1. 2 układy wektorów są równoważne, gdy mają

równe sumy i równe momenty liczone względem
jednego ustalonego wektora
2 układy wektorów są równoważne, gdy maja
równe momenty liczone wzgl. 3 odp, nie
współliniowych punktów.

2. Momentem względem prostej nazywamy

iloczyn wektorowy promienia wodzącego, czyli
wektora łączącego punkt prostej najbliższy
kierunkowi siły i punkt przyłożenia siły, i wektora
siły:
DF
𝑀

𝑙

≝ 𝐹

𝜋

× 𝐴

′

𝑂 <=>

𝑘𝑖𝑒𝑟𝑢𝑛𝑒𝑘: 𝑀

𝑙

||𝑙

𝑚𝑜𝑑𝑢ł: |𝑀

𝑙

= 𝐹

𝜋

𝐴

′

𝑂 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑧𝑤𝑟𝑜𝑡: 𝑤𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑦 𝐹

𝜋

, 𝐴

′

𝑂, 𝑀

𝑙

𝑠𝑡𝑎𝑛𝑜𝑤𝑖ą 𝑡𝑟ó𝑗𝑘ę 𝑝𝑟𝑎𝑤𝑜𝑠𝑘𝑟ę𝑡𝑛ą

TW𝑀

𝑙

=

𝑀

𝑜

∗𝑛

𝑛

2

𝑛

jest równy 0 gdy siła i prosta tworzą płaszczyzne
bo iloczyn wektor =0

3. Wnioski z TW o zmianie bieguna

- jeśli S=0 to moment układu jest stały
(niezależny od wyboru bieguna, wzgl. Którego
jest liczony)
- jeśli momenty ukł. Liczone wzgl. 3
niewspółliniowych pkt. Są równe, to suma ukł.
Jest równa zeru
-Iloczyn skalarny i momenty liczone względem
dow. Pkt. Jest dla ukł. Sił wielkością stałą i
nazywamy ją parametrem ukł: K= M

0

*S=M

A

*S

4. Przyp. redukcji do najpr. postaci:

a. Układ zerowy (S=0, M

R

=0)

b. Para sił (S=0, M

R

≠0)

c. Wypadkowa (S≠0, K=0)
d. Ukł. Złoż z dwu sił skośnych (K≠0)

5. DF i TW o równoważności ukł wektorów:

Dwa ukł sił nazywamy równoważnymi, jeśli
wykonując skooczoną ilośd przekształceo
elementarnych I i II rodzaju otrzymamy drugi
układ. Ukł równoważne to takie, które mają
równe sumy i równe momenty liczone wzgl
dowolnego punktu.
Dwa ukł sił są równoważne, gdy mają równe
sumy i równe momenty liczone wzgl jednego
punktu
Dwa ukł sił są równoważne, gdy mają równe
momenty liczone wzgl trzech niewspółliniowych
punktów.

6. Przekształcenia elementarne ukł wektorów:

a. Dodanie do ukł 2 wektorów leżących na

jednej prostej, równych co do długości lecz
przeciwnych zwrotów

b. Dodanie do ukł kilku wektorów o wspólnym

początku i sumie równej zeru

Nie zmieniają one sumy ani momentu ukł

7. WKW by ukł miał oś środkową: chyba że S=0
8. Wektor prędkości kątowej:

𝜔 ≝ lim

𝛿𝑡 →0

𝜙 𝑡+𝛿𝑡 − 𝜙 (𝑡)

𝛿𝑡

𝑒

𝑙

= 𝜙

′

𝑒

𝑙

= 𝜔𝑒

𝑙

9. Wektor przyspieszenia kątowego:

𝜖 =

𝑑𝑤

𝑑𝑡

=ω’

10.Prędkośd i przyspieszenie w ruchu względnym

a. Pręd bezwzględna pktu v

b

≡r’

pręd względna v

W

=p’

w

pręd unoszenia v

U

≡r

A

+ω

A

xp

b. Przysp względne a

W

=p’’

w

przysp Coriolisa a

C

=2ω

A

x p’

