1.

Podać i omówić prawa Newtona; omówić zakres

stosowalności tych praw.
I Prawo Newtona: Punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub

siły, których suma jest równa 0, pozostaje w spoczynku lub porusza
się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II Prawo Newtona: Siła działająca na punkt materialny jest równa

pochodnej względem czasu pędu tego punktu.

⃗

F = d

dt

(

m ⃗v )

III Prawo Newtona: Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych, skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty, są

równe co do wartości, a przeciwne co do kierunku.
Prawo Newtona powszechnej grawitacji: Dwa punkty materialne o
masach m1 i m2 działają na siebie z siłą proporcjonalną do iloczynu

tych mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tych
mas. F=kMm/r^2.
2.

Czym zajmuje się mechanika, jakie są jej podstawowe

działy, omówić zakres zainteresowań tych działów?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał
materialnych. Uczy umiejętności modelowania zjawisk i obiektów w

szczególności zastępowania realnych konstrukcji pewnymi
idealizacjami fizycznymi umożliwiając ich matematyczne

odwzorowanie.
I Statyka. Zajmuje się równowagą układów sił działających na ciało
pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym

prostoliniowym.
II Kinematyka. Zajmuje się badaniem geometrycznych właściwości
ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych i działających na nie

sił.
III Dynamika. Zajmuje się ruchem ciał w zależności od działających na
nie sił.
3.

Podać i omówić uproszczenia jakie stosuje się w

mechanice, w tym w dynamice.
Punkt materialny- ciało o nieskończenie małych wymiarach,
posiadające masę; modeluje ciała o bardzo małych wymiarach w

porównaniu z wymiarami otoczenia; wymiary na tyle małe, by
można pominąć obrót ciała względem układu odniesienia.

Ciało doskonale sztywne- odległości między jego punktami nie
zmieniają się, nie podlega odkształceniom pod wpływem

działających sił, model ciała rzeczywistego gdy odkształcenia są
pomijalnie małe w stosunku do wymiarów.

Zasada zesztywnienia- warunki równowagi sił działających na ciało
odkształcalne nie zostają naruszone przez zesztywnienie tego ciała,

punkt przyłożenia siły nie ulegnie przesunięciu mimo odkształcenia
konstrukcji.

4.

Omówić i wyprowadzić zasadę niezależności działania

sił.
Gdy na pkt mat. działa jednocześnie n sił F1,F2...Fn, przyspieszenie

doznane przez rozpatrywany pkt jest równe sumie geometrycznej
przyspieszeń, które posiadałby ten sam pkt, gdyby każda z sił działała

na niego osobno.
a=a1+a2+...+an

ma1=F1 , ma2=F2 , man=Fn
ma=F1+F2+...+Fn

ΣFi=ma
5.

Omówić prawo powszechnej grawitacji.

Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 działają na siebie z siłą

proporcjonalną do iloczynu tych mas i odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości tych mas. F=kMm/r^2.
6.

Napisać dynamiczne równania ruchu i objaśnić, na

czym polegają dwa podstawowe zadania dynamiki.
F=ma Fx=max Fy=may Fz=maz
ax=d2x/dt2=x**

ay=d2y/dt2=y**
az=d2z/dt2=z**

Fx=mx** Fy=my** Fz=mz**
Pierwsze zad. dyn.-polega na tym że mamy równania parametryczne

toru (x=x(t), y=y(t), z=z(t)),a chcemy wyznaczyć siłę F, pod której
wpływem porusza się punkt materialny. Zadanie rozwiązujemy

różniczkując dwukrotnie po czasie równania parametryczne toru i
określamy składowe przyspieszenia. Wstawiając je do dynamicznych

równań ruchu, znajdujemy składowe siły działającej.
Drugie zad. dyn.- wyznaczenie przy danej masie i sile, przyspieszenia,

prędkości, toru poruszającego się punktu.
7.

Omówić zasadę d'Alemberta.

Jeżeli do sił rzeczywistych działających na pkt. mat. dodamy fikcyjną

siłę bezwładności, to suma ich równa się zeru. Siłę bezwładności
otrzymujemy mnożąc masę ciała przez przyspieszenie rzeczywiste ze

znakiem -. ΣFi+ B= 0
8.

Wyprowadzić zależności na rzut ukośny punktu

materialnego.
Zasięg, czas lotu, równanie toru, H max
9.

Omówić podstawowe modele ciał w mechanice oraz

zakres stosowalności tych modeli.
Pkt. mat. to ciało materialne obdarzone masą, którego wymiary

geom. mogą zostać zaniedbane w porównaniu z wymiarami
otoczenia.
Układ punktów. materialnych to zbiór pkt mat.
Bryła sztywna to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie

ulegają zmianie pod działaniem sił.
10.

