1.

Podać i omówić prawa Newtona; omówić zakres 

stosowalności tych praw.
I Prawo Newtona: Punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub 

siły, których suma jest równa 0, pozostaje w spoczynku lub porusza 
się ruchem jednostajnym prostoliniowym.
II Prawo Newtona: Siła działająca na punkt materialny jest równa 

pochodnej względem czasu pędu tego punktu. 

⃗

F = d

dt

(

m ⃗v )

III Prawo Newtona: Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów 
materialnych, skierowane wzdłuż prostej łączącej te punkty, są 

równe co do wartości, a przeciwne co do kierunku.
Prawo Newtona powszechnej grawitacji: Dwa punkty materialne o 
masach m1 i m2 działają na siebie z siłą proporcjonalną do iloczynu 

tych mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości tych 
mas. F=kMm/r^2.
2.

Czym zajmuje się mechanika, jakie są jej podstawowe 

działy, omówić zakres zainteresowań tych działów?
Mechanika jest działem fizyki zajmującym się badaniem ruchu ciał 
materialnych. Uczy umiejętności modelowania zjawisk i obiektów w 

szczególności zastępowania realnych konstrukcji pewnymi 
idealizacjami fizycznymi umożliwiając ich matematyczne 

odwzorowanie.
I Statyka. Zajmuje się równowagą układów sił działających na ciało 
pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym 

prostoliniowym.
II Kinematyka. Zajmuje się badaniem geometrycznych właściwości 
ruchu ciał bez uwzględniania ich cech fizycznych i działających na nie 

sił.
III Dynamika. Zajmuje się ruchem ciał w zależności od działających na 
nie sił.
3.

Podać i omówić uproszczenia jakie stosuje się w 

mechanice, w tym w dynamice.
Punkt materialny- ciało o nieskończenie małych wymiarach, 
posiadające masę; modeluje ciała o bardzo małych wymiarach w 

porównaniu z wymiarami otoczenia; wymiary na tyle małe, by 
można pominąć obrót ciała względem układu odniesienia. 

Ciało doskonale sztywne- odległości między jego punktami nie 
zmieniają się, nie podlega odkształceniom pod wpływem 

działających sił, model ciała rzeczywistego gdy odkształcenia są 
pomijalnie małe w stosunku do wymiarów. 

Zasada zesztywnienia- warunki równowagi sił działających na ciało 
odkształcalne nie zostają naruszone przez zesztywnienie tego ciała, 

punkt przyłożenia siły nie ulegnie przesunięciu mimo odkształcenia 
konstrukcji. 

4.

Omówić i wyprowadzić zasadę niezależności działania 

sił.
Gdy na pkt mat. działa jednocześnie n sił F1,F2...Fn, przyspieszenie 

doznane przez rozpatrywany pkt jest równe sumie geometrycznej 
przyspieszeń, które posiadałby ten sam pkt, gdyby każda z sił działała 

na niego osobno. 
a=a1+a2+...+an 

ma1=F1 , ma2=F2 , man=Fn 
ma=F1+F2+...+Fn 

ΣFi=ma 
5.

Omówić prawo powszechnej grawitacji.

  Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 działają na siebie z siłą 

proporcjonalną do iloczynu tych mas i odwrotnie proporcjonalną do 
kwadratu odległości tych mas. F=kMm/r^2.
6.

Napisać dynamiczne równania ruchu i objaśnić, na 

czym polegają dwa podstawowe zadania dynamiki.
 F=ma Fx=max Fy=may Fz=maz 
ax=d2x/dt2=x** 

ay=d2y/dt2=y** 
az=d2z/dt2=z** 

Fx=mx** Fy=my** Fz=mz** 
Pierwsze zad. dyn.-polega na tym że mamy równania parametryczne 

toru (x=x(t), y=y(t), z=z(t)),a chcemy wyznaczyć siłę F, pod której 
wpływem porusza się punkt materialny. Zadanie rozwiązujemy 

różniczkując dwukrotnie po czasie równania parametryczne toru i 
określamy składowe przyspieszenia. Wstawiając je do dynamicznych 

równań ruchu, znajdujemy składowe siły działającej. 
Drugie zad. dyn.- wyznaczenie przy danej masie i sile, przyspieszenia, 

prędkości, toru poruszającego się punktu. 
7.

Omówić zasadę d'Alemberta.

 Jeżeli do sił rzeczywistych działających na pkt. mat. dodamy fikcyjną 

siłę bezwładności, to suma ich równa się zeru. Siłę bezwładności 
otrzymujemy mnożąc masę ciała przez przyspieszenie rzeczywiste ze 

znakiem -. ΣFi+ B= 0 
8.

Wyprowadzić zależności na rzut ukośny punktu 

materialnego.
Zasięg, czas lotu, równanie toru, H max
9.

Omówić podstawowe modele ciał w mechanice oraz 

zakres stosowalności tych modeli.
Pkt. mat. to ciało materialne obdarzone masą, którego wymiary 

geom. mogą zostać zaniedbane w porównaniu z wymiarami 
otoczenia. 
Układ punktów. materialnych to zbiór pkt mat. 
Bryła sztywna to ciało materialne, którego kształt i wymiary nie 

ulegają zmianie pod działaniem sił.  
10.

