2o

+…+M

no

=∑M

io

11. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne:
Nie można projektować kratownic aby pręt leżał w jednej linii łączone
przegubowo – układ statycznie niewyznaczalny.

KINEMATYKA
1. Opis ruchu
Aby zbadać ruch musimy to sprawdzić względem jakiegoś punktu
odniesienia. Ruch jest to zmiana położenia w czasie. r – wektor położenia
(początek w początku ukł. A koniec wodzi za punktem) r=xi+yj+zk
Współrzędne zmieniają się w czasie więc są funkcjami czasu x=x(t) y=y(t)
z=z(t). Krzywa po której porusza się punkt to tor ruchu, jest to krzywa
przestrzenna.
2. Prędkość
v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’ prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze
jest wektorem v=x’i+y’j+z’k v=√(x’)

2

+(y’)

2

+(z’)

2

3. Przyspieszenie
a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru
chyba że jest linią prostą v=x’’i+y’’j+z’’k v=√(x’’)

2

+(y’’)

2

+(z’’)

2

4. Naturalny układ współrzędnych:
Płaszczyzna styczna do krzywej w punkcie A to każda płaszczyzna
zawierającą styczną do tej krzywej w punkcie. Płaszczyzna ściśle styczna
jest to płaszczyzna do której dąży płaszczyzna styczna A

1

równoległa do

stycznej do krzywej w punkcie A gdy punkt A

1

dąży do A.

Płaszczyzna normalna do stycznej w punkcie A jest to płaszczyzna
zawierająca wszystkie proste prostopadłe do stycznej do tej krzywej w tym
punkcie. Na przecięciu pł. normalnej i pł. stycznej leży linia normalna
główna.
Płaszczyzna prostująca to pł. prostopadła do pł. normalniej pł. ściśle
stycznej zawierającej punkt A.
5. Przyspieszenie styczne i normalne:
a

s

=dv/dt – przyspieszenie styczne

a

n

=v

2

/ρ – przyspieszenie normalne

6. Droga: s=∫

t2

t1

Vdt

7. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t)
10. Przyspieszenie Coriolisa
Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi
wektorowemu prędkości kątowej układu ruchomego i prędkości względem
punktu A. p

c

=2ω×v

r.

Przyspieszenie Coliolisa nie występuje gdy ruchem

unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty i postępowy (=
zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora prędkości
względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru.
11. Rodzaje ruchów bryły sztywnej:
l. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno
związana z tą bryłą zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie
swobody).
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły
są nieruchome, prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1
stopień swobody).
3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły
płaszczyzną zajmuje położenie równoległe i jest równoległy do pewnej
stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 stopnie swobody).
4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła
nieruchomego punktu bryły (3 stopnie swobody).
5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego.
12. Ruch postępowy bryły sztywnej:
v=dr

o

/dt=v

o

a=d

2

r

o

/dt

2

=dv

o

/dt=a

o

- wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same
prędkości v

o

i przyśpieszenia a

o

w tej samej chwili czasu.

- tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.
- dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu
jednego punktu bryły, np. początku ruchomego układu współrzędnych O’.
13. Ruch obrotowy bryły:
ω=dφ/dt ε=dω/dt=d

2

φ/dt

2

v=ωr’ a=εr’+ω(ωr’)

a=εr’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’

14. Ruch płaski bryły:
v=v

o

+ωr’ a=a

o

+εr’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’

Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty
prędkości 2 dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe.
Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma
prędkość 0 nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy
pomocy chwilowego środka obrotu możemy znaleźć prędkość punktów
posługując się wzorem v=ωCA. Wektor prędkości kątowej jest zawsze
taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły.

15. Ruch złożony bryły
Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem
nieruchomego układu.
Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu
względem ruchomego układu współrzędnych.
Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno
związanego z układem ruchomym obserwowanym względem
nieruchomego układu.
v=v

u

+v

w

v

u

=v

o

+ωr’

a=a

u

+a

w

+a

c

a

u

=a

o

+εr’+ω(ωr’)

a

c

=2ωv

w

DYNAMIKA
1. Prawa Newtona:
I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub
działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym po linii prostej.
II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły
działającej na ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma.
III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty
i są przeciwnie skierowane.
IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa
jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a
wszystkie razem działają jak jedna siła równa wektorowej sumie danych
sił.
V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach
m

1

i m

2

przyciągają się z siłą wprost

proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te
punkty. F=k m

1

m

2

/r

2

2. Pierwsze i drugie zagadnienie dynamiki
1 polega na wyznaczaniu siły działającej na poruszający się znanym
ruchem punkt materialny. Jest ono również znane jako zagadnienie proste
dynamiki. F=m d