Co to jest masowy moment bezwładności, jakie są

rodzaje tych momentów, podać zależności występujące pomiędzy

tymi momentami.
Iloczyn masy pkt. mat. przez kwadrat odległości od danego punktu,
prostej lub płaszczyzny. Rodzaje: względem punktu I0(biegunowy,

równy sumie momentów bezwł. względem 3 prostopadłych
płaszczyzn przecinających się w tym pkcie oraz połowie sumy

momentów względem 3 prostych przecinających się w tym pkcie.),
względem prostej Ix, Iy, Iz (równy sumie mom. względem 2

prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej prostej),
względem płaszczyzny Ixy, Iy,z Iz x.
I0=Ixy,+Iy,z +Iz x

Ix,=Ixy, +Iz x Iy,=Ixy,+Iy,z Iz=Iy,z +Iz x
I0=0,5*(Ix,+Iy, +Iz )

11.

Podać i udowodnić twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi
jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej

przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu
odległości między tymi osiami.
W ten sposób ,znając moment bezwładności względem osi

przechodzącej przec środek masy,możemy obliczyć moment
bezwładności względem dowolnej osi równoległej.Jak wyniki ze

wzorów powyższczych,najmniejszy moment bezwładności jest
względem osi przechodzącej przez środek ciężkości
Dowód twierdzenia Steinera

I

0

=

∫

r

2

dm

I =

∫

R

2

dm

r

2

=

x

2

+

y

2

R

2

=(

d −y)

2

+

x

2

=

d

2

+

r

2

−

2dy

∫

R

2

dm=

∫

r

2

dm+d

2

∫

dm−2d

∫

ydm

I =I

0

+

Md

2

−

2d

∫

ydm

I =I

0

+

Md

2

12.

Co to są masowe momenty dewiacyjne, jak je liczymy

i do czego mają zastosowanie, co to są osie główne i centralne ciała.
Momentem dewiacyjnym(odśrodkowym) ciała względem dwóch

prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas
elementów przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn
Momenty dewiacyjne względem płaszczyzn:
Dxy=

∫

(

m)

xydm

(również dla płaskiego układu współrzędnych)

Dxy=

∫

(

m)

xzdm

Dxy=

∫

(

m)

yzdm

Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie,
jak i

ujemne, ponieważ w powyższych wzorach − w przeciwieństwie do
momentów

bezwładności − występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych.
Ponadto

wykażemy, że jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których
obliczamy

momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego
układu

materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są
równe zeru.

Powyższa własność momentów dewiacyjnych ma duże znaczenie w
obliczeniach praktycznych.

Głownymi osiami bezwładności figury płaskiej nazywamy takie osie,
względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości

ekstremalne, zaś moment dewiacyjny jest równy zeru.
Jeżeli obie główne osie bezwładności orzechodzą przez środek

ciężkości figury , to nazywamy je głownymi centralnymi osiami
bezwładności.

13. Wyznaczyć masowy moment bezwładności dla pręta o masie m i
długości L, względem osi prostopadłej do osi pręta i przechodzącej

przez jej środek.
14.

Zdefiniuj pojęcia pędu, popędu i impulsu siły (wraz z

interpretacją graficzną) dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
Pęd punktu materialnego o masie m i predkości v jest iloczynem

masy oraz prędkości i przedstawia się wzorem Q=mv
Popęd zwany też impulsem i popędem siły – wektorowa wielkość
fizyczna równa iloczynowi siły i czasu jej działania: I=FΔt lub dla siły
zmieniającej się w czasie I=Fdt

15.

Podaj i wyprowadź z drugiej zasady dynamiki, zasadę

pędu w postaci różniczkowej i całkowej.

Postać różniczkowa:

∑

i =1

n

⃗

F

i

=

m ⃗a=

d

dt

(

m ⃗v )= d

dt

( ⃗

Q)

Suma sił

działających na punkt materialny równa się pochodnej względem

czasu pędu tego punktu. IIZDN

⃗

F = d

dt

(

m ⃗v)

Postać całkowa:

∫

t

1

t

2

∑

i =1

n

⃗

F

i

dt = ⃗

Q

2

− ⃗

Q

1

16.

Podaj, omów i wyprowadź zasadę pędu i popędu oraz

zasadę zachowania pędu.
Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v

punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest
zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości

⃗

p=m ⃗v

. Ruch ciała,

a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego
układu odniesienia, dlatego też pęd jest określany względem tego

układu odniesienia. Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły
przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest
popędem siły (I)

Δ ⃗

p= ⃗

F Δ t

⃗I= ⃗F Δ t

Jeżeli w układzie

inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub

działające siły zewnętrzne równoważą się – pęd nie zmienia się
17.