Co to jest masowy moment bezwładności, jakie są 

rodzaje tych momentów, podać zależności występujące pomiędzy 

tymi momentami.
Iloczyn masy pkt. mat. przez kwadrat odległości od danego punktu, 
prostej lub płaszczyzny. Rodzaje: względem punktu I0(biegunowy, 

równy sumie momentów bezwł. względem 3 prostopadłych 
płaszczyzn przecinających się w tym pkcie oraz połowie sumy 

momentów względem 3 prostych przecinających się w tym pkcie.), 
względem prostej Ix, Iy, Iz (równy sumie mom. względem 2 

prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej prostej), 
względem płaszczyzny Ixy, Iy,z Iz x. 
I0=Ixy,+Iy,z +Iz x 

Ix,=Ixy, +Iz x Iy,=Ixy,+Iy,z Iz=Iy,z +Iz x 
I0=0,5*(Ix,+Iy, +Iz ) 

11.

Podać i udowodnić twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej osi 
jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej 

przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała i kwadratu 
odległości między tymi osiami.
W ten sposób ,znając moment bezwładności względem osi 

przechodzącej przec środek masy,możemy obliczyć moment 
bezwładności względem dowolnej osi równoległej.Jak wyniki ze 

wzorów powyższczych,najmniejszy moment bezwładności jest 
względem osi przechodzącej przez środek ciężkości 
Dowód twierdzenia Steinera 

I

0

=

∫

r

2

dm

I =

∫

R

2

dm

r

2

=

x

2

+

y

2

R

2

=(

d −y)

2

+

x

2

=

d

2

+

r

2

−

2dy

∫

R

2

dm=

∫

r

2

dm+d

2

∫

dm−2d

∫

ydm

I =I

0

+

Md

2

−

2d

∫

ydm

I =I

0

+

Md

2

12.

Co to są masowe momenty dewiacyjne, jak je liczymy 

i do czego mają zastosowanie, co to są osie główne i centralne ciała.
Momentem dewiacyjnym(odśrodkowym) ciała względem dwóch 

prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas 
elementów przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn 
Momenty dewiacyjne względem płaszczyzn: 
Dxy=

∫

(

m)

xydm

 (również dla płaskiego układu współrzędnych) 

Dxy= 

∫

(

m)

xzdm

Dxy= 

∫

(

m)

yzdm

Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, 
jak i 

ujemne, ponieważ w powyższych wzorach − w przeciwieństwie do 
momentów 

bezwładności − występują iloczyny, a nie kwadraty współrzędnych. 
Ponadto 

wykażemy, że jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn, względem których 
obliczamy 

momenty dewiacyjne, jest płaszczyzną symetrii rozpatrywanego 
układu 

materialnego (bryły), to odpowiednie momenty dewiacyjne są 
równe zeru. 

Powyższa własność momentów dewiacyjnych ma duże znaczenie w 
obliczeniach praktycznych. 

Głownymi osiami bezwładności figury płaskiej nazywamy takie osie, 
względem których osiowe momenty bezwładności osiągają wartości 

ekstremalne, zaś moment dewiacyjny jest równy zeru. 
Jeżeli obie główne osie bezwładności orzechodzą przez środek 

ciężkości figury , to nazywamy je głownymi centralnymi osiami 
bezwładności. 

13. Wyznaczyć masowy moment bezwładności dla pręta o masie m i 
długości L, względem osi prostopadłej do osi pręta i przechodzącej 

przez jej środek. 
14.

Zdefiniuj pojęcia pędu, popędu i impulsu siły (wraz z 

interpretacją graficzną) dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
 Pęd punktu materialnego o masie m i predkości v jest iloczynem 

masy oraz prędkości i przedstawia się wzorem Q=mv
Popęd zwany też impulsem i popędem siły – wektorowa wielkość 
fizyczna równa iloczynowi siły i czasu jej działania: I=FΔt lub dla siły 
zmieniającej się w czasie I=Fdt

15.

Podaj i wyprowadź z drugiej zasady dynamiki, zasadę 

pędu w postaci różniczkowej i całkowej.

Postać różniczkowa: 

∑

i =1

n

⃗

F

i

=

m ⃗a=

d

dt

(

m ⃗v )= d

dt

( ⃗

Q)

Suma sił 

działających na punkt materialny równa się pochodnej względem 

czasu pędu tego punktu. IIZDN 

⃗

F = d

dt

(

m ⃗v)

Postać całkowa: 

∫

t

1

t

2

∑

i =1

n

⃗

F

i

dt = ⃗

Q

2

− ⃗

Q

1

16.

Podaj, omów i wyprowadź zasadę pędu i popędu oraz 

zasadę zachowania pędu.
Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v 

punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest 
zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości 

⃗

p=m ⃗v

. Ruch ciała, 

a tym samym i jego prędkość określana jest względem wybranego 
układu odniesienia, dlatego też pęd jest określany względem tego 

układu odniesienia. Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły 
przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest 
popędem siły (I) 

Δ ⃗

p= ⃗

F Δ t

⃗I= ⃗F Δ t

Jeżeli w układzie 

inercjalnym na ciało (układ ciał) nie działa siła zewnętrzna, lub 

działające siły zewnętrzne równoważą się – pęd nie zmienia się 
17.