W

przysp unoszenia a

U

=r’’

A

+ ω

A

x p + ω

A

x(ω

A

x p)

przysp bezwzględne a

B

= r’’

11.Swobodna bryła sztywna ma 6 stopni swobody,

bryła której jeden punkt został unieruchomiony
3 stopnie swobody. Bryła podparta w dwóch
punktach ma 1ss, w ruchu płaskim ma 3ss

12.Tw o rozkładzie prędkości w bryle sztywnej:

a. W ruchu dowolny ciała sztywnego rzuty

prędkości punktów leżących na prostej na tę
prostą są równe

b. W ruchu dowolnym ciała sztywnego kooce

wektorów prędkości punktów leżących na tej
prostej też leżą na tej prostej

13.Definicje ruchów

a. Ruch postępowy - ruch w którym odcinek

łączący każde dwa dowolnie wybrane punkty
ciała zajmuje w czasie jego trwania położenie
równoległe do położenia poprzedniego (lub
początkowego)

b. Ruch kulisty – ruch ciała wokół stałego punktu.

V

A

=0 i a

A

=0 więc v

M

=ω

A

xAM oraz a

M

=ϵ

A

xAM+ω

A

x(ω

A

xAM)

c. Ruch obrotowy – szczególny przykład kulistego,

wektor prędkości kątowej ω

A

(t) jest stały co do

kierunku, może się zmieniad jego wielkośd i
zwrot. V

M

=ω

L

xAM , a

M

=ϵ

l

xAM +ω

L

x(ω

l

xAM)

d. Ruch płaski - punkty ciała sztywnego poruszają

się w płaszczyznach równoległych do
płaszczyzny π

0

zw. kierującą . v

m

=r’, a

m

=r’’

14.Aksjomaty mechaniki

a. Bezwładności – masa jest miarą bezwładności
b. Działania – jeżeli na pkt materialny działają siły,

których suma jest różna od 0 następuje zmiana
pędu w ten sposób że p’=F (p=p(t))

c. Wzajemnego działania – F

1

→, F

2

<- ; F

1

=-F

2

15.Równowaga Ciala i sił:

a. Ciało jest w równowadze jeśli wszystkie jego

punkty nie zmieniają swego położenia wzgl.
Przyjętego ukł. Odniesienia

b. Ukł. sił działających na ciało jest w równowadze

jeżeli przyłożony do ciała nie zmienia ruchu
tego ciała

c. Równowaga ciała => równowaga sił; <≠

16.WKiW równowagi ciała jest równowaga sił i by

w momencie przyłożenie tych sił ciało było w
spoczynku

17.Powierzchnia ekwipotencjalna (powierzchnia

równego potencjału) - powierzchnia w polu
potencjalnym, której wszystkie punkty mają
jednakowy potencjał. Powierzchnie
ekwipotencjalne są w każdym punkcie pola
prostopadłe do wektora siły, czyli do linii
natężenia pola

18. Zasada równoważności pracy i energii

kinetycznej:
Przyrost energii kinetycznej miedzy chwilami t

0

i

t

k

jest równy pracy wykonanej przez siły pola w

tym samym przedziale czasu

19.Zasada równowartości pracy i energii

kinetycznej w potencjalnym polu sił:
E

K

(t

k

)+(-V

B

)=E

K

(t

0

)+(-V

A

)=const

20.Pęd i kręt:

a. Pęd układ pkt. Materialnych: p(t)=

𝑚

𝑖 V

i

𝑛

𝑖=1

b. Pęd dla bryły: 𝑝 𝑡 = 𝜌

𝐴

𝜔

𝑉

𝐴

𝑑𝜔

c. Kręt dla układ pkt mater: 𝐾

0

=

𝑝

𝑖

𝑛

𝑖=1

×

𝐴

𝑖

0 =

𝑟

𝑖

× 𝑝

𝑖

𝑛

𝑖=1

d. Kręt dla bryły: 𝐾

0

= 𝜌𝑟

𝐴

×

𝜔

𝑣

𝐴

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

21.TW Steinera:

moment bezwładności ukł mater liczony wzgl
prostej l jest równy momentowi bezwładności
układu wzgl prostej l