Podaj i omów zasadę ruchu środka masy bryły

sztywnej.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, gdyż pozwala na

znakomite uproszczenie opisu ruchu układu składającego się z wielu
ciał. Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy dużej ilości ciał,

wystarczy w wielu przypadkach rozważyć jedynie ruch jednego
punktu będącego środkiem mas układu tych ciał. Środek masy

układu zachowuje się tak, jak gdyby cała masa układu znajdowała się
w punkcie środka masy i jak gdyby wszystkie siły działające na ciała

układu były przyłożone do tego punktu.

18.

Zdefiniuj pojęcia krętu i pokrętu dla punktu

materialnego i bryły sztywnej.
Krętem punktu materialnego względem punktu 0 nazywamy
moment pędu tego punktu względem punktu 0.

⃗

K

0

=⃗

r × ⃗

Q

Krętem ciała sztywnego- względem punktu 0, nazywamy sumę
krętow poszczególnych punktów tego ciała względem punktu 0.

⃗

K

0

=

∑

i =1

n

( ⃗

r

i

×

m

i

⃗

v

i

)

m - masa tego punktu
v – prędkość tego punktu

r - odległość tego punktu od punktu 0
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego

nieruchomego punktu
jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych

względem tego samego
punktu.

Suma pokrętów sił zewnętrznych względem punktu O jest równa
przyrostowi krętu ciała.

Twierdzenie to, stanowiące zasadę krętu i pokrętu, zapisujemy

⃗

K

2

− ⃗

K

1

=

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt

19.

Podaj i wyprowadź zasadę krętu w postaci

różniczkowej i całkowej.
Postać różniczkowa: Moment sił zewnętrznych działających na punk

materialny równy jest pochodnej krętu względem czasu.
Wyprowadzenie:

⃗

F =m ⃗a=m ¨⃗r

⃗

r ×⃗F =⃗r ×m ¨⃗r

⃗

r ×m ¨⃗r=⃗r×m ˙⃗v= d

dt

(⃗

r ×m ⃗v)

gdzie ⃗v= ˙⃗r

i

m ⃗v=⃗Q

zatem

⃗

M

0

= d

dt

(⃗

r × ⃗

Q)

stąd

⃗

M

0

= ˙⃗

K

0

Postać całkową

otrzymujemy, całkując stronami powyższe równanie:

⃗

M

0

=

d ⃗

K

0

dt

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt =

∫

⃗

K

1

⃗

K

2

d ⃗

K

0

= ⃗

K

2

− ⃗

K

1

czyli

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt= ⃗

K

2

− ⃗

K

1

20.

Podaj, omów i wyprowadź zasadę zachowania krętu

dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
Krętem (momentem pędu układu punktów materialnych względem

stałego punktu 0) nazywamy wektor równy sumie geometrycznej
momentów pędu punktów względem bieguna 0.

K

0

=

∑

i =1

n

k

i0

=

∑

i =1

n

V

i

×

mV

i

Zasada krętu układu punktów materialnych:

Pochodna krętu względem czasu, względem dowolnego bieguna
równania jest równa sumie geometrycznej momentów sił

zewnętrznych rozpatrywanego układu względem poszczególnych osi:

d ⃗

K

0

dt

=

∑

i =1

n

⃗

M

i ,0

Zasada zachowania krętu układu punktów materialnych:

Kręt układu względem stałego bieguna 0 jest stały, jeżeli suma
geometryczna momentów sił zewnętrznych względem tego bieguna

jest równa zero. Czyli jeżeli M

0

=0 to dK

0

/dt=0 i K

0

=const

21.

Wyprowadzić równanie dynamiczne ruchu

obrotowego, wraz z drugą zasadą dynamiki w ruchu obrotowym.
Moment sił zewnętrznych działający na bryle w ruchu obrotowym
wokół stałej osi równa się iloczynowi momentu bezwładności przez

przyśpieszenie kątowe.

⃗

M = ˙⃗K= d

dt

(

I ⃗

ω )=

I ˙ω =I ⃗ϵ

22.

Jak liczymy kręt w ruchu postępowym a jak w ruchu

obrotowym wokół stałej osi.
Ruch obrotowy:
Zasada krętu w ruchu obrotowym: Kręt względem osi obrotu jest

równy iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrolu i
prędkości kątowej ciała. K=Iω

Ruch postępowy: K

0

=mv

c

h

c

W ruchu postępowym

v

i

=

v

c

c-środek masy Ciało porusza się

ruchem postępowym.Kręt dowolnego punktu o masie M

i

względem

punktu 0 ma postać:

⃗

K

i ,0

=

h

i

m

i

v

i

=

m

i

h

i

v

c

Kręt ciała

∑

i =1

n

m

i

h

i

v

c

=

∑

i =1

n

m h

c

a ponieważ

∑

i =1

n

m

i

h

i

=

mh

c

to

K

0

=mv

c

h

c

. Kręt ciała materialnego względem osi obrotu jest równy

iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości

kątowej ciała K=Iω Kręt całego ciała równa się sumie krętów
poszczególnych punktów .