Podaj i omów zasadę ruchu środka masy bryły 

sztywnej.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, gdyż pozwala na 

znakomite uproszczenie opisu ruchu układu składającego się z wielu 
ciał. Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy dużej ilości ciał, 

wystarczy w wielu przypadkach rozważyć jedynie ruch jednego 
punktu będącego środkiem mas układu tych ciał. Środek masy 

układu zachowuje się tak, jak gdyby cała masa układu znajdowała się 
w punkcie środka masy i jak gdyby wszystkie siły działające na ciała 

układu były przyłożone do tego punktu. 

18.

Zdefiniuj pojęcia krętu i pokrętu dla punktu 

materialnego i bryły sztywnej.
Krętem punktu materialnego względem punktu 0 nazywamy 
moment pędu tego punktu względem punktu 0. 

⃗

K

0

=⃗

r × ⃗

Q

Krętem ciała sztywnego- względem punktu 0, nazywamy sumę 
krętow poszczególnych punktów tego ciała względem punktu 0. 

⃗

K

0

=

∑

i =1

n

( ⃗

r

i

×

m

i

⃗

v

i

)

m - masa tego punktu 
v – prędkość tego punktu 

r - odległość tego punktu od punktu 0 
Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego 

nieruchomego punktu 
jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych 

względem tego samego 
punktu. 

Suma pokrętów sił zewnętrznych względem punktu O jest równa 
przyrostowi krętu ciała. 

Twierdzenie to, stanowiące zasadę krętu i pokrętu, zapisujemy 

⃗

K

2

− ⃗

K

1

=

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt

19.

Podaj i wyprowadź zasadę krętu w postaci 

różniczkowej i całkowej.
Postać różniczkowa: Moment sił zewnętrznych działających na punk 

materialny równy jest pochodnej krętu względem czasu. 
Wyprowadzenie: 

⃗

F =m ⃗a=m ¨⃗r

⃗

r ×⃗F =⃗r ×m ¨⃗r

⃗

r ×m ¨⃗r=⃗r×m ˙⃗v= d

dt

(⃗

r ×m ⃗v)

gdzie ⃗v= ˙⃗r

i

m ⃗v=⃗Q

zatem 

⃗

M

0

= d

dt

(⃗

r × ⃗

Q)

stąd

⃗

M

0

= ˙⃗

K

0

Postać całkową 

otrzymujemy, całkując stronami powyższe równanie: 

⃗

M

0

=

d ⃗

K

0

dt

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt =

∫

⃗

K

1

⃗

K

2

d ⃗

K

0

= ⃗

K

2

− ⃗

K

1

czyli

∫

t

1

t

2

⃗

M

0

dt= ⃗

K

2

− ⃗

K

1

20.

Podaj, omów i wyprowadź zasadę zachowania krętu 

dla punktu materialnego i bryły sztywnej.
Krętem (momentem pędu układu punktów materialnych względem 

stałego punktu 0) nazywamy wektor równy sumie geometrycznej 
momentów pędu punktów względem bieguna 0. 

K

0

=

∑

i =1

n

k

i0

=

∑

i =1

n

V

i

×

mV

i

Zasada krętu układu punktów materialnych: 

Pochodna krętu względem czasu, względem dowolnego bieguna 
równania jest równa sumie geometrycznej momentów sił 

zewnętrznych rozpatrywanego układu względem poszczególnych osi: 

d ⃗

K

0

dt

=

∑

i =1

n

⃗

M

i ,0

Zasada zachowania krętu układu punktów materialnych: 

Kręt układu względem stałego bieguna 0 jest stały, jeżeli suma 
geometryczna momentów sił zewnętrznych względem tego bieguna 

jest równa zero. Czyli jeżeli M

0

=0 to dK

0

/dt=0 i K

0

=const 

21.

Wyprowadzić równanie dynamiczne ruchu 

obrotowego, wraz z drugą zasadą dynamiki w ruchu obrotowym.
Moment sił zewnętrznych działający na bryle w ruchu obrotowym 
wokół stałej osi równa się iloczynowi momentu bezwładności przez 

przyśpieszenie kątowe. 

⃗

M = ˙⃗K= d

dt

(

I ⃗

ω )=

I ˙ω =I ⃗ϵ

22.

Jak liczymy kręt w ruchu postępowym a jak w ruchu 

obrotowym wokół stałej osi.
Ruch obrotowy: 
Zasada krętu w ruchu obrotowym: Kręt względem osi obrotu jest 

równy iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrolu i 
prędkości kątowej ciała. K=Iω

Ruch postępowy: K

0

=mv

c

h

c

 

W ruchu postępowym 

v

i

=

v

c

 c-środek masy Ciało porusza się 

ruchem postępowym.Kręt dowolnego punktu o masie M

i

 względem 

punktu 0 ma postać: 

⃗

K

i ,0

=

h

i

m

i

v

i

=

m

i

h

i

v

c

 Kręt ciała 

∑

i =1

n

m

i

h

i

v

c

=

∑

i =1

n

m h

c

a ponieważ 

∑

i =1

n

m

i

h

i

=

mh

c

to 

K

0

=mv

c

h

c

. Kręt ciała materialnego względem osi obrotu jest równy 

iloczynowi momentu bezwładności względem osi obrotu i prędkości 

kątowej ciała K=Iω Kręt całego ciała równa się sumie krętów 
poszczególnych punktów .

