1. Dla anteny pracującej na częst. 300MHz oblicz jaka najmniejsza odległość może być uznana za początek strefy dalekiej z pkt. widzenia pola magazynowego wokół anteny. W jakich sytuacjach badania anteny trzeba wykonać z dużo większej odległości?

$\Gamma \gg \frac{\lambda}{2\pi}$, λ=? f=300·10⁶Hz

$r \gg \frac{1m}{2\pi} \cong 0,16m$ $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{300 \bullet 10^{6}} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{3 \bullet 10^{8}} = 1m$

2. Do anteny stacji bazowej telefonii komórkowej doprowadzono moc 5W. obliczyć równoważnÄ… izotropowÄ… moc promieniowania, jeżeli antena ma zysk 17dB. Obliczyć powierzch. kierunku max promieniowania. W jakiej odlegÅ‚oÅ›ci od anteny uzyska siÄ™ poziom powierzchniowej odlegÅ‚oÅ›ci mocy 0,1W/m² uważany za bezpieczny dla ludzi.

D_w=5W R=100m G_N=17dB≈50(lin)

EIRP = 5W·50=250W równ. izoter. moc prom.

kÄ…t: $\mu = \frac{\text{EIRP}}{4\pi} = \frac{250}{4\pi} = 19,9W$

lin: $s = \frac{\text{EIRP}}{4\pi \bullet R^{2}} = \frac{250}{4\pi \bullet 1000} = 0,002\left\lbrack \frac{W}{m^{2}} \right\rbrack$

R=? s = 0, 1W/m²

$$R = \sqrt{\frac{\text{EIRP}}{4\pi \bullet s}} = \sqrt{\frac{250}{4\pi \bullet 0,1}} \cong 14m$$

3. Do kabla o impedancji charakterystycznej 50Ω podłączono antenę o impedancji rzeczywistej wynoszącej 100Ω.

WFS = ?

$$\Gamma = \frac{Z_{R} - Z_{o}}{Z_{R} + Z_{o}} = \frac{100 - 50}{100 + 50} = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}$$

$\text{WFS} = \frac{1 + \Gamma}{1 - \Gamma} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \bullet \frac{3}{2} = 2$

4. Jaka jest wypadkowa temperatura szumów na zaciskach anteny, jeżeli antena o prawności 50% znajduje się w temp. 300K i widzi obiekt zewnętrzny o średniej temp. 400K. Jak zmieni się odp, gdy ƞ anteny będzie wynosiła 99%.

TÆž = T_A·ƞ + T₀(1-Æž_Ф)

Tƞ = 400K ·0,5 +300K(1-0,5)=200K+150K=350K

Tƞ^’ = 400K ·0,99 +300K(1-0,99)=396K+3K=399K

5. Pewną antenę odbiorca o zysku kierunkowym 10dB i impedancji promieniowania 75Ω zamknięto obciążeniem 25Ω i umieszczono w polu wytworzonym przez taką samą antenę, która pracuje jako nadawca i znajduje się w odl. 10km. Do anteny nad którą jest dopas. dostawiono moc 100W, a sprawności obu anten wynoszą 90%. Anteny są skierowane na siebie zgodnie z kierunkami wiązek głównych i pracują na f=300MHz.

moc wypromieniowana przez ant. nad. $\eta = \frac{P\ \text{prom}}{P\ \text{dost}} \rightarrow P\ \text{prom} = \eta\ P\ \text{dost}$

gęst. mocy w msc. ustaw. anteny odb. $S = \frac{\text{Pddst}\ \bullet G}{4\pi r^{2}}$

moc jaką ….? odebr. gdyby ant. była dopasowana P odb. dla dop. = A·S

$A = \frac{\lambda^{2}}{2\pi} \bullet G$ $P_{\text{odb}} = \frac{U_{A^{2}}}{R_{A}}$

$$\text{SEM} = 2U_{A} = 2\sqrt{P_{\text{odb}} \bullet R_{A}}$$

moc wyprom. przez antenÄ™ odbiorczÄ… $I = \frac{\text{SEM}}{R_{A} + R_{S} + R_{\text{odb}}}$