0

przechodzącej przez

środek masy i równoległej do prostej l,
powiekszony i iloczyn masy układu i kwadratu
odległości miedzy tymi prostymi: J

l

=J

l0

+md

2

22.Zasada Pędu i Krętu:

a. Pędu: pochodna po czasie układu materialnego

jest równa sumie sił działających na dany układ.
Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to pęd
układu jest stały

b. Krętu: pochodna po czasie krętu układu

materialnego liczonego względem stałego
punktu lub środka masy jest równa
momentowi układu sił względem tego puntku

23.Zasada zachowania pędu i krętu

a. Pędu - Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to

pęd układu jest stały

b. Krętu – jeżeli moment układu sił względem

stałego punktu lub środka masy jest równy
zeru, to kręt układu materialnego jest stały

24.Definicja Lapunowa

Niech q=(q

1

,q

2

…,q

s

) opisuje położenie układu

materialnego, zaś q*=(q

1

*,q

2

*,…,q

s

*) położenie

jego równowagi. Stan równowagi układu
materialnego jest trwały, jeśli dla każdej
dowolnie małej liczby ϵ>0 można dobrad takie
η

1

(ϵ >0 i η

2

(ϵ >0, że jeśli spełnione są

nierówności: [ q t

0

)-q*|< η

1

(ϵ i q’ t

0

)-q’* <

η

2

(ϵ)] to zachodzi [|q(t

0

)-q <ϵ i q’ t

0

)-q’* <

ϵ] dla każdego t>t

0

.

25.Do czego redukuje się układ sił w punktach osi

środkowej?
w punktach osi środkowej układ redukuje się do
wypadkowej gdy K=0, zaś do skrętnika gdy K≠0

26.Czy moment układu sił zależy od punktu wzgl

którego jest liczony?
Przy zerowej sumie układu moment nie zależy
od punktu, bo jest stały, zaś dla sumy niezerowej
zależy, co wynika z tw o zmianie bieguna:
M

B

=M

A

+SxAB

27.Podad elementy naturalnego opisu punktu:

w naturalnym opisie należy podad: tor,
orientację toru, punkt początkowy toru (lub
ruchu) i równanie ruchu s=s(t)

28.TW o rozkładzie prędkości punktów ciała

sztywnego w ruchu dowolnym:

a. W dowolnym ruchu ciała sztywnego rzuty

wektorów prędkości punktów leżacych na
prostej na tę prostą są sobie równe

b. W dowolnym ruchu ciała sztywnego kooce

wektorów prędkości punktów leżacych na
prostej też leżą na prostej

29.ZPW: 𝛿𝐿 =

(𝐹

𝑖

𝑛

𝑖=1

∗ 𝛿

𝑠𝑖

) = 0 ∀𝛿

𝑠𝑖

30.Macierz przejścia

a. Macierz przejścia jest macierzą cosinusów

kierunkowych

α=(α

ij

)=

𝛼

11

𝛼

12

𝛼

13

𝛼

21

𝛼

22

𝛼

23

𝛼

31

𝛼

32

𝛼

33

; gdzie α

ij

=cos(x’

i

,∧ 𝑥

j

)

b. α * α

T

=1 i α

T

*α =1; detα =+/- 1

31.Właściwości głównych osi bezwładności:

