POPRAWA NR 1

ŚWIATŁO SODOWE

1. Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosując prawo przenoszenia niepewności:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}}$:

f(n) = r_n² − nλ_NaR

$$\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}} = \left( r_{n}^{2} - n\lambda_{\text{Na}}R \right)^{'} = \left( r_{n}^{2} \right)^{'} - \left( n\lambda_{\text{Na}}R \right)^{'} = 2r_{n} - 0 = 2r_{n}$$

Więc niepewność u(r_n²) wyznaczamy dla poszczególnych prążków ze wzoru:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{4}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Gdzie wyliczone wcześniej u(r_n) = 0,018.

dla n=1 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{{4r_{n}}^{2}*u(r_{n})} = \sqrt{4*{0,81}^{2}*0,018} = 0,217\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$

dla n=4 u(r_n²) = 0, 319 [mm²]

dla n=8 u(r_n²) = 0, 417[mm²]

dla n=12 u(r_n²) = 0, 502 [mm²]

dla n=16 u(r_n²) = 0, 577 [mm²]

dla n=20 u(r_n²) = 0, 645 [mm²]

dla n=24 u(r_n²) = 0, 694 [mm²]

dla n=28 u(r_n²) = 0, 749 [mm²]

rn^2[mm^2]	0,66	1,42	2,42	3,50	4,62	5,80	6,68	7,78
u(rn^2)[mm^2]	0,217	0,319	0,417	0,50	0,577	0,645	0,694	0,749
n	1	4	8	12	16	20	24	28
u(rn)[mm]	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018

2. Niepewność współczynnika kierunkowego a, wyliczamy ze wzoru:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{S}_{\mathbf{a}}\mathbf{= \sigma}\sqrt{\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{X}}}$$

Gdzie:

X = 5159

$$b = \left\lbrack (n*\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2})(\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}) - (}}\sum_{i = 1}^{n}x_{i})(\sum_{i = 1}^{n}{{x_{i}y}_{i})} \right\rbrack\frac{1}{X} = \left( 275374,08 - 29725 \right)\frac{1}{5159} = 0,476\ \text{mm}^{2}$$

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} - \text{ax}_{i} - b)}^{2}}{n - 2}} = \frac{0,14902}{6} = 0,157$

Więc:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= 0,157*}\sqrt{\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{5159}}}\mathbf{= 0,157*0,039 = 0,000612}$$

Zatem a = (0,266 ± 0,000612)

3. Niepewność u(R _graficzne) wyznaczamy stosując wzór (Skrypt, nr 1.16): ???????

$$u\left( y \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{{\partial x}_{i}}*u\left( x_{i} \right) \right\rbrack^{2}}\ $$

$$u\left( R_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial R_{\text{gr}}}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial R_{\text{gr}}}{\partial a}$:

$$y = \frac{a}{\lambda_{\text{Na}}} - R$$

$$\frac{\partial y}{\partial a} = \left( \frac{a}{\lambda_{\text{Na}}} - R \right)^{'} = (\frac{a}{\lambda_{\text{Na}}})' - (R)' = \frac{1}{\lambda_{\text{Na}}}$$

$$u\left( R_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{1}{\lambda_{\text{Na}}}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Gdzie wcześniej wyliczone u(a) wynosi 0,000612 [mm].

Więc u(R_graficzne):

$$u\left( R_{\text{graf}} \right) = \sqrt{\left( \frac{612*10^{- 6}}{588,9*10^{- 6}} \right)^{2}} = 1,04\ \lbrack mm\rbrack$$

R_graficzne=(452±1, 04)[mm]

FILTR NR 1

4. Długości fali dla filtra nr 1 wyliczamy stosując przekształcony wzór:

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{sr}}}$$

Dla n=1 $\lambda = \frac{0,5776}{1*581} = 941\ \lbrack nm\rbrack$

Dla n=2 λ = 801 [nm]

Dla n=4 λ = 651 [nm]

Dla n=6 λ = 578 [nm]

Dla n=8 λ = 544 [nm]

Dla n=10 λ = 533 [nm]

Dla n=12 λ = 521 [nm]

Dla n=14 λ = 499 [nm]

Dla n=16 λ = 507 [nm]

Średnia długość fali dla filtra nr 1 wynosi: λ_sr = 619 [nm]

5. Niepewność u(λ_śr) dla filtra nr 1:

$$u\left( \lambda_{sr} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\lambda{- \lambda}_{sr})}^{2}}{n(n - 1)}} = 51,24\ \lbrack nm\rbrack$$

6. Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosując prawo przenoszenia niepewności:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}}$:

f(n) = r_n² − nλ_nR

$$\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}} = \left( r_{n}^{2} - n\lambda_{n}R \right)^{'} = \left( r_{n}^{2} \right)^{'} - \left( n\lambda_{n}R \right)^{'} = 2r_{n} - 0 = 2r_{n}$$

Więc niepewność u(r_n²) wyznaczamy dla poszczególnych prążków ze wzoru:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{2}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Gdzie wyliczone wcześniej u(r_n) = 0,018.