Pprom.=R_A·I²

6. Pewien satelita skanujący powierzchnię ziemi z zainstalowaną anteną do radiometrii mikrofalowej (pomiar szumów termicznych) wylatuje znad obszaru morskiego i wlatuje w obszar lądowy. Nad morzem radiometr wykazał temp.28K a nad lądem 180K. Jaka jest rzeczywista temp. powierzchni morza i powierzchni gruntu jeżeli wiadomo, że wsp. emisyjności dla morza wynosi 0,1 a dla lądu 0,7.

T_Lm=28K temp. luminacyjna ε_m=0,1

T_Ll=180K ε_l=0,7

T_L=εT_x

$$T_{x} = \frac{T_{L}}{\epsilon}$$

$$T_{x}m = \frac{T_{\text{Lm}}}{\epsilon} = \frac{28K}{0,1} = 280K$$

$$T_{x}l = \frac{T_{\text{Ll}}}{\epsilon} = \frac{180K}{0,7} = 257,1K$$

7. Zastępczy kąt bryłowy wiązki głównej dla pewnej anteny wynosi 0,1[tr]. Oblicz zysk energetyczny tej anteny, jeżeli wiadomo, że jej sprawność wynosi 90%.

$D = \frac{4\pi}{\Omega_{0}}$ Ω₀ = 0, 1tr Ω=0,9 G=?

$\eta = \frac{G}{D}$ → $G = D \bullet \eta = \frac{4\pi}{\Omega_{0}} \bullet \eta = \frac{4\pi}{0,1} \bullet 0,9 = 113,098$

G = 10 log 113,098=20,53dB

8. Zaprojektować antenę Log-Peried o zysku 10dBi na pasmo 350-1050MHz w zał.

1) G_dBi=10dBi

f_d=350MHz $\lambda_{d} = \frac{c}{f_{d}} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{350 \bullet 10^{6}} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{3,5 \bullet 10^{8}} = 0,86 = 86\text{cm}$

f_g=1050MHz $\lambda_{g} = \frac{c}{f_{g}} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{1050 \bullet 10^{6}} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{10,5 \bullet 10^{8}} = 0,286 = 28,6\text{cm}$

2) Ï­=0,17 Ï„=0,92

3) $L_{d} = L_{1} = \frac{86\text{cm}}{2} = 43\text{cm}$

$${\text{\ \ \ \ \ }L}_{g} = L_{n} = \frac{28,6\text{cm}}{2} = 14,3\text{cm}$$

4) L₀=46,74 L₁=43cm L₂=L₁·τ=43cm·0,92=39,56 L₃=36,396 L₄=33,48 L₅=30,8 L₆=28,34 L₇=26,07

L₈=24 L₉=22,1 L₁₀=20,3 L₁₁=18,7 L₁₂=17,2 L₁₃=15,8 L₁₄=14,5 L₁₅=13,4

5)$ch = \frac{d_{n}}{{2L}_{n}}$ d₀=15,9 d₁=ϭ·2L₁=0,17·86=14,62 d₂=d₁·τ=14,62·0,92=13,45 d₃=12,37 d₄=11,38 d₅=10,47 d₆=9,63 d₇=8,86 d₈=8,15 d₉=7,5 d₁₀=6,9 d₁₁=6,3 d₁₂=5,8 d₁₃=5,4 d₁₄=4,9

6) α - kÄ…t rów. anteny $\alpha = 200\text{ctg}\left( \frac{1 - \tau}{4ch} \right)$ α = 13,4⁰

9. Zespolony rozkÅ‚ad prÄ…du w pewnym przewodzie wyraża siÄ™ zależnoÅ›ciÄ… I(t,z) = I_oe^{j(ωt − βz)} = 2e^{2jÏ€(3 • 108t − z)}. Oblicz wartość chwilowÄ… prÄ…du w punkcie z=0,5[m] w czasie t=3·10⁸[s].