23.

Zdefiniuj pracę w ruchu prostoliniowym oraz

wyprowadź zależności na pracę w ruchu krzywoliniowym.
Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora przesunięcia
punktu zaczepienia tej siły

L= ⃗

F⋅⃗s

z def. Iloczynu skalarnego

wynika że L=Fscosα. W przypadku gdy punkt przyłożenia siły doznaje

krzywoliniowego przesunięcia obliczamy pracę elementarną

dL=⃗F d ⃗r

dr elementarny przyrost wektora wodzącego

punktu M ponieważ

d ⃗r=dx ⃗i+dy ⃗j+dz ⃗k

⃗

F=F

x

⃗i+F

y

⃗j+F

z

⃗k

możemy zapisać

dL= ⃗

Fd ⃗r=F

x

dx+F

y

dy+F

z

dz

L=

∫

M

1

M

1

⃗

F d ⃗r

24.

Wyprowadź zależności na pracę sił ciężkości oraz sił

sprężystości.
Praca siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jako równa
różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym wyraża

się następującym wzorem: L=U1-U2=mg(z1-z2)=mgh h-różnica
wysokości

Praca siły sprężystości:

L=−k

∫

0

x

xdx=−kx

2

2

25.

Zdefiniuj i wyprowadź zależności na moc.

Moc siły jest pochodną względem czasu pracy tej siły N=dL/dt

ponieważ dL= Fdr to

N = ⃗

F d ⃗r

dt

=⃗

F ⃗v

= Moc jest iloczynem

skalarnym wektora siły i wektora prędkości punktu jej przyłożenia.
Gdy zapisujemy wektory w postaci wersorowej

⃗

F =F

x

⃗i+F

y

⃗j+F

z

⃗k

⃗

v=v

x

⃗i+v

y

⃗j+v

z

⃗

k =˙x⃗i+ ˙y⃗j+˙z ⃗k

więc

N =F

x

˙x+F

y

˙y+ f

z

˙z

Jednostką mocy jest wat 1W

26.

Podaj i wyprowadź zależności na pracę i moc

momentu obrotowego.
Praca momentu obrotowego jest równa iloczynowi momentu

obrotowego i kąta obrotu wału. W przypadku gdy pracę wykonuje
siła styczna do wału na drodze ds elementarna praca dL=Fds=Frdϕ

ponieważ Fr=M przeto dL=Mdϕ stąd L=Mdϕ moc przenoszona przez
wał: N=dL/dt=Mdϕ/dt stąd: N=Mω
27.

Podaj i wyprowadź zależności pomiędzy

podstawowymi jednostkami technicznymi i jednostkami układu SI,
pracy, energii, mocy, prędkości kątowej.
28.

Zdefiniuj sprawność mechaniczną, podaj uproszczony

przebieg mocy i jej strat w układzie napędowym statku.
Sprawność mechaniczna maszyny lub silnika nazywamy stosunek
pracy(lub mocy) użytecznej do pracy lub mocy włożonej Sprawnością

mechaniczną określamy współczynnikiem

η=

L

u

L

o

=

N

u

N

o

sprawność jest wielkością bezwymiarową przy czym zawsze η<1
29.

Jak liczymy energię kinetyczną w ruchu postępowym i

w ruchu obrotowym, wyprowadź i omów te zależności.
Energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym równa jest połowie
iloczynu masy przez kwadrat prędkości środka ciężkości ciała.

Ponieważ w ruchu postępowym prędkości wszystkim punktów ciała

są sobie równe: Zatem otrzymamy

E =1

2

∑

i=1

n

m

i

v

c

2

stąd

E =1

2

m v

c

2

Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi równa

się połowie iloczynu momentu bezwładności ciała i kwadratu

prędkości kątowej czyli

E

i

=1

2

m

i

v

i

2

=1

2

m

i

(

ω

r

i

2

)=1

2

ω

2

m

i

r

i

2

E =

∑

i −1

n

E

i

=

∑

i=1

n

1
2

ω

2

m

i

r

i

2

=1

2

ω

2

∑

i =1

n

m

i

r

i

2

= 1

2

ω

2

I

30.

Wyprowadź zależność pomiędzy energią kinetyczną a

pracą punktu materialnego, omów zasadę energii i pracy.

Przyrost energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił na drodze
na której ten przyrost nastąpił-zasada pracy i energii Energia

kinetyczna układu punktów materialnych lub ciała sztywnego równa
jest sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów układu.

31.

Podaj postać różniczkową zasady energii, zdefiniuj

energię kinetyczną bryły sztywnej oraz energię kinetyczną ciała

materialnego w ruchu płaskim.
Postać różniczkowa zasady energii. Ponieważ iloczyn siły i prędkości
jest równy mocy siły Fv=N ostatnie wyrażenie przyjmuje postać

N = d

dt

( mv

2

2

)= d

dt

(

E )

czyli

N = ˙E

Energia kinetyczna bryły sztywnej jest sumą dwóch składników:
energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i obrotowego.

