I Równanie różniczkowe liniowe rzędu n-tego o stałych współczynnikach.

Def: y⁽ⁿ⁾+a₁y^(n-1)+ a₂y^(n-2)…+a_ny⁽⁰⁾=f(x), gdzie a₁,a₂,…,a_n ϵR,

a) f(x)≡0- równanie różniczkowe liniowe jednorodne,

b) f(x)≡0- równanie różniczkowe liniowe niejednorodne

Tw. CORJ: Jeżeli y₁,y₂,..,y_n- są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania (*) to CORJ ma postać y=C₁y₁+ C₂y₂+…+ C_ny_n

Tw. Znajdywanie n- liniowo niezależnych rozwiązań (*):

1) Piszemy λⁿ+a₁δ^n-1+…+a₀=0

2)Z każdym pierwiastkiem równania charakterystycznego λ krotności s wiążemy s liniowo niezależnych rozwiązań (*):

a) λϵR, s=1: y₁ = e^λx

b) λϵR, s>1: y₁ = e^λx, y₂ = xe^λx,…, y_s = x^s − 1e^λx, 

c) λ ∉R, s=1, λ=α+β_i i λ=α+β_i,: y₁ = e^αx * sin(βx), y₂ = e^αx * cos(βx)

d) λ ∉R, s>1: y₁ = e^αxsin(βx), y₂ = xe^αxsin(βx),…, y_s = x^s − 1e^αxsin(βx), y_s + 1 = e^αxcos(βx), y₂ = xe^αxcos(βx),…, y_2s = x^s − 1e^αxcos(βx).

Tw. ( o CORN): CORN=CORJ+CSRN

Znajdywanie CSRN:

a)Metoda uzmienniania stałych: Tw. Jeżeli y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n jest CORJ, to CSRN ma postać: y=C₁(x)y₁+C₂(x)y₂+…+C_n(x)y_n, gdzie C_i(x) wyznaczamy z układu równań:

C’₁y₁+C’₂y₂+…+C’_ny_n=0

C’₁y’₁+C’₂y’₂+…+C’_ny’_n=0

…

C’₁y₁^(n-2)+C’₂y₂^(n-2)+…+C’_ny_n^(n-2)=0

C’₁y₁^(n-1)+C’₂y₂^(n-1)+…+C’_ny_n^(n-1)=f(x)

b)Metoda przewidywania: Tw. Jeżeli f(x) ma postać: f(x)=e^αx[W₁(x)*cos(βx)+ W₂(x)*sin(βx)], CSRN przewidujemy w postaci:$y = x^{s}\ e^{\text{αx}}\lbrack\overset{\overline{}}{W1}(x)*cos(\beta x) + \ \overset{\overline{}}{W2}(x)*sin(\beta x)\rbrack$, α i β są takie same jak w f(x), s- jest krotnością α+β_i w równaniu charakterystycznym, $\overset{\overline{}}{W1}(x),\overset{\overline{}}{W2}(x)$- wielomiany stopień $\overset{\overline{}}{W1}\text{\ i\ }\overset{\overline{}}{W2}$ maksymalny ze stopni W₁,W₂

II Całki krzywoliniowe: a) zorientowane: ∫_K⁺P(x,y)dx + Q(x,y)dy, K: x=x(t),y=y(t), tϵ<α,β>. Tw. Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na zwyczajną. Tw. Jeżeli wzdłuż krzywej gładkiej K⁺ są określone funkcje ciągłe P(x,y), Q(x,y) to: ∫_K⁺P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫_α^βP(x(t),y(t)) * x^′(t)dt + Q(x(t),y(t)) * y^′(t)dt. b) niezorientowane: Tw. O zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na zwyczajną: Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła wzdłuż krzywej gładkiej K to: $\int_{K}^{}{f\left( x,y \right)ds = \int_{\alpha}^{\beta}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right) \right)*\sqrt{{\lbrack x^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}}\text{dt}$ . Zastosowanie: a) ∫_KP dx + Q dy- praca: Jeżeli wzdłuż krzywej K przesuwamy pkt. Materialny M i działa nań pole siły [P,Q] to wykonujemy pracę P = ∫_K⁺P dx + Q dy. b) Długość łuku k: l = ∫_K⁺1 ds. c) Masa: M = ∫_K⁺ρ(x,y)ds    ρ(x, y)≥0- gęstość krzywej

III Szeregi liczbowe, funkcyjne, ciągi funkcyjne:

Def: Szereg liczbowy zbieżny: Mówimy, że szereg$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny jeżeli zbieżny jest ciąg S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n: S_n = S, SϵR.

Warunek konieczny, ale nie wystarczalny zbieżność: Tw. Jeżeli szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$ jest zbieżny, to a_n = 0.