Główne osie bezwładności są to osie
wyznaczone przez wektory własne tensora
bezwładności. Właściwości:

a. Każdy układ posiada min. 3 główne osie

bezwładności, 3 jeśli J

1

≠J

2

≠J

3

≠J

1

; jedną główną

oś i całą płaszczyznę głownych osi
bezwładności prostopadłych do tej osi gdy
J

1

≠J

2

=J

3

lub J

2

≠J

1

lub J

3

≠J

1

=J

2

; całą przestrzeo

głównych osi bezwładności gdy J

1

=J

2

=J

3

=J

1

b. Momenty bezwładności liczone względem

głównych osi bezwładności są ekstremalne

c. Momenty dewiacji liczone względem

płaszczyzn wuznaczonych przez głowne osie
bezwładności są równe zeru

32.Tensor II rzędu

tensorem II rzędu nazywamy macierz
dwuwskaźnikową, określoną w układzie
współrzędnych, której elementy przy przejściu
do drugiego układu współrzędnych transformują
się wg prawa transformacyjnego:
σ’

ij

= α

ik

α

jl

α

kl

lub σ

ij

= α

ki

α

lj

σ’

kl

T’

σ

=α *T

σ

*α

T

lub T

σ

=α

T

*T’

σ

*α

33.Def liczba stopni swobody

Liczba stopni swobody układu materialnego to
ilośd niezależnych parametrów, która jest
potrzebna do określenia położenia danego
układu materialnego: s=3n-k (s-l stopni swob, n-
l punktów jednoznacznie określających ten
układ, k-l. niezależnych równan więzów) Dla
płaskich: s=2n-k

34.Układ statycznie wyznaczalny: układ dla którego

liczba reakcji podporowych jest równa liczbie
niezależnych równao równowagi oraz liczba
stopni swobody równa się zeru

35.Redukcja układu sił działających na sztywne

ciało materialne:
mówią o tym aksjomaty równowagi sił:

a. Jeśli do układu sił działających na sztywny

układ materialny pozostający w równowadze
dołączymy (lub usuniemy) układ sił
przeciwnych leżących na jednej prostej, to
równowaga układu materialnego nie zostanie
naruszona

b. Jeżeli do układu sił działających na sztywny

układ materialny pozostający w równowadze
dołączymy (lub usuniemy) układ sił zbieżnych o
sumie równej zeru, to równowaga układu
materialnego nie zostanie naruszona

c. Jeżeli na sztywny układ materialny nie działają

żadne siły, to może on byd w równowadze

36.Moment siły względem prostej jest równy zeru

gdy kierunek działania siły i prosta wyznaczają
jedną płaszczyznę

37.Zbieżny układ sił redukuje się do układu

zerowego przy sumie równej zero lub do
wypadkowej gdy suma jest niezerowa

38.Dlaczego płaskiego układu sił nie można

zredukowad do skrętnika:
WKW red do skrętnika jest K≠0, dla płaskiego ukł
K=0

39.Dlaczego macierz bezwładności jest tensorem?

Wynika to z Tw. Jeśli elementy macierzy II rzędu
określone są w układzie współrzędnych i
mnożone wewnętrznie przez wektor dając na
wynik wektor, to ta macierz jest tensorem.
Licząc kręt wzgl. pktu dla sztywnego ukł
materialnego otrzymujemy zależnośd
K

0

=(J

o

)*ω (k-wek krętu, (J

0

)- macierz bezwł, ω-

wek pręd. kątowej)

40.Prawo ruchu środka masy sztywnego układu

materialnego:
mr’’

0

=S+ warunki początkowe

41.Def przesunięcia wirtualnego:

δ

S

= k v^; kϵ R\{0}

42.Równowaga ciała i układu sił

Przez równowagę ciała rozumiemy jego
spoczynek w danym układzie odniesienia. Układ
sił, który przyłożony do ciała nie zmienia jego
ruchu nazywamy układem sił będących w
równowadze. Zatem równowaga układu sił jest
war koniecznym równowagi ciała. WKW
równowagi ciała jest równowaga układu sił oraz
aby w chwili przyłożenia sił do ciała ciało było w
spoczynku.

43.Równanie Lagrande’a II rodzaju:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐸

𝑘

𝜕𝑞

𝑗

−

𝜕𝐸

𝑘

𝜕𝑞

𝑗

= 𝑄

𝑗

gdzie: j=1,2,3…s; 𝐸

𝑘

=en kin ukł; 𝑄

𝑗

=

(𝐹

𝑖

𝑛

𝑖=1

∗

𝜕 𝑟

𝑖

𝜕 𝑞

𝑖

) -siła uogólniona; s- liczna stopni swobody

układu.