E =1

2

mv

2

+1

2

I ω

2

32.

Podaj i omów twierdzenie o zasadzie zachowania

energii mechanicznej, podaj przykłady zastosowania.
w układzie izolowanym Em ( Em = Ep + Ek) ciała materialnego jest

wielkością stałą.
Np. w obliczaniu zadań (klocek zsuwa się po równi, krążek toczy się
bez tarcia), do obliczenia prędkości.

33.

Podaj i omów rodzaje reakcji pochodzących od

niewyważenia obracającej się bryły sztywnej; jakie zależności są

niezbędne do wyznaczenia tych reakcji.
Statyczne pochodzące od niewyrównoważenia statycznego:
* Reakcje statyczne - występują, gdy środek masy ciała nie leży na osi
obrotu , ale oś obrotu jest jedną z osi głównych ciała; wektor pędu

jest const., ale obraca się razem z bryłą, a wektor krętu jest stały i
leży na osi obrotu.

Dynamiczne pochodzące od niewyrównoważenia dynamicznego:
* Reakcje dynamiczna – występują, gdy środek masy ciała leży na osi

obrotu, ale oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi głównych ciała;
wektor pędu jest równy zeru, a wektor krętu porusza się wokół

pobocznicy stożka.
* Reakcje statyczno-dynamiczne – występują, gdy środek masy ciała

nie leży na osi obrotu oraz oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi
głównych ciała; wektor pędu jest stały, ale obraca się razem z bryła, a

wektor krętu zatacza się wokół pobocznicy stożka.
Zależności niezbędne do wyznaczania tych reakcji:

∑

i =1

n

⃗

M

i ,0

= d

dt

⃗

K

⃗

M

i ,0

= d

dt

(

I ω)

∑

i =1

n

⃗

F

i

= d

dt

⃗

Q

34.

Podaj cele ułożenia okrętowej linii wałów; omów

problematykę związaną z tym zagadnieniem (jakie zjawiska mają

wpływ na poprawne ułożenie linii wałów).
Cele: - rozkład reakcji łożyskowych - obciążenie wału korbowego -
naprężenia linii wałów
Problematyka:

Rozkład reakcji łożyskowych:
- statyczne ułożenie linii wałów (liczba Somerfelda)

S = R

η

U

( d

c

)

2

S – liczba Somerfelda

R – bearings loading unitary force η – lubricating oil absolute

viscosity U – prędkość względna
d – średnica shaft journal c – bearing slackess

35.

Omów problematykę efektu żyroskopowego, podaj

przykłady praktyczne zastosowania teorii zjawisk żyroskopowych.
Efekt żyroskopowy = zjawisko zachodzące, kiedy obracająca się bryła,

w sposób wymuszony zmienia w przestrzeni położenie osi swojego
obrotu; efekt ten wywołuje powstanie dodatkowego momentu sił

bezwładności, który przeciwdziała zmianie położenia osi obrotu
bryły.
Zastosowanie:
- tłumik kołysania bocznego statku (prędkości kątowe są prostopadłe

=> ω1 prostopadłe do ω2
- szybko obracająca się tarcza w zawieszeniu Cardana => żyrokompas,

żyrohoryzont, automatyczny pilot, itp.
Znajdziemy reakcję łożysk turbiny na oś turbiny, która jest

usytuowana w osi wzdłużnej okrętu. Okręt wykonuje kołysania
wzdłużne.

Przyjęte oznaczenia: n[obr/min] – prędkość obrotowa wirnika
turbiny , Iz [kgm2] – moment bezwładności wirnika względem osi

obrotu , l [m] – rozstaw łożysk

Kołysanie wzdłużne można określić wzorem:

β=β

0

sin( 2 π

T

t)

Gdzie: β

0

[rad] – wychylenie maksymalne, T [s] – okres kołysania

Prędkość kątowa kołysania ω2 po zróżniczkowaniu:

ω

2

=β=β

0

2 π

T

cos ( 2 π

T

t)

Przy czym:

(ω

2

)

max

=β

0

2 π

T

Prędkość kątowa obrotu własnego: ω1=πn/30

Czyli:

R

max

=

2 π

2

β

0

I

z

n

30Tl

Para sił (reakcje łożysk) jest zmienna co do wartości i kierunku.
36.

Wyprowadź uproszczone równanie teorii żyroskopu.