I(t,z) = I_oe^{j(ωt − βz)} = 2e^{2jπ(3 • 108t − z)}

dla z=0,5m t=3·10⁸s

I(t,z) = 2e^{2jπ(3 • 108 • 3 • 108 − 0, 5)} = 2e^{2jπ(9 • 1016 − 0, 5)} = 2e^{2jπ8, 5} = 2e^j12π

10. W polu elektromagnetycznym o gÄ™stoÅ›ci P_s=0,12pW/m² znajduje siÄ™ antena pracujÄ…ca w czÄ™stotliwoÅ›ci f=977,2MHz o kierunkowoÅ›ci D_dB=23dB na której zaciskach zaindukowaÅ‚o siÄ™ napiÄ™cie V_o=3μV. Oblicz oporność prom. (Rpr) tej anteny jeżeli wiadomo, że jest …..???

P_s=0,12pW/m² f=977,2MHz D_dB=23dB V_o=3μV η = 100%

$R_{\text{pr}} = \frac{V_{0^{2}}}{P_{s} \bullet A}$ $A = \frac{\lambda^{2}}{2\pi} \bullet G$ $\lambda = \frac{c}{f}$

$\eta = \frac{G}{D} = 1$ → $G = D = 10^{\frac{23}{10}} = 199,5$

$$R_{\text{pr}} = \frac{V_{0^{2}} \bullet 2\pi}{P_{s} \bullet \lambda^{2} \bullet G} = \frac{V_{0^{2}} \bullet 2\pi \bullet f^{2}}{P_{s} \bullet c^{2} \bullet G} = \frac{3^{2} \bullet 10^{- 12} \bullet 2\pi \bullet {977,2}^{2} \bullet 10^{12}}{0,12 \bullet 10^{- 12} \bullet 3^{2} \bullet 10^{12} \bullet 199,5}$$

11. W pewnej linii 2-przewodnikowej zasilającej antenę nadawczą zmierzono w jednym z przewodów prąd o amplitudzie 1,3A, podczas gdy w drugim przewodzie wynosi on 1,36A. Oblicz amplitudy prądów liniowych i antenowych w tej linii zasilającej.

i₁=1,3A

i₂=1,36A

$$i_{A} = \frac{i_{1} - i_{2}}{2} = \frac{1,3 - 1,36}{2} = - 0,03$$

$$i_{L} = \frac{i_{1} + i_{2}}{2} = \frac{1,3 + 1,36}{2} = 1,33A$$

i₁=i_A+i_L → i_A= i_L- i₁=1,33-1,3=0,03A

-i₂=i_A-i_L → i_A= - i₂+ i_L =-1,36+1,33=-0,03A

12.

Podb=30dBm

P_sodb=100pW/m²

D=10dB

δ=86,63MHz

Æž=?

10logx=-30 → x=10^-3

Podb=10^-3 mW=1μW

W związku z tym, że każda antena odbiorcza promieniuje to przynajmniej połowę wypromieniuje połowę z powrotem. W związku z tym:

P_odebrana=2 μW

P_odb=P_s·A_sk

$$A_{\text{sk}} = \frac{P_{\text{odb}}}{P_{s}} = \frac{2 \bullet 10^{- 6}W}{100 \bullet 10^{- 12}W/m^{2}} = \frac{2}{100} \bullet 10^{6}m^{2} = 20000m^{2}$$

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{86,63 \bullet 10^{6}} = 3,5m$$

$$A_{\text{sk}} = \frac{\lambda^{2}}{4\pi} \bullet G\ \rightarrow G = \frac{A_{\text{sk}} \bullet 4\pi}{\lambda^{2}} = \frac{20000m^{2} \bullet 4\pi}{3,5m^{2}} = 20506,12 = 43,11\text{dB}$$

$$\eta = \frac{G}{D} = \frac{43,11\text{dB}}{10\text{dB}} = 33,11\%$$

13.

