Ćwiczenie nr 77

Temat: Pomiar odległości ogniskowych soczewek

1. Wstęp

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie, oraz z metodami wyznaczania odległości ogniskowych soczewek cienkich.

Soczewką nazywamy bryłę z materiału przezroczystego ograniczoną z dwóch stron powierzchniami sferycznymi. Odległość między wierzchołkami powierzchni kul jest jej grubością.Soczewkę nazywamy cienką, jeśli grubość soczewki d można zaniedbać w porównaniu z promieniami krzywizn powierzchni ograniczających soczewkę. Wzór wiążący odległości przedmiotu s oraz obrazu s' od soczewki cienkiej ma postać

$$\frac{1}{S'} - \frac{1}{S} = (\frac{n}{n^{'}} - 1)(\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}})$$

gdzie:r₁i r₂– promienie krzywizny pierwszej i drugiej powierzchni łamiącej soczewki, n – współczynnik załamania materiału soczewki, n' – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka.

Jak wynika ze wzoru soczewkowego wielkości s i s' wchodzą do wzoru symetrycznie. Zatem dla tej samej odległości przedmiotu i ekranu można znaleźć dwa położenia soczewki, dla których otrzymujemy na ekranie ostry obraz – raz pomniejszony, drugi raz powiększony. Oba położenia soczewki są symetryczne względem przedmiotu i ekranu. Jeśli odległość przedmiotu od ekranu oznaczymy przez d, zaś odległość między obu położeniami soczewek przez c to :

d= -s + s', c = |-s - s'| = |s + s'|

Po podstawieniu wartości s i s' do wzoru soczewkowego otrzymujemy: $f^{'} = \frac{1}{4}(d - \frac{c^{2}}{d})$

Ponieważ: c² = d² − 4df^′ = d(d − 4f^′)≥0 metoda Bessela daje się zastosować

tylko wtedy, gdy d > 4f′

Wyniki pomiarów

C1	C2	ΔC	D	ΔD	|C|	Δ|C|	f
19,4	66,8	0,1	80	0,1	47,46	0,02
19,3	66,5
19,3	66,8
19,1	66,8
19,2	66,7
19,3	66,7
19,2	66,7
19,26	66,71

Obliczenia

Przykładowe obliczenia:

Δc = Δc₂+Δc₁= 0,02 [cm]

c = | 66,71 – 19,26 | = (47,46± 0,02) [cm]

f_s’ = $\frac{80^{2} - {47,6}^{2}}{4*80} = \frac{6400 - 2265,76}{320} \approx 12,92$ [cm]

		Pow.	Pom.	Błąd P.	Odl. Ekr.	Odl. Ekr.
Inna odległość ekranu	Lp.	C1'	C2'	ΔC'	D'	ΔD'	|C'|		f'
dla soczewki Nr. 2		cm	cm	cm	cm	cm	16,46		9,74
	1	14,7	30,9	0,1	45	0,1
	2	14,7	31,3
	3	14,5	31,1
	4	14,6	31,1
	5	14,6	31
Średnia:		14,62	31,08
Odchylenie standardowe:		0,037	0,0663

f_ś $\mathbf{=}\frac{\mathbf{\ 9,81\ + \ 9,74\ }}{\mathbf{2}}$=9,78 [cm]

Dla układu soczewek (skupiającej + rozpraszającej):

		Pow.	Pom.	Błąd P.	Odl. Ekr.	Odl. Ekr.
Układ 2 soczewek Nr. 2 +A	Lp.	C1"	C2"	ΔC''	D''	ΔD''	|C''|
Dwuwypukła +		cm	cm	cm	cm	cm	33,42
Płasko-wklęsła	1	23,8	56,8	0,1	80	0,1
	2	23,8	57,2
	3	23,6	57,3
	4	23,7	57,2				fr=	-24
	5	23,9	57,4
Średnia:		23,76	57,18
Odchylenie standardowe:		0,05	0,10

$$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{f}_{\mathbf{u}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{f}_{\mathbf{s}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{f}_{\mathbf{r}}}\mathbf{f}_{\mathbf{r}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{f}_{\mathbf{s}}\mathbf{*}\mathbf{f}_{\mathbf{u}}}{\mathbf{f}_{\mathbf{s}}\mathbf{- \ }\mathbf{f}_{\mathbf{u}}}\mathbf{f}_{\mathbf{u}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{x*y}}{\mathbf{x + \ y}}$$

*Niepewności pomiarowe

Odchylenie standardowe dla wartości mierzonych soczewki skupiającej

$_{e}\overline{x} \approx$0,037 cm $_{e}\overline{y} \approx$0,0663 cm

Blad przyrządu wynosi 0,1 cm

Błąd ostateczny obliczamy ze wzorów:

$$\overline{x} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{x}}^{2}} = 0,11$$

$$\overline{y} = \sqrt{{_{p}x}^{2} +_{e}{\overline{y}}^{2}} = 0,12$$

$$\frac{\text{df}_{s1}}{\text{dx}} = \frac{x^{2}}{\left( x + y \right)^{2}}$$

$\text{df}_{s1} = \frac{x^{2}\text{\ dx}}{\left( x + y \right)^{2}} =$0,0048

df_s2 = 0, 012

df_s = df_s1 +  df_s2 = 0, 0048 + 0, 012 = 0, 0168

Schemat liczenia dokładnie taki sam jak w podpunkcie wyżej. Poniżej znajdują się wyniki

df_u = df_u1 +  df_u2 = 0, 0043 + 0, 0499 = 0, 054

$\text{df}_{r1} = \ \frac{{f_{u}}^{2}{*df}_{s}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}}$= 0,0066

$$\text{df}_{r2} = \ \frac{{f_{s}}^{2}{*df}_{u}}{\left( f_{s} + \ f_{u} \right)^{2}} = 0,00748$$

df_r = df_r1 +  df_r2 = 0, 0066 + 0, 00748 = 0, 01408

WYNIKI OSTATECZNE:

f_s=9, 78±0, 017 cm

f_r=−24±0, 014 cm

Wnioski

Metoda Bessela jest względnie dokładna, ze względu na małą ilość błędów mogących wystąpić przy pomiarze, jednak wpływ na wyniki w tej metodzie, ma ustawienie ostrości obrazu na ekranie, gdyż do odczytu potrzebne jest ostre widzenie przedmiotu. Błąd, którego nie można uniknąć, spowodowany jest różną ostrością widzenia ludzkiego wzroku.

Metoda Bessela jest jedną z najdokładniejszych metod wyznaczania ogniskowych soczewek. Wyższość tej metody polega na tym, że odległości d i c są tylko pośrednio związane z odległościami s i s'. W przypadku menisków lub soczewek grubych, odległości s i s' należałoby mierzyć od tzw. płaszczyzn głównych soczewek, których położeń wyznaczyć tutaj nie potrafimy. W metodzie Bessela trudność tę omijamy, gdyż przez pomiar c, jako różnicy dwóch położeń soczewki, błędy wynikłe z rozrzucenia płaszczyzn głównych są małe.