Wektor krętu dla swojego końca jest jednocześnie wektorem
wodzącym, stąd obliczona wartość

⃗v

może być

przedstawiona jako pierwsza pochodna względem czasu wektora
wodzącego, czyli krętu:

⃗

v= ˙⃗K

czyli

˙⃗

K =⃗

ω×

I

z

˙

ω

1

Ponieważ pochodna krętu równa się momentowi sił zewnętrznych
otrzymujemy

⃗

M

0

= ⃗

ω

1

×

I

z

⃗

ω

2

37.

Wyprowadzić i omów przybliżoną metodę

wyznaczania reakcji żyroskopowych łożysk silników okrętowych.
Żyroskopowe reakcje łożysk:
- są zmienne, co do wielkości i kierunku (zanurzanie się i wynurzanie

statku)
- mogą osiągnąć duże wartości (większe od reakcji statycznych

związanych z ciężarem wirnika) w przypadku turbin.
38.

Omów zagadnienia związane z siłami zderzeniowymi.

Siły zderzeniowe (chwilowe) = szczególny rodzaj sił, które odznaczają
się bardzo dużymi wartościami w bardzo krótkim przedziale czasu.
Modelowy przebieg siły o bardzo krótkim czasie działania i

skończonej wartości impulsu siły jest zbliżony do delty Diraca.
Delta Diraca = charakteryzuje się nieskończenie krótkim trwaniem

siły przy nieskończenie dużej wartości siły, ale o skończonym,
równym rzeczywistemu, impulsie siły.

Matematycznie => całka z delty Diraca po nieskończonym czasie
równa się jedności:

∫

t

0

t

0

+τ

F (t) dt=

∫

0

∞

J δ (t−t

0

)

dt=J

39.

Omów podstawowe pojęcia w teorii zderzenia,

zdefiniuj rodzaje zderzeń.
Przy analizie zderzenia operujemy impulsem siły (a nie siłą), który ma
skończoną wartość, bo powoduje skończone zmiany pędu ciała.

Rzeczywisty przebieg siły zderzeniowej nie musi być znany.

Podstawowe równanie teorii zderzenia:

J=mν −m ν

0

Zderzenie = oddziaływanie ciał na siebie w bardzo krótkim przedziale

czasu.
Impulsy sił = nieokreślone siły w zjawisku zderzenia; jeśli zderzenia

nastąpiło w chwili t

0

i trwa przez czas dτ, możemy je określić wzorem:

⃗

S =

∫

t

0

t

o

+

d τ

⃗

P dt

Siła chwilowa = gdy siła P ma wartość nieskończenie wielką.
Współczynnik restytucji (k) = równy ilorazowi prędkości względnej

ciał po odbiciu przez prędkość względną ciał przed odbiciem. [w
zderzeniu prostym centralnym]

Środek uderzenia (e) = taki punkt ciała materialnego osadzonego na
nieruchomej osi, przez który musi przechodzić linia działania siły

chwilowej, aby siła ta nie wywołała reakcji chwilowych łożysk osi

obrotu.

e=

I

z

mh

=

I

c

+

mh

2

mh

Rodzaje zderzeń:
- centralne = linia zderzenia przechodzi przez środki masy obu ciał

- mimośrodowe (ekscentryczne) = linia zderzenia nie przechodzi
przez środki masy obu ciał

- proste = prędkości obu ciał przed zderzeniem leżą na linii zderzenia
- ukośne = prędkości obu ciał przed zderzeniem nie leżą na linii

zderzenia
- idealnie plastyczne = trwałe odkształcenia ciał po ich zderzeniu,

brak odbicia (poruszają się dalej razem), k=0

–

idealnie sprężyste = ciała po zderzeniu wracają do

swego stanu przed uderzeniem, k=1

–

40.

Zdefiniuj i omów współczynnik restytucji

Współczynnik restytucji (odbicia) = określa ilość energii straconej
podczas uderzenia; stosunek impulsów w obu okresach zderzenia.

k =

v

1

' −v

2

'

v

1

−

v

2

v

1

' =

m

1

v

1

+

m

2

v

2

−

km

2

(

v

1

−

v

2

)

m

1

+

m

2

v

2

' =

m

1

v

1

+

m

2

v

2

−

km

1

(

v

1

−

v

2

)

m

1

+

m

2

Δ

E =[

m

1

(

v

1

' )

2

+

m

2

(

v

2

' )

2

2

]−[

m

1

v

1

2

+

m

2

v

2

2

2

]

K =<0;1>

k =

√

h

H

przy spadku swobodnym

41.

Wyprowadź podstawowe zależności dla zderzenia

prostego centralnego.
Uderzenie proste = gdy prędkość względna danego ciała leży na linii

uderzenia
Q1=Q2= const, mv=const, m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
42.