P_s=60μW/m²

D_max=26dB

P_odb=19,1 μW

Æž=100%

GSM: f=900=1800MHz

Czy antena może pracować na jakiejś takiej częst.?

$$\eta = \frac{G}{D} \rightarrow G = D$$

10logx=26dB

x=10^2,6 → x=398,107

$A_{\text{sk}} = \frac{\lambda^{2}}{4\pi} \bullet G$ P_odb=P_s·A_sk $A_{\text{sk}} = \frac{P_{\text{odb}}}{P_{s}}$

$$A_{\text{sk}} = \frac{19,1 \bullet 10^{- 6}W}{60 \bullet 10^{- 6}W/m^{2}} = 0,318m^{2}$$

$$\lambda^{2} = \frac{A_{s} \bullet 4\pi}{D_{\max}} = \frac{0,318m^{2} \bullet 4\pi}{400} = 0,0099$$

$$\sqrt{\lambda} = 0,099m$$

$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{0,099 \bullet 0,1} = 3 \bullet 10^{9} = 3\text{GHz}$ to nie jest antena GSM

Sprawdzam: f=900MHz

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{9 \bullet 10^{8}} = 0,33m$$

$$A_{\text{sk}} = \frac{\lambda^{2}}{4\pi} \bullet G = \frac{0,089 \bullet 400}{4\pi} = 3,45m^{2}$$

$$P_{s} = \frac{P_{\text{odb}}}{A_{\text{sk}}} = \frac{19,1\mu W}{3,45m^{2}} = 0,18\frac{\mu W}{m^{2}}$$

f=1800MHz

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{1,8 \bullet 10^{8}} = 0,17m$$

$$A_{\text{sk}} = \frac{\lambda^{2}}{4\pi} \bullet G = 0,84m^{2}$$

$$P_{s} = \frac{P_{\text{odb}}}{A_{\text{sk}}} = \frac{19,1\mu W}{0,84m^{2}} = 22,74\frac{\mu W}{m^{2}}$$

14. fala wolnoprzestrzenna

f=238,85MHz

P_N=P_dost=10W

P₀=10µW

Jaki min sumaryczny zysk [db] obu anten 100m, 1km, 10km, 100km

Założenia $\lambda = \frac{C}{f} = 1,25m$

P₀=P_C żeby byÅ‚o max zasiÄ™gu

$P_{0} = \frac{P_{N}G_{0}G_{N}\lambda^{2}}{{16\pi}^{2}R^{2}}$

16Ï€²R²P₀ = P_NG₀G_Nλ²

$G_{0}G_{N} = \frac{{16\pi}^{2}R^{2}P_{0}}{P_{N}\lambda^{2}}$

$G_{0}{+ G}_{N} = 10\log\lbrack\frac{{16\pi}^{2}R^{2}P_{0}}{P_{N}\lambda^{2}}\rbrack$

a) $G_{0}{+ G}_{N} = \frac{{16\pi}^{2}{100}^{2} 10uW}{10 {(1,25)}^{2}} = \frac{{16\pi}^{2}10000 10uW}{10 15,625} = \frac{{16\pi}^{2}{10}^{4} 10^{- 5}}{10 1,5625} = \frac{{16\pi}^{2}{10}^{- 1}}{10 1,5625} = \frac{15,75}{15,63} = 10\log 1 = 0\text{dB}$

b) $G_{0}{+ G}_{N} = \frac{15,75 100}{15,63} = 10\log 100 = 20\text{dB}$

c) 10km=10·1000=10000

$G_{0}{+ G}_{N} = \frac{15,75 10000}{15,63} = 10\log 10076 = 40\text{dB}$

d) 100km=100·1000=100000

${\ G}_{0}{+ G}_{N} = \frac{15,75 1000000}{15,63} = 10\log 1000000 = 60\text{dB}$ ??

15.