Dla n=1 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{1*{0,76}^{2}*0,018} = 0,102\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack\ $

Dla n=2 u(r_n²) = 0, 183 [mm²]

Dla n=4 u(r_n²) = 0, 330 [mm²]

Dla n=6 u(r_n²) = 0, 467 [mm²]

Dla n=8 u(r_n²) = 0, 603 [mm²]

Dla n=10 u(r_n²) = 0, 747 [mm²]

Dla n=12 u(r_n²) = 0, 885 [mm²]

Dla n=14 u(r_n²) = 1, 01[mm²]

rn^2[mm^2]	0,58	0,93	1,51	2,02	2,53	3,10	3,63	4,06	4,71
u(rn^2)[mm^2]	0,102	0,183	0,330	0,467	0,603	0,747	0,885	1,01	1,16
n	1	2	4	6	8	10	12	14	16
u(rn)[mm]	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018

Dla n=16 u(r_n²) = 1, 16 [mm²]

7. Niepewność współczynnika kierunkowy a dla filtra nr 1

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{S}_{\mathbf{a}}\mathbf{= \sigma}\sqrt{\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{X}}}$$

Gdzie:

X = 2024

$$b = \left\lbrack (n*\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2})(\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}) - (}}\sum_{i = 1}^{n}x_{i})(\sum_{i = 1}^{n}{{x_{i}y}_{i})} \right\rbrack\frac{1}{X} = \left( 150785,52 - 18074,8 \right)\frac{1}{2024} = 0,656\ \text{mm}^{2}$$

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} - \text{ax}_{i} - b)}^{2}}{n - 2}} = \sqrt{\frac{0,657}{7}} = 0,939$

Więc:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= 0,939*}\sqrt{\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{2024}}}\mathbf{= 0,939*0,067 = 0,063}$$

Zatem a = (0,268 ± 0,063)

8. Niepewność u(λ _graficzne) dla filtra nr 1 wyliczamy stosując wzór (Skrypt, nr 1.16):

Niepewność u(λ _graficzne) wyliczamy w taki sam sposób jak u(R_graficzne):

$$u\left( y \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{{\partial x}_{i}}*u\left( x_{i} \right) \right\rbrack^{2}}\ $$

$$u\left( R_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial R_{\text{gr}}}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial\lambda_{\text{graf}}}{\partial a}$:

$$y = \frac{a}{\lambda_{n}} - R$$

$$\frac{\partial y}{\partial a} = \left( \frac{a}{\lambda_{n}} - R \right)^{'} = (\frac{a}{\lambda_{n}})' - (R)' = \frac{1}{\lambda_{n}}$$

$$u\left( \lambda_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{1}{\lambda_{n}}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Więc u(λ _graficzne) dla filtra nr 1 wynosi:

$$u\left( \lambda_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{1}{592,9}*0,063 \right\rbrack^{2}} = 1,06*10^{- 4}$$

λ_graficzne=(592, 9±1, 06*10⁻⁴)[nm]

FILTR NR 2

9. Długości fali dla filtra nr 2 wyliczamy stosując przekształcony wzór:

$$\mathbf{\lambda}_{\mathbf{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{R}_{\mathbf{sr}}}$$

Dla n=1 $\lambda = \frac{0,6320}{1*581} = 1088\ \lbrack nm\rbrack$

Dla n=2 λ = 793 [nm]

Dla n=4 λ = 630 [nm]

Dla n=6 λ = 562 [nm]

Dla n=8 λ = 530 [nm]

Dla n=10 λ = 509 [nm]

Dla n=12 λ = 520 [nm]

Średnia długość fali dla filtra nr 1 wynosi: λ_sr = 662 [nm]

10. Niepewność u(λ_śr) dla filtra nr 2:

$$u\left( \lambda_{sr} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\lambda{- \lambda}_{sr})}^{2}}{n(n - 1)}} = 87,93\ \lbrack nm\rbrack$$

11. Niepewność u(r_n²) wyznaczamy stosując prawo przenoszenia niepewności:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{\left( \frac{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{\partial}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}} \right)^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}}$:

f(n) = r_n² − nλ_nR

$$\frac{\partial r_{n}^{2}}{\partial r_{n}} = \left( r_{n}^{2} - n\lambda_{n}R \right)^{'} = \left( r_{n}^{2} \right)^{'} - \left( n\lambda_{n}R \right)^{'} = 2r_{n} - 0 = 2r_{n}$$

Więc niepewność u(r_n²) wyznaczamy dla poszczególnych prążków ze wzoru:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{r}_{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}\sqrt{{\mathbf{2}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*u(}\mathbf{r}_{\mathbf{n}}\mathbf{)}}$$

Gdzie wyliczone wcześniej u(r_n) = 0,018.