Wyprowadź podstawowe zależności dla zderzenia

ukośnego.
Uderzenie ukośne = gdy prędkość względna danego ciała nie leży na

linii uderzenia

m

1

v

1

cosα

1

+

m

2

v

2

cos α

2

=

m

1

v

1

' cos α

1

' +m

2

v

2

' cosα

2

'

v

1

' cosα

1

'+v

2

' cosα

2

'=−k (v

1

cos α

1

−

v

2

cosα

2

)

v

1

sin α

1

=

v

1

' sin α

1

'

v

2

sin α

2

=

v

2

sinα

2

'

k =

−

v

1

' −v

2

'

v

1

−

v

2

43.

Wyprowadź zależności na reakcje łożyska podczas

zderzenia mimośrodowego; podaj metodę minimalizacji tych reakcji.
Uderzenie mimośrodowe = linia uderzenia nie przechodzi przez

środek masy danego ciała.

Tuż przed uderzeniem:

R

y max

=

mg +ma ω

max

2

W trakcie zderzenia: ω -> 0 i ε < 0 (ε ma wyhamować ciało) =>

R

u

e=I

z

ϵ

e=

ρ

2

+

a

2

a

e – środek uderzenia, przy którym łożysko nie przenosi dodatkowych
obciążeń związanych z uderzeniem

ρ – promień bezwładności ciała względem osi centralnej równoległej
do osi obrotu

Z drugiej zasady dynami dla ruchu obrotowego:

⃗

M = I ⃗r

I

z

=

I

0

+

mρ

2

I

z

=

m ρ

2

+

ma

2

R

u

e=mϵ (ρ

2

+

a

2

)

Twierdzenie o ruchu środka masy:

R

x

−

R

u

=−

m p

c

p

c

=ϵ

a

(gdzie p – przyspieszenie całkowite; a – odległość

miedzy krawędzią jednej masy a środkiem drugiej)

R

u

=

R

x

+

m ϵa

R

x

=

m ϵ(

ρ

2

+

a

2

e

−

a )

44.

Wyprowadź podstawowe równanie drgań w ruchu

postępowym; omów wielkości składowe.

⃗

F =m ⃗a

m ¨x=F (x , ˙x , t)

F (x , ˙x , t)=F

1

(

x)+F

2

( ˙x)+F

3

(

t)

F

1

(

x)

- oddziaływanie sprężyste np. sprężyna,

F

2

( ˙x)

opory ruchu linowego,

F

3

(

t )=F

S

+

F

D

sin (ωt )

- statyczna siła wymuszenia z

zaburzeniami harmonicznymi. Równanie dynamiczne ruchu
postępowego:

m ¨x+c ˙x+kx=F

D

sin( ωt)

45.

Wyprowadź podstawowe równanie drgań w ruchu

obrotowym; omów wielkości składowe.

⃗

M

0

=

I ⃗ϵ

I ¨φ =M (φ , ˙φ ,t)

M (φ , ˙φ ,t)=M

1

(φ)+

M

2

( ˙φ)+M

3

(

t)

M1(ϕ) – oddziaływania

sprężyste, M2(ϕ*) - opory ruchu obrotowego, M3(t) = Mn+Mz
sin(nωt) – moment nominalny maszyny z harmonicznymi
zaburzeniami

I ¨φ+C ˙φ+K φ=M

N

+

M

Z

sin (n ωt)

46.

Omówić i przedstawić graficznie podstawowe

wielkości opisujące ruch drgający.

Częstotliwość drgań: = liczba cykli drgań odbywających się w

jednostce czasu; jednostką [Hz].
Częstość drgań: ω [1/s]= częstość kołowa / kątowa
Cykl drgań = ciąg kolejno następujących położeń (od zerowego, przez

max wychylenie, do zerowego).
Okres drgań (T) = czas trwania jednego cyklu drgania; jednostką [s]

Amplituda: A - maksymalne wychylenie z położenia równowagi;
jednostką jest jednostka długości; może przyjmować wartości

dodatnie lub ujemne, czyli wychylenie może być zgodne ze zwrotem
przyjętego układu odniesienia („+”) lub przeciwne („-”).

47.

Wymienić i omówić różne klasyfikacje drgań

mechanicznych; podać przykłady typów drgań na statkach.
Klasyfikacje drgań ze względu na:
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne)

(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe -
nieokresowe (aperiodyczne)

b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) -
wymuszone - tłumione

c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o „n”
stopniach swobody - drgania układów ciągłych

d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) -
skrętne

e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne
48.

Podaj wektorową interpretację drgań mechanicznych,

wyprowadź i omów podstawowe zależności.

x(t)=Asin (ωt)

v (t)=

dx(t)

dt

=

A ωcos( ωt )

a (t)=

d

2

x (t)

dt

2

=−

A ω

2

sin(ω t)

49.