2

r/dt

2

2 polega na wyznaczaniu ruchu punktu materialnego poddanego działaniu
nieznanej siły. Zagadnienie to jest odwróceniem pierwszego zagadnienia
dynamiki i stąd jest ono również znane pod nazwą – zagadnienie
odwrotne dynamiki. m d

2

r/dt

2

=F(t,r,v)

3. Zasada d’Alamberta:
Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt
materialny jest w każdej chwili równa zeru.
F+(-ma)=0
4. Dynamiczne równania ruchu punktu:
a=dv/dt e

s

+v

2

/ρ e

n

e

s

=m dv/dt

e

n

=m v

2

/ρ

e

b

=e

s

e

n

5. Drgania:
Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω

2

=k/m → x’’+ ω

2

x=0

x=Asinω

o

t gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu

t, A – amplituda drgań, ω – częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak
wymuszenia.
Drgania tłumione mx’’+βx’+kx=0 ; x’’+β/m x’+k/m x=0 ; β/m = 2u ;
k/m=ω

2

Drgania słabo tłumione(u<ω).Okres drgań jest dłuższy od okresy drgań
nie tłumionych zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej.
Drgania tłumione nie są drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione
(u>ω) drgania tłumione są drganiami aperiodycznymi dla tych drgań
wychylenie maleje wykładniczo z czasem. Tłumienie krytyczne (u=ω).
Drgania wymuszone mx’’+kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły
wymuszającej, H- amplituda wymuszenia;
x’’+k/m x=H/m sinpt; x’’+ω

2

x=hsinp

p<ω – wówczas przesunięcie fazowe dąży do 0 i mówimy że częstość siły
wymuszającej jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą
p>ω – przesunięcie fazowe dąży do –π i wychylenia drgań harmonicznych
zależy od masy ciała wykonującego drgania
p=ω – przesunięcie fazowe dąży do π/2 i zachodzi zjawisko rezonansu.
6. Pęd punktu
Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości v nazywamy iloczyn
masy punktu i jego prędkości: p=mv
Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów
materialnych jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych
działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt → m dv/dt=F ; m=const. d/dt
(mv)=F → dp/dt=F.
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu
układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi
wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-
p(0)=∫

t

0

Fdt

Zasada zachowania pędu: jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych
działających na ten układ materialny jest równy zeru, to pęd tego układu
materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const.
7. Kręt punktu
Krętem k

o

punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy

moment pędu p=mv tego punktu materialnego względem punktu O:
k

o

=rp=rmv.

Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów
materialnych względem dowolnego nieruchomego punktu jest równa
momentowi głównemu wszystkich sił zewnętrznych względem tego
samego punktu. dk

o

/dt=M

o

Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych
względem nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu
materialnego (bryły) względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli
M

o

=0 to k

0

=const.

8. Praca mechaniczna
Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą
układu sił do rozpatrywanego układu materialnego w czasie jego ruchu.
dL=Pdr – praca elementarna L

AB

=∫

AB

Pdr=∫

AB

(FxdxFydyFzdz) – praca

wykonana pomiędzy punktami krzywej
9. Moc
Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt:
N=dL/dt.
Moc jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu
przyłożenia. N=P∙v
Moc układu sił działających na bryłę sztywną: moc układu sił
zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie iloczynu
skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna redukcji
oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż
bieguna i prędkości kątowej. N=W∙v

o

+M

o

∙ω.

10. Zasada równoważności pracy i en. kinetycznej
Przyrost energii kinetycznej układu na pewnym przesunięciu jest
równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) i wewnętrznych
działających na punkty układu na tym przesunięciu. L+L*=E

2

-E

1

Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu
jest równa sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym
przesunięciu. L=E

2

-E

1

11. Pole sił
Jest to przestrzeń o takiej własności że na dowolnie umieszczony w niej
punkt materialny działa ściśle określona siła zależna tylko od położenia
punktu.
14. Zasada zachowania energii
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą. E+U=const.