Kryteria szeregów o wyrazach nieujemnych:

1) kryterium porównawcze:

Wersja 1: Jeżeli $\hat{n \in N}\ \left\{ 0 \leq a_{n} \leq b_{n} \right\}$, to 1) ze zbieżności $\sum_{n = 1}^{\infty}{b_{n} \rightarrow}$zbieżny $\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$. 2) Z rozbieżności $\sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n} \rightarrow}$ rozbieżny $\sum_{n = 1}^{\infty}b_{n}$.

Wersja 2: Jeżeli $\hat{n \in N}\ \left\{ a_{n} \geq 0,b_{n} > 0 \right\}$ i $\operatorname{}\frac{a_{n}}{b_{n}} = S < \infty\ i\ \neq 0$, to oba szeregi $\sum_{}^{}{a_{n,}\sum_{}^{}b_{n}}$ mają ten sam charakter zbieżności.

Tw. (Kryterium Cauchyego): Jeżeli $\hat{n \in N}\left( \ a_{n} \geq 0 \right)$ i $\operatorname{}\sqrt[n]{a_{n}} = q$, to : q<1- szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ zbieżny, q>1- szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ rozbieżny, q=1- kryterium nie rozstrzyga charakteru zbieżności.

Tw. (Kryterium D’Alemberta): Jeżeli $\hat{n \in N}\left( \ a_{n} > 0 \right)$ i $\operatorname{}\frac{a_{n} + 1}{a_{n}} = q$, to : q<1- szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ zbieżny, q>1- szereg $\sum_{}^{}a_{n}$ rozbieżny, q=1- kryterium nie rozstrzyga charakteru zbieżności.

Tw. (Kryterium Leibniza): Szereg naprzemienny jest zbieżny. Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci: $\sum_{n = 0}^{\infty}{{( - 1)}^{n}a_{n} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + ... + \left( - 1 \right)^{n}a_{n} + ...}$, gdzie:

1) $\hat{n \in N}\left( \ a_{n} > 0 \right)$, 2)$\ \hat{n \in N}\ a_{n + 1} < a_{n}$, 3) a_n = 0.

Def. Zbieżności bezwzględnej i względnej: $\sum_{}^{}a_{n}$ zbieżny $\sum_{}^{}\left| a_{n} \right|$- zbieżny warunkowo.

Kryterium całkowe: Jeżeli $\hat{x \in (0,\infty)}\ \left\{ f(x) \geq 0 \right\}$ i f(x) jest słabo malejąca (malejąca), to: szereg $\sum_{n = 1}^{\infty}{f(n)}$ jest zbieżny zbieżna jest całka: ∫₁^∞f(x)dx = ∫₁^Tf(x)dx. Ciąg funkcyjny : f₁(x),f₂(x),…,f_n(x), gdzie $\hat{n \in N}\ f_{n}(x)$ jest pewną funkcją określoną na X. Jeżeli $\hat{x \in X}\ \operatorname{}{f_{n}\left( x_{0} \right) = f(x_{0})}$ to mówimy, że ciąg funkcyjny na X jest zbieżny do f(x): f_n(x)=^Xf(x) i f_n(x)→^Xf(x). $\hat{x \in X}\sum_{n = 0}^{\infty}f_{n}\left( x_{0} \right) = S(x_{0})$ to $\sum_{n = 0}^{\infty}{f_{n}\left( x \right)} =^{X}S(x)$. Szeregi potęgowe: Def: Jeżeli szereg $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ jest zbieżny dla x₀, to jest zbieżny w przedziale (-x₀,x₀), największe takie x₀ (jeżeli istnieje) nazywa się promieniem zbieżności szeregu $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ oznaczamy r. Jeżeli szereg jest zbieżny $\hat{x_{0} \in R}$, to r=∞, przedział zbieżności (-r,r). Tw. Cauchy-Hadaward): Jeżeli: a) $\operatorname{}\left| \frac{a_{n} + 1}{a_{n}} \right| = \lambda$, b) $\operatorname{}\sqrt[n]{\left| a_{n} \right|} = \lambda$, to r= ( $\frac{1}{\lambda}$ jeśli 0<x<∞ i 0 jeśli λ=∞ i ∞ jeśli λ=0). Twierdzenie o różniczkowania i całkowaniu szeregu potęgowego (wyraz po wyrazie): W każdym przedziale domkniętym zawartym wewnątrz przedziału zbieżności: <a,b> (-r,r) szereg potęgowy można:

a) różniczkować wyraz po wyrazie: suma szeregu $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ jest funkcją różniczkowalną i zachodzi:$\left( \sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} \right)^{'} = \sum_{n = 0}^{\infty}{\left( a_{n}x^{n} \right)^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty}{a_{n}\text{nx}^{n - 1}}}$

b) całkować wyraz po wyrazie: suma szeregu $\sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}}$ jest funkcją całkowalną i zachodzi: $\int_{a}^{b}{\left( \sum_{n = 0}^{\infty}{a_{n}x^{n}} \right)dx = \sum_{n = 0}^{\infty}\left( \int_{a}^{b}{a_{n}x^{n}\text{dx}} \right)}$