44.Energia kinetyczna sztywnej bryły w ruchu

obrotowym
E

k

=1/2 J

l

ω

2

; (Ek- en kinet; Jl- moment bezwl licz

wzgl osi obrotu; ω- wektor pręd kątowej)

45.WKW równowagi ukł sił działających na

sztywne ciało unieruchomione w jednym
punkcie:

𝐹

𝑖

× 𝐴

𝑖

𝐴 = 𝑀

𝐴

= 0

𝑛

𝑖=1

46.Układ statycznie niewyznaczalny: układ w

którym liczba niewiadomych podporowych jest
wieksza od liczby niezależnych równao
równowagi oraz liczba stopni swobody układu
jest równa 0

47.Zasada d’Alemberta:

δL =

(Fi + Bi) ∗ δsi = 0

𝑛

𝑖=1

δ

si

; gdzie: B

i

= -

m

i

r’’

i

48.Warunki aby swobodny punkt materialny

poruszał się ruchem prostoliniowym:
Jeśli siła działająca na swobodny punkt
materialny ma stały kierunek ora w chwili
rozpoczęcia ruchu prędkośd początkowa jest
współliniowa z siłą, to ruch punktu będzie
ruchem prostoliniowym

49.Moment dewiacji układu materialnego liczony

względem płaszczyzn wyznaczonych przez
głowne osie bezwładności jest równy zeru,
ponieważ (J

0

) w głównych osiach bezwładności

ma postad diagonalną.

50.Dwa układy sił równoważą się gdy ich sumy są

przeciwne i momenty liczone wzgl dowolnego
pktu są przeciwne. Przykład: kratownica, węzeł
w ramie

51.TW o pędzie układu:

Pęd sztywnego układu materialnego jest równy
pędowi jego środka masy:
p=mv

0*

=

(𝑚

1

𝑛

𝑖=1

𝑣

1

)

52.Jak leży przyspieszenie pktu wzgl jego

trajektorii?
przyspieszenie punktu leży w płaszczyźnie ściśle
stycznej do trajektorii

53.Wzory Steinera:

J

l

=J

lo

+md

2

;

J

α β

=J

αo βo

+mab

54.Główne centralne osie bezwładności są to osie

bezwładności wyznaczone w środku masy. Osie
Oxy są głównymi centralnymi osiami
bezwładności, gdyż przechodzą przez środek
masy (S

x

=0, S

y

=0) i J

xy

=0

55.Czy para sił posiada środek?:

Nie, ponieważ środek posiadają układy
równoległe o niezerowej sumie, zaś suma pary
sił jest równa zeru

56.WKW równowagi układu sił działających na

sztywne nieswobodne ciało jest, aby układ sił
reakcji równoważył układ sił czynnych

57.Równanie Lagrange’a II rodzaju w potencjalnym

polu sił:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑊

𝜕𝑞

′

𝑗

−

𝜕𝑊
𝜕𝑞

𝑗

= 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑠

W=E

k

-U=E

k

+V (W- potencjał kinetyczny układu,

Ek- en kinetyczna, U-en potencjalna, V-potencjał,
s-liczba stopni swobody)

58.Moment statyczny układu jest równy zeru, gdy

jest liczony względem płaszczyzny przechodzącej
przez środek tego układu

59.Tensor III rzędu

Macierz trójkwskaźnikowa określona w układzie
współrzędnych, której elementy przy przejściu
do nowego układu współrzędnych zmieniają się
wg prawa transformacyjnego:
T’

ijk

=α

ir

α

js

α

kw

T

rsw

60.Wektor własny tensora A to niezerowy wektor

w, taki że zachodzi:
Aw=λ w, gdzie: w≠0,λ-parametr

61.Ile wynosi składowa binormalna przyspieszenia

i dlaczego?
a

b

=0, ponieważ przyspieszenie leży w

płaszczyźnie ściśle stycznej wyznaczonej przez
wektory: kierunku stycznego do krzywej i
normalnej głównej. Wektor kierunki
binormalnego jest prostopadły do płaszczyzny
ściśle stycznej.