23.

Zdefiniuj pracę w ruchu prostoliniowym oraz 

wyprowadź zależności na pracę w ruchu krzywoliniowym.
Praca jest to iloczyn skalarny wektora siły i wektora przesunięcia 
punktu zaczepienia tej siły 

L= ⃗

F⋅⃗s

 z def. Iloczynu skalarnego 

wynika że L=Fscosα. W przypadku gdy punkt przyłożenia siły doznaje 

krzywoliniowego przesunięcia obliczamy pracę elementarną 

dL=⃗F d ⃗r

dr elementarny przyrost wektora wodzącego 

punktu M ponieważ 

d ⃗r=dx ⃗i+dy ⃗j+dz ⃗k

⃗

F=F

x

⃗i+F

y

⃗j+F

z

⃗k

możemy zapisać 

dL= ⃗

Fd ⃗r=F

x

dx+F

y

dy+F

z

dz

 

L=

∫

M

1

M

1

⃗

F d ⃗r

 

24.

Wyprowadź zależności na pracę sił ciężkości oraz sił 

sprężystości.
Praca siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jako równa 
różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym wyraża 

się następującym wzorem: L=U1-U2=mg(z1-z2)=mgh h-różnica 
wysokości 

Praca siły sprężystości: 

L=−k

∫

0

x

xdx=−kx

2

2

25.

Zdefiniuj i wyprowadź zależności na moc.

Moc siły jest pochodną względem czasu pracy tej siły N=dL/dt 

ponieważ dL= Fdr to 

N = ⃗

F d ⃗r

dt

=⃗

F ⃗v

 = Moc jest iloczynem 

skalarnym wektora siły i wektora prędkości punktu jej przyłożenia. 
Gdy zapisujemy wektory w postaci wersorowej

⃗

F =F

x

⃗i+F

y

⃗j+F

z

⃗k

 

⃗

v=v

x

⃗i+v

y

⃗j+v

z

⃗

k =˙x⃗i+ ˙y⃗j+˙z ⃗k

więc 

N =F

x

˙x+F

y

˙y+ f

z

˙z

 Jednostką mocy jest wat 1W 

26.

Podaj i wyprowadź zależności na pracę i moc 

momentu obrotowego.
Praca momentu obrotowego jest równa iloczynowi momentu 

obrotowego i kąta obrotu wału. W przypadku gdy pracę wykonuje 
siła styczna do wału na drodze ds elementarna praca dL=Fds=Frdϕ 

ponieważ Fr=M przeto dL=Mdϕ stąd L=Mdϕ moc przenoszona przez 
wał: N=dL/dt=Mdϕ/dt stąd: N=Mω 
27.

Podaj i wyprowadź zależności pomiędzy 

podstawowymi jednostkami technicznymi i jednostkami układu SI, 
pracy, energii, mocy, prędkości kątowej.
28.

Zdefiniuj sprawność mechaniczną, podaj uproszczony 

przebieg mocy i jej strat w układzie napędowym statku.
Sprawność mechaniczna maszyny lub silnika nazywamy stosunek 
pracy(lub mocy) użytecznej do pracy lub mocy włożonej Sprawnością 

mechaniczną określamy współczynnikiem 

η=

L

u

L

o

=

N

u

N

o

sprawność jest wielkością bezwymiarową przy czym zawsze η<1 
29.

Jak liczymy energię kinetyczną w ruchu postępowym i 

w ruchu obrotowym, wyprowadź i omów te zależności.
Energia kinetyczna ciała w ruchu postępowym równa jest połowie 
iloczynu masy przez kwadrat prędkości środka ciężkości ciała. 

Ponieważ w ruchu postępowym prędkości wszystkim punktów ciała 

są sobie równe: Zatem otrzymamy 

E =1

2

∑

i=1

n

m

i

v

c

2

 stąd 

E =1

2

m v

c

2

 

Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym wokół stałej osi równa 

się połowie iloczynu momentu bezwładności ciała i kwadratu 

prędkości kątowej czyli 

E

i

=1

2

m

i

v

i

2

=1

2

m

i

(

ω

r

i

2

)=1

2

ω

2

m

i

r

i

2

E =

∑

i −1

n

E

i

=

∑

i=1

n

1
2

ω

2

m

i

r

i

2

=1

2

ω

2

∑

i =1

n

m

i

r

i

2

= 1

2

ω

2

I

30.

Wyprowadź zależność pomiędzy energią kinetyczną a 

pracą punktu materialnego, omów zasadę energii i pracy.

Przyrost energii kinetycznej równa się pracy wszystkich sił na drodze 
na której ten przyrost nastąpił-zasada pracy i energii Energia 

kinetyczna układu punktów materialnych lub ciała sztywnego równa 
jest sumie energii kinetycznych poszczególnych punktów układu.

31.

