Ewelina Szafraniec

Ćwiczenie F6*

WYZNACZANIE PRĘGKOŚCI DŹWIĘKU W CIECZACH METODĄ FALI BIEGNĄCEJ

WSTĘP TEORETYCZNY

1. Fale biegnące w ośrodku sprężystym.

Fala to pewne zaburzenie w ośrodku sprężystym poruszające się w danym kierunku (np. w kierunku osi x). Falę tą w dwóch wymiarach można opisać równaniem:

$$\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}} = u^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Rozwiązaniem tego równania jest:

$$y = Acos\left\lbrack \omega\left( t - \frac{x}{u} \right) \right\rbrack = A\cos\left( \omega t - kx \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Gdzie u- to prędkość rozchodzenia się fali w danym ośrodku - u = λf i f = T⁻¹, f- częstotliwość fali, λ- długość fali, ω = 2πf- prędkość kołowa, k = 2π/λ- liczba falowa. Częstotliwość f jest zadawana przez źródło wytwarzające falę, natomiast prędkość fali u determinują własności ośrodka, w którym fala się rozchodzi. Fale mechaniczne przenoszą energię dzięki propagacji zaburzenia w materii, nie powodując jej ruchu postępowego.

Równanie (2) opisuje falę biegnącą, fazą tej fali jest argument funkcji cosinus - (ωt − kx). Zatem prędkość fazowa wynosi:

$$u = \frac{\lambda}{T} = \lambda f = \frac{\omega}{k}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

W sytuacji nakładania się dwóch fali o podobnych długościach i prędkościach, maksymalne wychylenie będzie się przesuwać z tzw. prędkością grupową opisaną wzorem:

$$u_{g} = \frac{d\omega}{\text{dk}} = u - \lambda\frac{\text{du}}{\text{dλ}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Kiedy fala wykazuje dyspersję - prędkość fali zależy od jej długości- pochodna $\frac{\text{du}}{\text{dλ}}$ jest dodatnia (dyspersja normalna) lub ujemna (dyspersja anomalna).

Fale można podzielić na fale podłużne i poprzeczne. Gdy cząstki ośrodka drgają w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia, mamy do czynienia z falą podłużną, a gdy w kierunku prostopadłym, mówimy o fali poprzecznej. W cieczach rozchodzą się jedynie fale podłużne. Na ich prędkość wpływają temperatura, ciśnienie i gęstość ośrodka. W roztworach wodnych prędkość rozchodzenia się fali zależy dodatkowo od stężenia, zależność ta dla stężeń soli poniżej 25% jest liniowa.

1. Fale dźwiękowe.

Fala dźwiękowa to podłużna fala mechaniczna, o częstotliwości z zakresu 20Hz - 20kHz. Fale o częstotliwości wyższej od górnej granicy to ultradźwięki, a o częstotliwości niższej od dolnej granicy - infradźwięki. Do generacji i detekcji ultradźwięków stosuje się przetworniki piezoelektryczne (np. kwarc). Wykorzystują one zjawisko piezoelektryczne: kryształ pod wpływem przyłożonego napięcia odkształca się, a przy zmiennym polu elektrycznym zaczyna drgać. Drgania te generują fale akustyczne w otaczającym ośrodku.

Detektory ultradźwięków wykorzystują zjawisko piezoelektryczne odwrotne. Polega ono na wytworzeniu różnicy potencjałów na krysztale piezoelektrycznym pod wpływem odkształceń mechanicznych wywołanych padającą falą ultradźwiękową.

1. Metoda pomiarowa.

Oscyloskop służy przede wszystkim do wyświetlania na ekranie zależności napięcia elektrycznego od czasu. Sygnał z generatora akustycznego podawany jest na płytki odchylania pionowego oscyloskopu oraz na głowicę nadawczą. Emitowaną fale dźwiękową głowica odbiorcza przetwarza na sygnał elektryczny, który po wzmocnieniu podawany jest na płytki odchylania poziomego oscyloskopu. Obie głowice - odbiorcza i nadawcza - zanurzone są w badanej cieczy, odległość między nimi jest regulowana przy użyciu śruby mikrometrycznej. Na ekranie oscyloskopu widoczne są krzywe Lissajous - linie powstałe przez nałożenie dwóch prostopadłych ruchów harmonicznych - dwóch fal dźwiękowych o tej samej częstotliwości, ale o różnych fazach. Dla różnic faz równych całkowitym wielokrotnościom π krzywe Lissajous redukują się do odcinków, więc odległość między dwoma położeniami śruby mikrometrycznej, w których na ekranie widoczne są odcinki, jest równa połowie długości fali. Znając długość fali i częstotliwość na generatorze, można obliczyć prędkość fali: u = λf.

