SPRAWOZDANIE

Temat: Zastosowanie metody elementów skończonych do rozwiązywania układów prętowych.

1. Cel ćwiczenia [instrukcja]:

• Zapoznanie się z metodą elementów skończonych w aspekcie zastosowania do rozwiązywania układów prętowych.

• Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych (PROZC, KRATA, BELKA, RAMA2D, PRO-MES, ABC, PATRAN lub podobne) i jego obsługą w przypadku zagadnień prętowych.

• Wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w ramach i kratownicach statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych.

1. Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie [instrukcja]

Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najczęściej stosowanych metod komputerowych (numerycznych) służących do rozwiązywania tzw. zagadnień brzegowych mechaniki. Istota metody sprowadza się do zastąpienia modelu ciągłego układu mechanicznego modelem dyskretnym. Model dyskretny przyjmuje w rezultacie postać układu równań algebraicznych.

W przypadku układu prętów rozciąganych (ściskanych) i kratownic pole przemieszczeń osiowych spełnia następujące równanie różniczkowe:

$\frac{d}{\text{dx}}\left( a(x \right)\frac{\text{du}\left( x \right)}{\text{dx}}) + q\left( x \right) = 0\ \ \ \ \ \ \ dla\ ) < x < L$ (1)

∖n

$u\left( 0 \right) = u_{0\ }\ ,\text{\ \ \ \ \ \ }\left( a\frac{\text{du}}{\text{dx}} \right)|_{x = L} = Q_{0}$ (2)

gdzie a = a(x) = A(x)E – sztywność na rozciąganie.

W celu rozwiązania równania należy podzielić obszar pręta Ω(x) na N części o długości h_e, e=1,2,…,N , które nazywa się elementami skończonymi.

W celu rozwiązania układu najpierw należy oznaczyć przemieszczenia węzłowe u_i^e i siły normalne Q_i^e, i=1,2… Poszukiwane pole przemieszczeń na elemencie Ω^e aproksymować będziemy za pomocą pewnego wielomianu potęgowego $u\left( x \right) \approx U^{e} = \sum_{j = 1}^{n}u_{j}^{e}N_{j}\left( x \right)$, gdzie u_j^e są nieznanymi wartościami węzłowymi przemieszczeń, natomiast N_j^e(x)

są funkcjami interpolacyjnymi zwanymi także funkcjami kształtu.

Wówczas równanie różniczkowe (1) spełnione jest na elemencie Ω^e tylko w sposób przybliżony. W celu obliczenia nieznanych wartości przemieszczeń węzłowych u_i^e żądamy, aby równanie różniczkowe (1) spełnione było przez przybliżenie U_e w sensie tzw. całki ważonej, która określona jest następująco:

$\int_{x_{A}}^{x_{B}}{w\left( x \right)\left\lbrack \frac{d}{\text{dx}}a\frac{\text{du}}{\text{dx}} + q \right\rbrack dx = 0}$ (3)

gdzie w(x) – funkcja ważona.

W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębnia się części składowe, które modeluje się jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe, tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementami przestrzennymi (trójwymiarowymi).

Pręty (belki) modelowane są jako dwa węzły połączone za sobą odcinkiem. Węzły reprezentują początek i koniec elementu prętowego, odcinek - dane geometryczne i własności materiałowe. W węzłach można przykładać siły skupione, momenty skupione lub przemieszczenia (liniowe lub kątowe).

Podział na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu. Siły skupione i momenty skupione mogą być przykładane tylko węzłach. W przypadku zastosowania elementów prętowych połączenia w węzłach nie przenoszą momentów. W przypadku stosowania elementów belkowych połączenia w węzłach przenoszą siły podłużne, siły poprzeczne oraz momenty gnące, a dla układów przestrzennych również momenty skręcające. Elementy prętowe stosowane są do modelowania kratownic, zaś elementy belkowe do modelowania ram.

ZASADY MODELOWANIA [instrukcja]:

1. Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.

2. Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach.

3. Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.

4. Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić obciążeniami skupionymi.

5. Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zastąpić momentami skupionymi.

6. Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.

7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne.

8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo minimalne).

9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.

Metoda elementów skończonych wprowadza szereg możliwych błędów rozwiązania. [ Krzysztof Banaś „Wprowadzenie do MES”]
Kilka najważniejszych to:

• błąd modelowania (zastosowany model matematyczny nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistości)

• błąd wartości współczynników (przyjęte wartości współczynników równań różniczkowych cząstkowych i warunków brzegowych, czyli np. dane materiałowe, dane o interakcji obiektu ze światem zewnętrznym obarczone są błędem)

• błąd odwzorowania obszaru (obszar obliczeniowy nie odpowiada dokładnie rzeczywistemu obszarowi zajmowanemu przez analizowany obiekt)

• błąd numeryczny (błąd dyskretyzacji, zastosowana metoda aproksymacji wprowadza błąd w stosunku do rozwiązania dokładnego problemu wyjściowego)

• błąd zaokrągleń (ze względu na zastosowanie ograniczonej dokładności reprezentacji liczb w komputerze, rozwiązanie uzyskane programem komputerowym nie odpowiada rozwiązaniu przybliżonemu, które zostałoby otrzymane przy dokładnej reprezentacji liczb)

1. Wnioski

• Metoda elementów skończonych daje możliwość uzyskania wyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jest przeprowadzenie obliczeń analitycznych.

• Dzięki podziałowi obszaru na coraz mniejsze elementy możemy otrzymać dokładniejsze wyniki obliczeń.

• Metoda analityczna daje mniej dokładne wyniki.