Podaj postać różniczkową zasady energii, zdefiniuj 

energię kinetyczną bryły sztywnej oraz energię kinetyczną ciała 

materialnego w ruchu płaskim.
Postać różniczkowa zasady energii. Ponieważ iloczyn siły i prędkości 
jest równy mocy siły Fv=N ostatnie wyrażenie przyjmuje postać 

N = d

dt

( mv

2

2

)= d

dt

(

E )

czyli

N = ˙E

Energia kinetyczna bryły sztywnej jest sumą dwóch składników: 
energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i obrotowego. 

E =1

2

mv

2

+1

2

I ω

2

32.

Podaj i omów twierdzenie o zasadzie zachowania 

energii mechanicznej, podaj przykłady zastosowania.
w układzie izolowanym Em ( Em = Ep + Ek) ciała materialnego jest 

wielkością stałą. 
Np. w obliczaniu zadań (klocek zsuwa się po równi, krążek toczy się 
bez tarcia), do obliczenia prędkości. 

33.

Podaj i omów rodzaje reakcji pochodzących od 

niewyważenia obracającej się bryły sztywnej; jakie zależności są 

niezbędne do wyznaczenia tych reakcji.
Statyczne pochodzące od niewyrównoważenia statycznego: 
* Reakcje statyczne - występują, gdy środek masy ciała nie leży na osi 
obrotu , ale oś obrotu jest jedną z osi głównych ciała; wektor pędu 

jest const., ale obraca się razem z bryłą, a wektor krętu jest stały i 
leży na osi obrotu. 

Dynamiczne pochodzące od niewyrównoważenia dynamicznego: 
* Reakcje dynamiczna – występują, gdy środek masy ciała leży na osi 

obrotu, ale oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi głównych ciała; 
wektor pędu jest równy zeru, a wektor krętu porusza się wokół 

pobocznicy stożka. 
* Reakcje statyczno-dynamiczne – występują, gdy środek masy ciała 

nie leży na osi obrotu oraz oś obrotu nie pokrywa się z żadną z osi 
głównych ciała; wektor pędu jest stały, ale obraca się razem z bryła, a 

wektor krętu zatacza się wokół pobocznicy stożka. 
Zależności niezbędne do wyznaczania tych reakcji: 

∑

i =1

n

⃗

M

i ,0

= d

dt

⃗

K

⃗

M

i ,0

= d

dt

(

I ω)

∑

i =1

n

⃗

F

i

= d

dt

⃗

Q

34.

Podaj cele ułożenia okrętowej linii wałów; omów 

problematykę związaną z tym zagadnieniem (jakie zjawiska mają 

wpływ na poprawne ułożenie linii wałów).
Cele:  - rozkład reakcji łożyskowych  - obciążenie wału korbowego  - 
naprężenia linii wałów 
Problematyka: 

Rozkład reakcji łożyskowych: 
- statyczne ułożenie linii wałów (liczba Somerfelda) 

S = R

η

U

( d

c

)

2

S – liczba Somerfelda 

R – bearings loading unitary force  η – lubricating oil absolute 

viscosity  U – prędkość względna 
d – średnica shaft journal  c – bearing slackess 

35.

Omów problematykę efektu żyroskopowego, podaj 

przykłady praktyczne zastosowania teorii zjawisk żyroskopowych.
Efekt żyroskopowy = zjawisko zachodzące, kiedy obracająca się bryła, 

w sposób wymuszony zmienia w przestrzeni położenie osi swojego 
obrotu; efekt ten wywołuje powstanie dodatkowego momentu sił 

bezwładności, który przeciwdziała zmianie położenia osi obrotu 
bryły. 
Zastosowanie: 
- tłumik kołysania bocznego statku (prędkości kątowe są prostopadłe 

=> ω1 prostopadłe do ω2 
- szybko obracająca się tarcza w zawieszeniu Cardana => żyrokompas, 

żyrohoryzont, automatyczny pilot, itp. 
Znajdziemy reakcję łożysk turbiny na oś turbiny, która jest 

usytuowana w osi wzdłużnej okrętu. Okręt wykonuje kołysania 
wzdłużne. 

Przyjęte oznaczenia: n[obr/min] – prędkość obrotowa wirnika 
turbiny , Iz [kgm2] – moment bezwładności wirnika względem osi 

obrotu , l [m] – rozstaw łożysk 

Kołysanie wzdłużne można określić wzorem: 

β=β

0

sin( 2 π

T

t)

Gdzie: β

0

[rad] – wychylenie maksymalne, T [s] – okres kołysania 

Prędkość kątowa kołysania ω2 po zróżniczkowaniu: 

ω

2

=β=β

0

2 π

T

cos ( 2 π

T

t)

Przy czym: 

(ω

2

)

max

=β

0

2 π

T

Prędkość kątowa obrotu własnego: ω1=πn/30

Czyli: 

R

max

=

2 π

2

β

0

I

z

n

30Tl

Para sił (reakcje łożysk) jest zmienna co do wartości i kierunku. 
36.

Wyprowadź uproszczone równanie teorii żyroskopu.