62.Kiedy przyspieszenie Coriolisa jest równe zeru?

a

c

=2ω x v

w

=0, gdy ω=0 lub v

w

=0 lub ω||v

w

63.Charakterystyka położenia równowagi trwałej,

nietrwałej i obojętnej:

a. Nietrwałej:

𝜕𝑈

𝜕 𝑞

𝑗

= 0 𝑖

𝜕

2

𝑈

𝜕𝑞

𝑗

2

< 0

b. Obojętnej:

𝜕𝑈

𝜕 𝑞

𝑗

=

𝜕

2

𝑈

𝜕 𝑞

𝑗

2

= 0

c. Trwałej:

𝜕𝑈

𝜕 𝑞

𝑗

= 0 𝑖

𝜕

2

𝑈

𝜕𝑞

𝑗

2

> 0

64.Ruch kulisty, lss: Ruch ciała wokół stałego

punktu, liczba stopni swobody s=3*3-3-3=3

65.Czy znajomośd zredukowanego układu sił w

środku masy pozwala przewidzied ruch ciała
sztywnego?
tak, gdy będziemy znali rozkład masy w ciele
oraz warunki początkowe, wówczas skorzystamy
z równao różniczkowych:
mr’’

0

=S i (d/dt)[(J

0

)ω

0

]=M

0

66.Obliczanie pracy po trajektorii punktu:

𝐿

𝑡𝑜

𝑡 𝑘

= 𝐹 ∗ 𝑉𝑑𝑡

𝑡𝑘

𝑡0

= E

k

(t

k

)-E

k

(t

0

)

67.Czym różni się suma układu od wypadkowej?

Wypadkowa jest układem sił, suma nie, bo to
wektor swobodny. Suma może byd zerowa,
wypadkowa zawsze niezerowa. Wypadkowa jest
układem równoważnym danemu, suma nie, bo
nie jest układem. Wypadkowa ma ściśle
określona prostą działania, suma nie, bo nie ma
pktu zaczepienia

68.Różnica pomiędzy chwilową osią obrotu w

ruchu płaskim, a chwilową osią obrotu w ruchu
kulistym:
Chwilowa oś obrotu w ruchu płaskim ma stały
kierunek prostopadły do płaszczyzny kierującej,
zaś w ruchu kulistym jest to nieskooczony zbiór
prostych przechodzących przez stały punkt
unieruchomienia.

69.Wypadkowa: układ równoważny danemu

układowi, złożony z jednej niezerowej siły
równej sumie układu. Wypadkowa ma ściśle
określoną siłę działania o własności że moment
układu liczony względem jej punktów jest równy
zero, natomiast moment liczony względem
punktów poza nią różny od zera i prostopadły do
sumy układu

70.Skrętnik: układ składający się z wektora b=S i

pary sił o momencie równoległym do sumy
układu

71.Czy równoległy układ wektorów może

redukowad się do pary?
Tak, gdy S=0 i M

A

≠0

72.Układ chwiejny: układ dla którego równania

równowagi stanowią sprzeczny układ równao
algebraicznych, liczba reakcji jest mniejsza od
liczby równao równowagi niezależnych, lss>0

73.Właściwości środka masy sztywnego układu

materialnego
Moment statyczny ukł materialnego liczony
względem dowolnej pł π jest równy momentowi
statycznemu środka masy wzgl pł π
Jeśli płaszczyzna przechodzi przez środek masy
układu, to moment statyczny ukł materialnego
jest równy zeru bo miara odległości środka masy
od tej płaszczyzny jest równa zeru

74.Układ wektorów którego momenty liczone wzgl

3 niewspołliniowych punktów są równe
redukuje się do układu zerowego i do pary
wektorów