15. Twierdzenie o ruchu środka układu punktów materialnych
Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza się tak jakby
była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone
były wszystkie siły zewnętrzne. ma

c

=W lub mv

c

(t)-mv

c

(0)= ∫

t

0

Wdt

16. Pęd UPM
Q=

i=n

i=1

m

i

v

i

dQ/dt=P

i

– Pochodna względem czasu pędu układu

punktów materialnych równa jest sumie geometrycznej wszystkich sił
zewnętrznych działających na punkty tego układu.
Q=d/dt (mr

c

)=mv

c

– pęd układu punktów materialnych równy jest

iloczynowi masy całkowitej układu i prędkości jego środka masy.
17. Kręt UPM
Nazywamy sumę geometryczną momentów pędu wszystkich punktów
materialnych należących do rozpatrywanego układu. K

o

=r

i

m

i

v

i

Kręt ciała materialnego względem odi obrotu róny jest iloczynowi
momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości kątowej ciala.
K

z

=I

z

ω

Pochodna względem czasu krętu upm względem środka masy równa jest
sumie geometrycnaej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem
tegoż środka. dK

c

/dt=M

ic

18. En. kinetyczna UPM
Nazywamy sumę energii kinetycznych wszystkich jego punktów
T=

i=n

i=1

(m

i

v

2

i

)/2

19. Geometria mas
Środek masy- punkt geometryczny względem którego obliczany moment
statyczny wynosi 0.
Momentem statycznym układu punktów materialnych względem
dowolnego punktu O nazywamy wektor będący sumą iloczynów mas tych
punktów i ich promieni – wektorów
S =  m

i

r

i

bryła: S = 

m

rdm, S= r

c

M r

c

- promień do środka masy, M -

masa
20. Zasada Dirichleta
Gdy układ materialny znajduje się w zachowawczym polu sił, wówczas
położenie w którym energia potencjalna osiąga minimum jest położeniem
równowagi trwałej.
21. Zasada Torricellego
dla pola grawitacyjnego położenie w którym środek masy nieswobodnego
układu materialnego o więzach idealnych znajdującego się w jednorodnym
polu sił ciężkości osiąga minimalne wzniesienie na wybrany poziom jest
położeniem równowagi trwałej.
22. Twierdzenie Koeniga
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii
kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym
dookoła środka masy C układu. E = ½ mv

c

2

+ ½  m

i

v

wi

2

23. Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy
sumie momentu bezwładności względem osi równoległej przechodzącej
przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między
tymi dwiema osiami.
I

z

= I

xx

+ I

yy

= I

z’

+ md

2

,( I

l

= I

0

= md

2

)

Momenty bezwładności względem punktu
I

xx

= x

2

dm

I

yy

= y

2

dm

I

zz

= z

2

dm

Momenty bezwładności względem osi
I

x

= (y

2

+ z

2

) dm = I

yy

+ I

zz

I

y

= (x

2

+ z

2

) dm = I

xx

+ I

zz

I

z

= (x

2

+ y

2

) dm = I

xx

+ I

yy

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu
współrzędnych kartezjańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od
płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.
I

xy

= I

yx

=  xy dm

I

yz

= I

zy

=  yz dm

I

zx

= I

xz

=  zx dm

MECHANIKA ANALITYCZNA
1. Stopnie swobody
S=3n-k gdzie k-ilość więzów działających na obiekt, n-ilość punktów, które
w sposób jednoznaczny modelują konstrukcję.
2. Więzy
Więzy są to ograniczenia ruchu ciał
Rodzaje więzów:
skleronomiczne lub reonomiczne (ze względu na czas)
geometryczne i kinematyczne (ze względu na prędkość)
holonomiczne i nieholonomiczne
jednostronne i dwustronne
idealne i nieidealne (ze względu na opory)
3. Przesunięciem przygotowanym punktu swobodnego jest każde
przesunięcie tego punktu.
Przemieszczeniem przygotowanym swobodnego ciała sztywnego jest
każde przesunięcie postępowe, każdy obrót lub każdy skręt chwilowy.
Przesunięcie przygotowane jest nieskończenie małe, dowolne, zgodne z
więzami, rzeczywiste
r = xi + yj + zk
4. Zasada prac przygotowanych - wirtualnych
Pracę elementarną siły P na przygotowanym przesunięciu jej punktu
przyłożenia nazywamy pracą przygotowaną L = Pr
Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego
jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji
więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym układu była równa
zeru.
5. Siła uogólniona
Q

j

=∑

i=n

i=1

(P

ix

∂x

i

/∂q

j

+ P

iy

∂y

i

/∂q

j

+ P

iz

∂z

i

/∂q

j

) j=1,2,…s Wielkości

Q

1

,Q

2

,…Q

s

noszą nazwę sił uogólnionych odpowiadających współrzędnym

uogólnionym q

1

,q

2

…q

s

6. Równanie Lagrange’a II rodzaju
Są to równania różniczkowe ruchu układu materialnego o węzłach
idealnych, holonomicznych i nie zawierają niewiadomych reakcji więzów.
d/dt (∂T/∂q’

j

)- ∂T/∂q

j

=Q

j

L=T-V – funkcja Lagrange’a, q’ – prędkość uogólnina
W zachowawczym polu sił: d/dt (∂T/∂q’

j

)- ∂T/∂q

j

= ∂V/∂q

j