Wektor krętu dla swojego końca jest jednocześnie wektorem 
wodzącym, stąd obliczona wartość 

⃗v

może być 

przedstawiona jako pierwsza pochodna względem czasu wektora 
wodzącego, czyli krętu: 

⃗

v= ˙⃗K

czyli 

˙⃗

K =⃗

ω×

I

z

˙

ω

1

Ponieważ pochodna krętu równa się momentowi sił zewnętrznych 
otrzymujemy 

⃗

M

0

= ⃗

ω

1

×

I

z

⃗

ω

2

37.

Wyprowadzić i omów przybliżoną metodę 

wyznaczania reakcji żyroskopowych łożysk silników okrętowych.
Żyroskopowe reakcje łożysk: 
- są zmienne, co do wielkości i kierunku (zanurzanie się i wynurzanie 

statku) 
- mogą osiągnąć duże wartości (większe od reakcji statycznych 

związanych z ciężarem wirnika) w przypadku turbin. 
38.

Omów zagadnienia związane z siłami zderzeniowymi.

Siły zderzeniowe (chwilowe) = szczególny rodzaj sił, które odznaczają 
się bardzo dużymi wartościami w bardzo krótkim przedziale czasu. 
Modelowy przebieg siły o bardzo krótkim czasie działania i 

skończonej wartości impulsu siły jest zbliżony do delty Diraca. 
Delta Diraca = charakteryzuje się nieskończenie krótkim trwaniem 

siły przy nieskończenie dużej wartości siły, ale o skończonym, 
równym rzeczywistemu, impulsie siły. 

Matematycznie => całka z delty Diraca po nieskończonym czasie 
równa się jedności: 

∫

t

0

t

0

+τ

F (t) dt=

∫

0

∞

J δ (t−t

0

)

dt=J

39.

Omów podstawowe pojęcia w teorii zderzenia, 

zdefiniuj rodzaje zderzeń.
Przy analizie zderzenia operujemy impulsem siły (a nie siłą), który ma 
skończoną wartość, bo powoduje skończone zmiany pędu ciała. 

Rzeczywisty przebieg siły zderzeniowej nie musi być znany. 

Podstawowe równanie teorii zderzenia: 

J=mν −m ν

0

Zderzenie = oddziaływanie ciał na siebie w bardzo krótkim przedziale 

czasu. 
Impulsy sił = nieokreślone siły w zjawisku zderzenia; jeśli zderzenia 

nastąpiło w chwili t

0

 i trwa przez czas dτ, możemy je określić wzorem: 

⃗

S =

∫

t

0

t

o

+

d τ

⃗

P dt

Siła chwilowa = gdy siła P ma wartość nieskończenie wielką. 
Współczynnik restytucji (k) = równy ilorazowi prędkości względnej 

ciał po odbiciu przez prędkość względną ciał przed odbiciem. [w 
zderzeniu prostym centralnym] 

Środek uderzenia (e) = taki punkt ciała materialnego osadzonego na 
nieruchomej osi, przez który musi przechodzić linia działania siły 

chwilowej, aby siła ta nie wywołała reakcji chwilowych łożysk osi 

obrotu.  

e=

I

z

mh

=

I

c

+

mh

2

mh

Rodzaje zderzeń: 
- centralne = linia zderzenia przechodzi przez środki masy obu ciał 

- mimośrodowe (ekscentryczne) = linia zderzenia nie przechodzi 
przez środki masy obu ciał 

- proste = prędkości obu ciał przed zderzeniem leżą na linii zderzenia 
- ukośne = prędkości obu ciał przed zderzeniem nie leżą na linii 

zderzenia 
- idealnie plastyczne = trwałe odkształcenia ciał po ich zderzeniu, 

brak odbicia (poruszają się dalej razem), k=0 

–

idealnie sprężyste = ciała po zderzeniu wracają do 

swego stanu przed uderzeniem, k=1

–

40.

Zdefiniuj i omów współczynnik restytucji

Współczynnik restytucji (odbicia) = określa ilość energii straconej 
podczas uderzenia; stosunek impulsów w obu okresach zderzenia. 

k =

v

1

' −v

2

'

v

1

−

v

2

v

1

' =

m

1

v

1

+

m

2

v

2

−

km

2

(

v

1

−

v

2

)

m

1

+

m

2

v

2

' =

m

1

v

1

+

m

2

v

2

−

km

1

(

v

1

−

v

2

)

m

1

+

m

2

Δ

E =[

m

1

(

v

1

' )

2

+

m

2

(

v

2

' )

2

2

]−[

m

1

v

1

2

+

m

2

v

2

2

2

]

K =<0;1>

k =

√

h

H

przy spadku swobodnym

41.

Wyprowadź podstawowe zależności dla zderzenia 

prostego centralnego.
Uderzenie proste = gdy prędkość względna danego ciała leży na linii 

uderzenia 
Q1=Q2= const, mv=const, m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
42.

Wyprowadź podstawowe zależności dla zderzenia 

ukośnego.
Uderzenie ukośne = gdy prędkość względna danego ciała nie leży na 

linii uderzenia 

m

1

v

1

cosα

1

+

m

2

v

2

cos α

2

=

m

1

v

1

' cos α

1

' +m

2

v

2

' cosα

2

'

v

1

' cosα

1

'+v

2

' cosα

2

'=−k (v

1

cos α

1

−

v

2

cosα

2

)

v

1

sin α

1

=

v

1

' sin α

1

'

v

2

sin α

2

=

v

2

sinα

2

'

k =

−

v

1

' −v

2

'

v

1

−

v

2

43.