Co to są drgania harmoniczne, omów składanie drgań

harmonicznych.
Drgania harmoniczne = szczególny przypadek drgań okresowych, w
których wychylenie zmienia się w czasie zgodnie ze zmiennością

funkcji sin lub cos:

x=x(t)=asin(φ )

x=x(t)=acos (φ)

a – amplituda drgań
Składanie drgań harmonicznych = występuje, gdy pewien punkt jest
poddany jednoczesnemu pobudzeniu przez dwa niezależne źródła

drgań; wtedy ten punkt będzie wykonywał drganie będące sumą obu
drgań. Możemy wyróżnić dwa szczególne przypadki:

a) składanie drgań równoległych - drgania odbywają się w tym
samym kierunku, co powoduje powstanie tzw. zdudnienia, czyli

okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim czasie;
b) składaniu drgań prostopadłych - oba drgania odbywają się w

kierunkach prostopadłych do siebie; pod działaniem drgania
wypadkowego punkt porusza się po torze, który często jest bardzo

skomplikowaną krzywą;
50.

Omów zjawiska występujące podczas sumowania się

drgań harmonicznych.
Zdudnienie = okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim
czasie.
51.

Omów wpływ drgań na człowieka i na konstrukcje; w

tym okrętowe.
Na statku wyróżniamy główne źródła hałasu i drgań: silnik główny i
zespoły prądotwórcze, wydech silnika, układ śruby i wału

napędowego.
Źródło drgań mechanicznych - układ fizyczny wytwarzający drgania
mechaniczne, które są przekazywane do innych układów fizycznych,

w tym także do organizmu człowieka.
Wpływ drgań na organizm człowieka:

- skutki biologiczne: zmiany chorobowe w układach (krążenia
naczyniowym, nerwowym, kostno-stawowym), uszkodzenia układu

kostnego i narządów wewnętrznych;
- skutki funkcjonalne: wydłużenie czasu reakcji ruchowej, wydłużenie

czasu reakcji wzrokowej, zakłócenia w koordynacji ruchów,
nadmierne zmęczenie, bezsenność, rozdrażnienie, osłabienie

pamięci.
Wpływ drgań na konstrukcje:

- zmęczenie materiału (szybsze, im częstsza zmiana amplitudy
drgań),

52.

Podaj przykłady i zasady normowania drgań

okrętowych.
Klasyfikacje drgań ze względu na:
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne)

(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe -
nieokresowe (aperiodyczne)

b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) -
wymuszone - tłumione

c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o „n”
stopniach swobody - drgania układów ciągłych

d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) -
skrętne

e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne
53.

Podać metody wyznaczania (szacowania) sztywności

podstawowych elementów konstrukcyjnych.
k=EA/L

0

np. dla podkładek

E – moduł Younga
A – powierzchnia przekroju poprzecznego
L – wymiar

54.

Podać metody wyznaczania (szacowania) tłumień

konstrukcji.

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

δ=

ln

x

1

x

2

gdzie

x1=xmax=x(t1), x2=x(t1+T), T=2Π/ω,

ω=ω

0

√

1−ϵ

2

,

ω=

√

k

m

−(

c

2m

)

2

ω-częstość drgań tłumionych,

δ=

2 π

ϵ

√

√

1−ϵ

2

=

2 π ϵ=Ψ

Ψ-energetyczny współczynnik tłumienia
55.

Co to są drgania własne, wyznaczyć drgania własne

układu o jednym stopniu swobody; przedstawić wykres drgań
swobodnych tłumionych.
Drgania własne (drgania swobodne) = odbywają się bez udziału sił

zewnętrznych, wyjąwszy ewentualny impuls początkowy wytracający
układ z położenia równowagi. D.s. odbywają się z właściwą dla

danego układu drgającego częstością drgań własnych (zależna od
masy i sprężystości tego układu).

M ¨x+C ˙x+kx=0

m ¨x+kx =0

x=Acos(ω t+φ

0

)

m [Acos( ¨ω t+φ

0

)]+

k [Acos (ωt +φ

0

)] =

0

56.

Co to są drgania wymuszone, omówić zjawisko

rezonansu drgań.
Drgania wymuszone = zachodzą, gdy do układu przykładamy

zmienne w czasie siły wymuszające. Jeżeli częstość wymuszeń
(impulsów wymuszających) jest równa częstości drgań własnych

układu, mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansu, podczas
którego obserwuje się wzrost amplitudy drgań.
57.

Zdefiniować podkrytyczny i nadkrytyczny okrętowy

układ napędowy (z punktu widzenia drgań skrętnych); omówić wady
i zalety obu typów układów.
Układ podkrytyczny = układ oscyluje ze zmniejszającą się

wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu
nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy

oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
Układ nadkrytyczny = układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według
zaniku wykładniczego do równowagi. Im większa jest wartość

tłumienia, tym układ powraca wolniej do równowagi.

62. Omów problematykę wymuszeń okrętowego układu

napędowego; co to jest "rząd" wymuszeń, jaka jest różnica pomiędzy
silnikiem dwusuwowym a czterosuwowym z uwagi na "rząd"

wymuszeń.