Rys. 1. Krzywe Lissajous

Rys. 2. Schemat układu eksperymentalnego do badania prędkości dźwięku w cieczach metodą fali biegnącej.

1. Plan pracy:

• Połączono obwód eksperymentalny.

• Zbiornik nad przetwornikiem napełniono wodą destylowaną.

• Ustawiono częstość na generatorze równą 2,0 MHz.

• Przesuwano górną głowicę tak, aby krzywe Lissajous były odcinkami

• Odczytywano i zapisywano te położenia za pomocą śruby mikrometrycznej.

• Sporządzono roztworu o stężeniach: 5%,10%,15% oraz otrzymano roztwór o nieznanym stężeniu i powtórzono pomiary stosując te roztwory zamiast wody destylowanej.

OPRACOWANIE WYNIKÓW

1. Sporządzono wykresy obrazujące zależność położenia śruby mikrometrycznej - x (odczytywanej gdy krzywe Lissajous były odcinkami) od numeru pomiaru - n. Do każdego wykresu dopasowano prostą metodą regresji liniowej o równaniu:

$$y = \frac{\lambda}{2}n + b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$

Wykresy sporządzono dla wody destylowanej i roztworów soli NaCl o stężeniach 5%,10%,15% oraz dla roztworu o nieznanym stężeniu. Dla każdego wykresu odczytano długość fali i jej niepewność. Wyniki przedstawia tabela poniżej:

Rodzaj cieczy	$$\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	λ[mm]	$$\Delta\frac{\lambda}{2}\lbrack mm\rbrack$$	Δλ[mm]	f
Woda destylowana	0,375	0,75	0,003	0,006	2,0 MHz
r-r 5%	0,385	0,77	0,005	0,01
r-r 10%	0,398	0,796	0,002	0,004
r-r 15%	0,413	0,826	0,0008	0,0016
r-r o nieznanym stężeniu	0,396	0,793	0,003	0,006

1. Dla wyznaczonych długości fal obliczono prędkość fali dźwiękowej, wykorzystując zależność: u = λf. Niepewność wyznaczonej prędkości obliczono metodą różniczki zupełnej wg. wzoru:

$$u = \left| \frac{\partial u}{\partial\lambda} \right| \bullet \lambda + \left| \frac{\partial u}{\partial f} \right| \bullet f = f\lambda + \lambda f\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)$$

Wyniki zestawiono w tabeli poniżej:

Rodzaj cieczy	u [m/s]	u [m/s]
Woda destylowana	1500	12
r-r 5%	1540	20
r-r 10%	1592	8
r-r 15%	1652	3,2
r-r o nieznanym stężeniu	1584	12

1. Sporządzono wykres zależności prędkości fali dźwiękowej od stężenia roztworu. Dopasowano prostą metodą regresji liniowej, za pomocą wyznaczonych współczynników prostej obliczono stężenie nieznanego roztworu:

$$c_{p} = \frac{u - b}{a} = \frac{1584 - 1494}{10,16} = 8,86\%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)$$

Niepewność podanego stężenia obliczono metodą różniczki zupełnej wg. wzoru:

$$\Delta c_{p} = \left| \frac{\partial c_{p}}{\partial u} \right| \bullet u + \left| \frac{\partial c_{p}}{\partial a} \right| \bullet a + \left| \frac{\partial c_{p}}{\partial b} \right| \bullet b = \frac{1}{c}u + \frac{u - b}{a^{2}} \bullet a + \frac{1}{a}b = 2,49\%\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (8)$$

DYSKUSJA WYNIKÓW

Prędkość dźwięku w wodzie wynosi 1500 m/s, co jest zgodne z otrzymanym wynikiem. Przedstawione na wykresach zależności wykazują dobrą liniowość (współczynnik korelacji bliski lub równy 1) zgodnie z założeniami.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie prędkość fali dźwiękowej w roztworach o różnych stężeniach, a następnie wyznaczenie nieznanego stężenia otrzymanego roztworu. Jego stężenie wynosi (8, 86 ± 2, 49)% . Prędkość fali dźwiękowej rośnie liniowo wraz ze wzrostem stężenia roztworu ( wodę destylowaną potraktowano jako roztwór 0%).

BILBIOGRAFIA

1. „I Pracownia Fizyczna” - A.Magiera, Kraków 2007.

2. „Pracownia Fizyczna” - Henryk Szydłowski, Warszawa 1973.

3. www.pl.wikipedia.org

ZAŁĄCZNIKI

Kserokopia danych pomiarowych.