Wyprowadź zależności na reakcje łożyska podczas 

zderzenia mimośrodowego; podaj metodę minimalizacji tych reakcji.
Uderzenie mimośrodowe = linia uderzenia nie przechodzi przez 

środek masy danego ciała. 

Tuż przed uderzeniem: 

R

y max

=

mg +ma ω

max

2

W trakcie zderzenia: ω -> 0 i ε < 0 (ε ma wyhamować ciało) => 

R

u

e=I

z

ϵ

e=

ρ

2

+

a

2

a

e – środek uderzenia, przy którym łożysko nie przenosi dodatkowych 
obciążeń związanych z uderzeniem 

ρ – promień bezwładności ciała względem osi centralnej równoległej 
do osi obrotu 

Z drugiej zasady dynami dla ruchu obrotowego:  

⃗

M = I ⃗r

I

z

=

I

0

+

mρ

2

I

z

=

m ρ

2

+

ma

2

R

u

e=mϵ (ρ

2

+

a

2

)

Twierdzenie o ruchu środka masy: 

R

x

−

R

u

=−

m p

c

p

c

=ϵ

a

(gdzie p – przyspieszenie całkowite; a – odległość 

miedzy krawędzią jednej masy a środkiem drugiej) 

R

u

=

R

x

+

m ϵa

R

x

=

m ϵ(

ρ

2

+

a

2

e

−

a )

44.

Wyprowadź podstawowe równanie drgań w ruchu 

postępowym; omów wielkości składowe.

⃗

F =m ⃗a

m ¨x=F (x , ˙x , t)

F (x , ˙x , t)=F

1

(

x)+F

2

( ˙x)+F

3

(

t)

F

1

(

x)

- oddziaływanie sprężyste np. sprężyna,

 

F

2

( ˙x)

opory ruchu linowego, 

F

3

(

t )=F

S

+

F

D

sin (ωt )

- statyczna siła wymuszenia z 

zaburzeniami harmonicznymi. Równanie dynamiczne ruchu 
postępowego: 

m ¨x+c ˙x+kx=F

D

sin( ωt)

45.

Wyprowadź podstawowe równanie drgań w ruchu 

obrotowym; omów wielkości składowe.

⃗

M

0

=

I ⃗ϵ

I ¨φ =M (φ , ˙φ ,t)

M (φ , ˙φ ,t)=M

1

(φ)+

M

2

( ˙φ)+M

3

(

t)

M1(ϕ) – oddziaływania 

sprężyste, M2(ϕ*) - opory ruchu obrotowego, M3(t) = Mn+Mz 
sin(nωt) – moment nominalny maszyny z harmonicznymi 
zaburzeniami 

I ¨φ+C ˙φ+K φ=M

N

+

M

Z

sin (n ωt)

46.

Omówić i przedstawić graficznie podstawowe 

wielkości opisujące ruch drgający.

Częstotliwość drgań: = liczba cykli drgań odbywających się w 

jednostce czasu; jednostką [Hz]. 
Częstość drgań: ω [1/s]= częstość kołowa / kątowa 
Cykl drgań = ciąg kolejno następujących położeń (od zerowego, przez 

max wychylenie, do zerowego). 
Okres drgań (T) = czas trwania jednego cyklu drgania; jednostką [s] 

Amplituda: A - maksymalne wychylenie z położenia równowagi; 
jednostką jest jednostka długości; może przyjmować wartości 

dodatnie lub ujemne, czyli wychylenie może być zgodne ze zwrotem 
przyjętego układu odniesienia („+”) lub przeciwne („-”). 

47.

Wymienić i omówić różne klasyfikacje drgań 

mechanicznych; podać przykłady typów drgań na statkach.
Klasyfikacje drgań ze względu na: 
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne) 

(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe - 
nieokresowe (aperiodyczne) 

b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) - 
wymuszone - tłumione 

c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o „n” 
stopniach swobody - drgania układów ciągłych 

d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) - 
skrętne 

e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne 
48.

Podaj wektorową interpretację drgań mechanicznych, 

wyprowadź i omów podstawowe zależności.

x(t)=Asin (ωt)

v (t)=

dx(t)

dt

=

A ωcos( ωt )

a (t)=

d

2

x (t)

dt

2

=−

A ω

2

sin(ω t)

49.

Co to są drgania harmoniczne, omów składanie drgań 

harmonicznych.
Drgania harmoniczne = szczególny przypadek drgań okresowych, w 
których wychylenie zmienia się w czasie zgodnie ze zmiennością 

funkcji sin lub cos: 

x=x(t)=asin(φ )

x=x(t)=acos (φ)

a – amplituda drgań 
Składanie drgań harmonicznych = występuje, gdy pewien punkt jest 
poddany jednoczesnemu pobudzeniu przez dwa niezależne źródła 

drgań; wtedy ten punkt będzie wykonywał drganie będące sumą obu 
drgań. Możemy wyróżnić dwa szczególne przypadki: 

a) składanie drgań równoległych - drgania odbywają się w tym 
samym kierunku, co powoduje powstanie tzw. zdudnienia, czyli 

okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim czasie; 
b) składaniu drgań prostopadłych - oba drgania odbywają się w 

kierunkach prostopadłych do siebie; pod działaniem drgania 
wypadkowego punkt porusza się po torze, który często jest bardzo 

skomplikowaną krzywą; 
50.

