METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH

PROJEKT: KRATOWNICA

Kamil Jaźwiński

Mechanika i Budowa Maszyn [zaoczne] sem. V

Specjalizacja: KWPiW

Obliczam reakcje w podporach lewej części kratownicy oraz siły oddziaływań drugiej części:

Dane:

A = 1,2 m

B = 0,6 m

P₁ = 20 kN

P₂ = 25 kN

P₃ = 30 kN

P₄ = 35 kN

1. $\sum_{}^{}{Fix = Rax - Rbx - Rcx = 0}$

2. $\sum_{}^{}{Fiy = {- P}_{1}} - P_{2} + Rcy = 0$

3. $\sum_{}^{}\text{Mi}_{B} = - \left( Rax*a \right) - \left( P_{1}*2a \right) - \left( P_{2}*4a \right) + \left( Rcy*4a \right) = 0$

Z 1 mamy:

Rbx = Rax − Rcx

Z 2 mamy:

Rcy = P₁ + P₂ = 20 + 25 = 45 kN

Z 3 mamy:

Rax * a = −(P₁*2a) − (P₂*4a) + (Rcy*4a)      |:a

Rax = −40 − 100 + 180 = 40 kN

Z braku możliwości dalszego rozwiązywania przechodzimy do obliczeń dla prawej strony kratownicy

Obliczam reakcje w podporach prawej części kratownicy oraz siły oddziaływań drugiej części:

1. $\sum_{}^{}{Fix = \text{Rcx} - P_{4} = 0}$

2. $\sum_{}^{}{Fiy = - Rey + Rdy - P_{3} - Rcy} = 0$

3. $\sum_{}^{}\text{Mi}_{B} = \left( P_{3}*6a \right) + \left( Rcy*8a \right) - (Rdy*4a) = 0$

Z 1 mamy:

Rcx = P₄ = 35 kN

Z 3 mamy:

Rdy * 4a = (P₃ * 6a)+(Rcy * 8a)      |  : a

4Rdy = 180 + 360 = 540 kN

Rdy = 135 kN

Z 2 mamy:

Rey = Rdy − P₃ − Rcy = 135 − 45 − 30 = 60 kN

Wracając do lewej strony belki z 1 mamy:

Rbx = Rax − Rcx = 40 − 35 = 5 kN

Policzone reakcje:

Symbol	Rax	Rbx	Rcx	Rcy	Rdy	Rey
Siła [kN]	40	5	35	45	135	60

Obliczam naprężenia dla najbardziej wytężonego pręta.

• Najmniejszy główny centralny moment bezwładności przekroju elementu:

$$I_{\min} = \frac{\pi*{(d_{\text{zewn.}})}^{4}}{64} - \frac{\pi*\left( d_{w\text{ewn.}} \right)^{4}}{64} = \frac{\pi*\left( 30 \right)^{4}}{64} - \frac{\pi*\left( 20 \right)^{4}}{64} = 31890,625\ \text{mm}^{4}$$

• Przekrój poprzeczny profilu:

$$A = \frac{\pi*{(d_{\text{zewn.}})}^{2}}{4} - \frac{\pi*\left( d_{w\text{ewn.}} \right)^{2}}{4} = \frac{\pi*\left( 30 \right)^{2}}{4} - \frac{\pi*\left( 20 \right)^{2}}{64} = 392,5\ \text{mm}^{2}$$

• Najmniejszy promień bezwładności przekroju poprzecznego elementu

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} = \sqrt{\frac{31890,625}{392,5}} = 9,01\ mm$$

• Obliczam smukłość:

$$S = \frac{\mu*l}{i_{\min}} = \frac{1*1200}{9,01} = 133,18$$

• Obliczam smukłość krytyczną:

$$S_{\text{kr}} = \pi*\sqrt{\frac{E}{R_{H}}} = 3,14*\sqrt{\frac{2,06*10^{5}}{200}} = 100,77$$

Ponieważ S > S_kr , obliczam naprężenia krytyczne z wzoru Eulera

$$\sigma_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}*E}{S^{2}} = \frac{{3,14}^{2}*2,06*10^{5}}{{135,18}^{2}} = 114,54\ MPa$$

Sprawdzam, czy maksymalne siły rozciągające i ściskające nie są większe od naprężenia krytycznego.

• Pręt ściskany:

$$\frac{F}{A} = \frac{2,45*10^{5}}{392,5} = 624,2\ MPa$$

Naprężenie w pręcie ściskanym jest prawie 6 razy większe od naprężenia krytycznego, pręt ulegnie wyboczeniu.

• Pręt rozciągany:

$$\frac{F}{A} = \frac{2,40*10^{5}}{392,5} = 611,4\text{\ MPa}$$

Naprężenie w pręcie rozciąganym również jest prawie 6 razy większe od naprężenia krytycznego.

Wnioski:

Wielkości reakcji wyliczone za pomocą programu i metodą analityczną są niemal identyczne co potwierdza zasadność stosowania programów tego typu do obliczeń, szczególnie jeżeli mamy do czynienia z bardzo złożonymi przypadkami.

Użyte materiały do budowy kratownicy nie wytrzymałyby pod naporem sił działających na nie. Aby kratownica nie uległa zniekształceniu należy ją przeprojektować, zmienić punkty zaczepienia sił działających na nią, bądź też zwiększyć liczbę podpór.