75.Płaski układ sił redukuje się do para wektorów,

układ zerowy, wypadkowa

76.Główne centralne osie bezwładności ????
77.TW o Pędzie: Pęd układu materialnego jest

równy pędowi środka masy tego układu

78.Wzory na prędkośd i przyspieszenia w opisie

naturalnym

𝑣 = 𝑟 =

𝑑𝑟
𝑑𝑠

∗

𝑑𝑠
𝑑𝑡

= 𝑠 𝜏

gdzie: 𝜏 =

𝑑𝑟

𝑑𝑠

-wektor kierunku stycznego do

toru, 𝑣 = 𝑠 =

𝑑𝑠

𝑑𝑡

-prędkośd skalarna pktu

𝑎 = 𝑣 −

𝑑

𝑑𝑡

𝑠 𝜏 = 𝑠 𝜏 + 𝑠

𝑑𝜏
𝑑𝑡

= 𝑎

𝑠

+ 𝑎

𝑛

gdzie

79.Jakie własności posiadają prędkości punktów

ciała wynikające z założenia jego sztywności?

W ruchu dowolnym ciała sztywnego rzuty

wektorow prędkości punktow lezacych na
prostej na ta prosta sa rowne i konce wektorow
prędkości lezacych na prostej tez leza na prostej

80.Wymienic rodzaje równowagi

Przez równowagę ciala rozumiemy jego
spoczynek w danych układzie odniesienia.Uklad
sil, który przyłożymy do ciala, nie zmienia jego
ruchu nazywamy układem sil będącym w
równowadze. Rownowaga układu sil jest
warunkiem koniecznym równowagi ciala, WKiW
równowagi ciala jest rownowaga układu sil oraz
aby w chwili przyłożenia do ciala cialo to było w
spoczynku

81.Jak obliczyc prace pola sil po rzeczywistym

torze ruchu? Czy praca po krzywej zamkniętej
jest zawsze rowna zero?
Prace sil po zadanej krzywej C od punktu A do B
definiujemy jako calke krzywoliniowa
skierowana z iloczynu skalarnego sil pola i
elementu liniowego ds krzywej

WZOR Lab=calka wekt.F * wekt.ds

W potencjalnym polu sil praca jest rowna roznicy
potencjałów, nie zalezy od krzywej, po której jest
liczona, a po krzywej zamkniej jest zawsze rowna
0

82.Przy jakim zalozeniu o punkcie A obowiazuje

zasada kretu?
Jeżeli punkt A jest punktem nieruchomym(Va=0)
lub srodkiem masy układu materialnego (p||Va)
to iloczyn p x Va jest rowny zero.

WZOR 1 pochodna z wekt Ka = wekt Ma

83.Jakie układy sil posiadaja srodek?
Srodek posiadaja rownolegle układy sil, a ten ma

następujące właściwości:

1.ukl posiadający srodek redukuje się w tym

punkcie do wypadkowej, 2.moment ukl
względem srodka jest rowny 0, 3.jezeli w
równoległym ukl sil obrocimy sily wokół och
punktow zaczepienia o ten sam kat , to srodek
ukl nie zmieni swojego położenia

84.Podac definicje glownych centralnych osi

bezwładności

Główne centralne osie bezl wyznaczone w srodku

masy przez wekt wlasne tensora bezwładności
zestawionego w srodku masy

85.Kiedy moment układu względem prostej jest

rowny 0?

Suma układu musiałaby lezec z prosta w jednej

płaszczyźnie

86.ZPW we współrzędnych kartezjaoskich

WKiW równowagi układu sil działających na
układ materialny swobodny lub nieswobodny o
wiezach:stacjonarnych,geometrycznych,dwustro
nnych i gładkich jest, aby suma prac wirtualnych
od sil czynnych działających na ten układ na
każdym przesunieciu wirtualnym była rowna 0.