Omów zjawiska występujące podczas sumowania się 

drgań harmonicznych.
Zdudnienie = okresowego dużego zmniejszenia drgań w krótkim 
czasie. 
51.

Omów wpływ drgań na człowieka i na konstrukcje; w 

tym okrętowe.
Na statku wyróżniamy główne źródła hałasu i drgań: silnik główny i 
zespoły prądotwórcze, wydech silnika, układ śruby i wału 

napędowego. 
Źródło drgań mechanicznych - układ fizyczny wytwarzający drgania 
mechaniczne, które są przekazywane do innych układów fizycznych, 

w tym także do organizmu człowieka. 
Wpływ drgań na organizm człowieka: 

- skutki biologiczne: zmiany chorobowe w układach (krążenia 
naczyniowym, nerwowym, kostno-stawowym), uszkodzenia układu 

kostnego i narządów wewnętrznych; 
- skutki funkcjonalne: wydłużenie czasu reakcji ruchowej, wydłużenie 

czasu reakcji wzrokowej, zakłócenia w koordynacji ruchów, 
nadmierne zmęczenie, bezsenność, rozdrażnienie, osłabienie 

pamięci. 
Wpływ drgań na konstrukcje: 

- zmęczenie materiału (szybsze, im częstsza zmiana amplitudy 
drgań), 

52.

Podaj przykłady i zasady normowania drgań 

okrętowych.
Klasyfikacje drgań ze względu na: 
a) charakter kolejnych cykli drgań: - okresowe (periodyczne) 

(szczególnym przypadkiem drgania harmoniczne) - quasi-okresowe - 
nieokresowe (aperiodyczne) 

b) siły działające na drgający układ - swobodne (własne) - 
wymuszone - tłumione 

c) liczbę stopni swobody: - o jednym stopniu swobody - o „n” 
stopniach swobody - drgania układów ciągłych 

d) kierunek działania drgań: - wzdłużne - giętne (poprzeczne) - 
skrętne 

e) rozmieszczenie drgań: - globalne - strefowe - lokalne 
53.

Podać metody wyznaczania (szacowania) sztywności 

podstawowych elementów konstrukcyjnych.
k=EA/L

0  

np. dla podkładek

E – moduł Younga
A – powierzchnia przekroju poprzecznego
L – wymiar

54.

Podać metody wyznaczania (szacowania) tłumień 

konstrukcji.

Logarytmiczny dekrement tłumienia: 

δ=

ln

x

1

x

2

gdzie 

x1=xmax=x(t1), x2=x(t1+T), T=2Π/ω, 

ω=ω

0

√

1−ϵ

2

, 

ω=

√

k

m

−(

c

2m

)

2

ω-częstość drgań tłumionych, 

δ=

2 π

ϵ

√

√

1−ϵ

2

=

2 π ϵ=Ψ

Ψ-energetyczny współczynnik tłumienia
55.

Co to są drgania własne, wyznaczyć drgania własne 

układu o jednym stopniu swobody; przedstawić wykres drgań 
swobodnych tłumionych.
Drgania własne (drgania swobodne) = odbywają się bez udziału sił 

zewnętrznych, wyjąwszy ewentualny impuls początkowy wytracający 
układ z położenia równowagi. D.s. odbywają się z właściwą dla 

danego układu drgającego częstością drgań własnych (zależna od 
masy i sprężystości tego układu). 

M ¨x+C ˙x+kx=0

m ¨x+kx =0

x=Acos(ω t+φ

0

)

m [Acos( ¨ω t+φ

0

)]+

k [Acos (ωt +φ

0

)] =

0

56.

Co to są drgania wymuszone, omówić zjawisko 

rezonansu drgań.
Drgania wymuszone = zachodzą, gdy do układu przykładamy 

zmienne w czasie siły wymuszające. Jeżeli częstość wymuszeń 
(impulsów wymuszających) jest równa częstości drgań własnych 

układu, mamy do czynienia ze zjawiskiem rezonansu, podczas 
którego obserwuje się wzrost amplitudy drgań. 
57.

Zdefiniować podkrytyczny i nadkrytyczny okrętowy 

układ napędowy (z punktu widzenia drgań skrętnych); omówić wady 
i zalety obu typów układów.
Układ podkrytyczny = układ oscyluje ze zmniejszającą się 

wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu 
nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy 

oraz zmniejszenie częstości drgań układu. 
Układ nadkrytyczny = układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według 
zaniku wykładniczego do równowagi. Im większa jest wartość 

tłumienia, tym układ powraca wolniej do równowagi. 

62. Omów problematykę wymuszeń okrętowego układu 

napędowego; co to jest "rząd" wymuszeń, jaka jest różnica pomiędzy 
silnikiem dwusuwowym a czterosuwowym z uwagi na "rząd" 

wymuszeń.