Dla n=1 $u\left( r_{n}^{2} \right) = \sqrt{1*{0,795}^{2}*0,018} = 0,106\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack\ $

Dla n=2 u(r_n²) = 0, 182 [mm²]

Dla n=4 u(r_n²) = 0, 325 [mm²]

Dla n=6 u(r_n²) = 0, 460 [mm²]

Dla n=8 u(r_n²) = 0, 596 [mm²]

Dla n=10 u(r_n²) = 0, 730 [mm²]

Dla n=12 u(r_n²) = 0, 860 [mm²]

rn^2[mm^2]	0,63	0,92	1,46	1,96	2,46	2,96	3,42
u(rn^2)[mm^2]	0,106	0,182	0,325	0,460	0,596	0,730	0,860
n	1	2	4	6	8	10	12
u(rn)[mm]	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018	0,018

12. Niepewność współczynnika kierunkowy a dla filtra nr 1

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= \ }\mathbf{S}_{\mathbf{a}}\mathbf{= \sigma}\sqrt{\frac{\mathbf{n}}{\mathbf{X}}}$$

Gdzie:

X = 706

$$b = \left\lbrack (n*\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}^{2})(\sum_{i = 1}^{n}{y_{i}) - (}}\sum_{i = 1}^{n}x_{i})(\sum_{i = 1}^{n}{{x_{i}y}_{i})} \right\rbrack\frac{1}{X} = \left( 24285,275 - 2921,85 \right)\frac{1}{706} = 0,302\ \text{mm}^{2}$$

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(y_{i} - \text{ax}_{i} - b)}^{2}}{n - 2}} = \sqrt{\frac{4,29}{5}} = 0,858$

Więc:

$$\mathbf{u}\left( \mathbf{a} \right)\mathbf{= 0,858*}\sqrt{\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{706}}}\mathbf{= 0,858*0,1 = 0,088}$$

Zatem a = (0,268 ± 0,088)

13. Niepewność u(λ _graficzne) dla filtra nr 2 wyliczamy stosując wzór (Skrypt, nr 1.16):

Niepewność u(λ _graficzne) wyliczamy w taki sam sposób jak u(R_graficzne):

$$u\left( y \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{{\partial x}_{i}}*u\left( x_{i} \right) \right\rbrack^{2}}\ $$

$$u\left( R_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial R_{\text{gr}}}{\partial a}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Pochodna cząstkowa $\frac{\partial\lambda_{\text{graf}}}{\partial a}$:

$$y = \frac{a}{\lambda_{n}} - R$$

$$\frac{\partial y}{\partial a} = \left( \frac{a}{\lambda_{n}} - R \right)^{'} = (\frac{a}{\lambda_{n}})' - (R)' = \frac{1}{\lambda_{n}}$$

$$u\left( \lambda_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{1}{\lambda}*u(a) \right\rbrack^{2}}$$

Więc u(λ _graficzne) dla filtra nr 2 wynosi:

$$u\left( \lambda_{\text{gr}} \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}\left\lbrack \frac{1}{559,7}*0,088 \right\rbrack^{2}} = 1,57*10^{- 4}$$

λ_graficzne=(559, 7±1, 57*10⁻⁴)[nm]

10. WNIOSKI

W otrzymanych wynikach pomiaru długości fali oraz promienia krzywizny soczewki płasko-wypukłej mogły wystąpić błędy pomiaru. Błędy te wynikają z niedokładnego odczytu oraz błędnego ustawienia mikroskopu (przesunięcie centralnego pierścienia w osi X).

Wyniki długości fal nieco odbiegają od długości fal przepuszczanych przez filtry interferencyjne, które były używane podczas ćwiczenia, lecz mieszczą się w wyznaczonych przedziałach niepewności:

- filtr nr 1: λ_śr = (619 ± 51, 24) [nm] – dla porównania barwa czerwona zawiera się w przedziale od ok. 630 do ok. 780 nm długości fali, więc wynik otrzymany w doświadczeniu jest zgodny z wielkością tablicową

- filtr nr 3: λ_śr = (662 ± 87, 93) [nm] – barwa zielona ma długość fali około 550 nm, zatem – podobnie jak w przypadku filtra nr 1 – wynik otrzymany w doświadczeniu jest zgodny z wielkością tablicową.

Poza wymienionymi wyżej czynnikami na błędy pomiaru miały również wpływ czynniki takie jak:

- niemożność dokładnego określenia środka pierścieni – kąt widzenia na to nie pozwalał

- duża czułość układu na wpływ czynników zewnętrznych takich jak np. szturchnięcie uniemożliwiała dokładne ustawienie przyrządu

- w przypadku filtra nr 3, nie można było dokonać pomiaru zamierzonych 9 prążków – do 16 rzędu – z powodu braku możliwości odróżnienia prążków o rzędzie wyższym od 12.

Co zaobserwowano w ćwiczeniu:

Wraz ze wzrostem rzędu kolejno malała długość fali światła monochromatycznego dla filtrów interferencyjnych oraz spadała wartość promienia krzywizny soczewki dla n-tego prążka interferencyjnego.

Im wyższego rzędu prążek był obserwowany, rosła także wartość niepewności dla kolejnych prążków – przykładowo: dla pierwszego prążka interferencyjnego w filtrze nr 3 wartość u(r_n²) wynosiła 0,106 mm², a dla ostatniego zaobserwowanego już 0,860 mm².