1. Linia geodezyjna: podaj jej przebieg φ=0^o, A=45^o, λ=30^o. Podaj przykłady zastosowania linii geodezyjnej w geodezji.

2. Oblicz azymut ( linia geodezyjna)

3. Znaczenie linii geodezyjnej w obliczeniach pomiarowych na elipsoidzie.

4. Znaczenie linii geodezyjnej w obliczeniach (pomiarach) na elipsoidzie obrotowej.

5. Oblicz azymut linii geodezyjnej (równanie clairauta)

6. Podać przebieg linii geodezyjnej mając dane: α=30^o, A=45^o, ϕ=0^o. Podać zastosowanie tej linii do rozwiązywania podstawowych zadań geodezji wyższej

Linia geodezyjna (ortodroma) i jej własności, przykłady

Definicja – krzywa na powierzchni, dla której normalna do powierzchni wystawiona w każdym punkcie krzywej pokrywa się z normalną główną tej krzywej (leży w płaszczyźnie ściśle stycznej tej krzywej).

W ujęciu dynamicznym: krzywa na powierzchni, po której poruszałby się punkt bez działania siły, gdyby musiał się poruszać.

Własności linii geodezyjnej:

• krzywizna geodezyjna ortodromy jest równa zero (krzywizna l.g. to krzywizna rzutu linii na płaszczyznę styczną do powierzchni)

• przez dwa punkty (lub przez każdy punkt) przechodzi nieskończenie wiele linii geodezyjnych,

• najkrótsza odległość między dwoma punktami jest linią geodezyjną, ale linia geodezyjna nie musi być najkrótszą odległością między dwoma punktami,

• na małych obszarach (fragment kuli, elipsoidy) połączenie ortodromą jest jednoznaczne,

• równanie linii geodezyjnej dla powierzchni obrotowej: Twierdzenie Clairaut’a

Przykłady linii geodezyjnej:

• na powierzchni kulistej to koło wielkie (równik, południki),

• na walcu to linia śrubowa lub tworząca,

• na płaszczyźnie to prosta.

Twierdzenie Clairaut’a o przebiegu linii geodezyjnej na powierzchni obrotowej, zastosowanie szerokości zredukowanej

r sin A = N cosB sin A = constans

wykorzystując szerokość zredukowaną: N cos B = a cosy stąd cosy sin A = const

A – azymut linii geodezyjnej

Opis przebiegu linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej:

Gdy punkt porusza się po linii geodezyjnej, iloczyn odległości punktu od osi obrotu (r) i sinusa azymutu (sinA)

jest wartością stałą, a więc zmianie promienia równoleżnika (r) towarzyszy taka zmiana azymutu A, że

r*sinA= const

Iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest stały na całej jej długości.

Wzajemne przekroje normalne i linia geodezyjna

Jeżeli punkty P₁ i P₂ leżą na rożnych równoleżnikach (B1¹B2) wtedy normalna n₁ jest wichrowata w stosunku do normalnej n₂. Płaszczyzny przekrojów normalnych n1P2 i n2P1 nie pokrywają się. Płaszczyzny te przecinają się pod powierzchnią elipsoidy wzdłuż cięciwy P1P2. Na powierzchni elipsoidy powstają dwa przekroje normalne. Ich wzajemne położenie określają kąt w i odległość q.

Zastosowanie linii geodezyjnej

W rozwiązaniach zagadnień geodezyjnych np. triangulacja, podstawowe znaczenie ma linia geodezyjna, ponieważ daje jednoznaczne rozwiązanie i na niewielkim, zamkniętym obszarze jest najkrótszym odcinkiem łączącym dwa punkty. Służy do obliczania współrzędnych geodezyjnych B, L oraz azymutu A.

Jaka jest długość ortodromy pomiędzy B i C?

c= 90° - ϕ_{Β dla przypomnienia} cos (90°−λ)=sin λ

b=90° - ϕ_Α

A=Δλ

Cos a = sin ϕ_Β sin ϕ_C + cosϕ_Β cosϕ_C cosΔλ