𝛿𝐿 = 𝐹

𝑖

∗ 𝛿

𝑠𝑖

= 0 ∀𝛿

𝑠𝑖

𝑛

𝑖=1

87.ZPW we współrzędnych uogólnionych
Ze wszystkich ruchow możliwych ukl materialnego

swobodnego lub nieswobodnego o wiezach
geometrycznych stacjonarnych i gładkich ten jest
ruchem rzeczywistym , którego suma prac
wirtualnych od wszystkich sil czynnych i
momentow bezwładności na każdym
przesunieciu wirtualnym jest rowna 0.

𝛿𝐿 = 𝐹

𝑖

+ 𝐵

𝑖

∗ 𝛿

𝑠𝑖

= 0 ∀𝛿

𝑠𝑖

𝑛

𝑖=1

88.Czy prędkości punktow ciala sztywnego w danej

chwili czasu mogą byd dowolnymi wektorami?
Nie, gdyz wynika to z twierdzen o prędkościach
punktow ciala sztywnego lezacych na jednej
prostej.

89.Jak sprawdzic czy układ sil działających na cialo

sztywne podparte w pkt A i B jest w
równowadze : WKiW równowagi układu sil
działających na cialo sztywne unieruchomione w
2 nie pokrywających się punktach jest aby
moment ukl liczony wzgl prostej był rowny
łączącej te 2 punkty był rowny 0

90.Czy równoległy układ wektorw redukuje się do

pary? Tak, gdy jego suma jest rowna 0 i Ma=0

91.Podac zasade d’Alemberta. Do czego

wykorzystujemy ja w mechanice?
Ze wszystkich ruchow możliwych ukl
materialnego swobodnego lub nieswobodnego o
wiezach geometrycznych stacjonarnych i
gładkich ten ruch jest ruchem rzeczywistym
układu ,dla którego suma prac wirtualnych od
wszystkich sil czynnych i momentow
bezwładności na każdym przesunieciu
wirtualnym jest rowna 0.

Możemy te zasade wykorzystac do wyznaczenia

różniczkowych równao ciala sztywnego

92. Co to jest potencjal pola sil? Kiedy istnieje?

Pole sil, dla którego istnieje funkcja skalarna
V(x,y,z) której pierwsze pochodne czastkowe
(sigma V/ sigma x i tak do x) rowne
odpowiednim współrzędnym pola sil P,Q,R
nazywamy potencjalnym polem sil, zas funkcje
V(x,y,z) potencjalem

𝜕

2

𝑉

𝜕𝑥𝜕𝑦

=

𝜕𝑃
𝜕𝑦

=

𝜕𝑄

𝜕𝑥

𝜕

2

𝑉

𝜕𝑥𝜕𝑧

=

𝜕𝑃

𝜕𝑧

=

𝜕𝑅
𝜕𝑥

𝜕

2

𝑉

𝜕𝑦𝜕𝑧

=

𝜕𝑄

𝜕𝑧

=

𝜕𝑅
𝜕𝑦

Sa to warunki Schwarza stanowiace warunek

konieczny istnienia potencjalnego pola sil.Jezeli
o współrzędnych P,G,R pola sil założymy, ze sa
ciagle i różniczkowalne , to warunek staje się
również wystarczającym

93.Podaj def. Przyspieszenia Coriolisa i kiedy jest

ono wektorem zerowym?
Przyspieszenie Coriolisa jest podwojnym
iloczynem wektorowym prędkości katowej i
prędkości względnej. Przyspieszenie Coriolisa
jest rowne zeru, jeżeli prędkośd katowa jest
rowna 0 , dla prędkości wzgl rownej zero lub oba
wektory tych prędkości sa rownolegle do siebie.
Przyspieszenie Coriolisa jest wektorem
prostopadłym do pl utworzonej przez oba te
wektory

94.Równanie Lagrange’a II rodzaju w potencjalnym

polu sił:

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑊

𝜕𝑞

′

𝑗

−

𝜕𝑊
𝜕𝑞

𝑗

= 0, 𝑗 = 1,2, … , 𝑠

W=E

k

-U=E

k

+V (W- potencjał kinetyczny układu,

Ek- en kinetyczna, U-en potencjalna, V-potencjał,
s-liczba stopni swobody)