P_dost=5W

G=17dB 10logx=17 x=10^1,7=50

R=100m

P_s- powierzchnia gęstości mocy $P_{s} = \frac{P_{\text{dost}} \bullet G}{4\pi R^{2}} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi R^{2}}$

P_EIRP = P_dost · G= 5W·50=250W

$$P_{s} = \frac{250W}{4\pi 100^{2}} = \frac{250}{4\pi 10^{4}} = 1,99\frac{\text{mW}}{m^{2}}$$

$\mu = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi} = 19,94\left\lbrack \frac{W}{\text{sr}} \right\rbrack$ - kątowa gęstość mocy

16.

η=75% P_EIRP=?

P_dost=10W Ps=?

DdB=17dB=50 U=?

R= a)100m, b)1km, c)10km, d)100km

$\eta = \frac{G}{D}$

$75\% = \frac{G}{D}$

$\frac{G}{D} = 75\%$

$G = \frac{3}{4} D = \frac{3}{4} 50 = 37,5$

P_EIRP=P_dost·G=P_wyprom·D

P_EIRP=10W·37,5=375W

a)$\text{Ps} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi R^{2}} = \frac{375W}{4\pi 10^{4}} = \frac{375W}{125663,7} = 2,98\frac{\text{mW}}{m^{2}}$

b)$\text{Ps} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi R^{2}} = \frac{375W}{4\pi 10^{6}} = \frac{375W}{12566370,6} = 29,8\frac{uW}{m^{2}}$

c)$\text{Ps} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi R^{2}} = \frac{375W}{4\pi 10^{8}} = 298\frac{\text{nW}}{m^{2}}$

d)$\text{Ps} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi R^{2}} = \frac{375W}{4\pi 10^{10}} = = 2\frac{\text{nW}}{m^{2}}$

$U = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi} = \frac{375W}{4\pi} = 29,8\frac{W}{\text{sr}}$

17.

P_dost=5W P_EIRP=?

U_max=35,8W/sr Ps=?

DdB=20dB=100

$U_{\text{mx}} = \frac{P_{\text{EIRP}}}{4\pi} P_{\text{EIRP}} = 4\pi U_{\text{mx}} = 4\pi 35,8 = 450W$

P_EIRP = P_dostG

$G = \frac{P_{\text{EIRP}}}{P_{\text{dost}}} = \frac{450}{5} = 90 = 19,5\text{dB}$

$\eta = \frac{G}{D} = \frac{19,5}{100} = 0,9 = 90\%$

$D_{\max} = \frac{U_{\max} 4\pi}{P_{\text{nadane}}} P_{\text{prom}} = \frac{U_{\max} 4\pi}{D_{\max}} = \frac{35,8 4\pi}{100} = 4,49$

18.

P_s=0,12pW/m² R_pr=?

φ=977,2MHz

DdB=23dB≈200

V_c=3μV

nie ma strat → ƞ=100%

D=G

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{977,2 \bullet 10^{6}} = 0,3m$$

$$R_{\text{odb}} = \frac{{U_{o}}^{2}}{{2P}_{\text{odb}}}$$

P_odb=A_sk·P_s

$$A_{\text{sk}} = \frac{\lambda^{2}}{4\pi} \bullet G = \frac{{0,3}^{2} \bullet 200}{4\pi} = \frac{0,09 \bullet 200}{4\pi} = \frac{18}{4\pi} = 1,43$$

$${P_{\text{odb}} = A}_{\text{sk}} \bullet P_{s} = 1,43 \bullet 0,12 \bullet 10^{- 12}\frac{W}{m^{2}} = 0,17\text{pW}$$

$$R_{\text{prom}} = \frac{\left( 9 \bullet 10^{- 6} \right)^{2}}{2\left( 0,17 \bullet 10^{- 12} \right)} = \frac{9 \bullet 10^{- 12}}{2\left( 0,17 \bullet 10^{- 12} \right)} = \frac{9 \bullet 10^{- 12}}{0,34 \bullet 10^{- 12}} = 26,4 \bullet 10^{- 12}W$$

19.

To się przekształca zgodnie z zasadami optyki geom. Dla pionowego ustawieniu anteny względem płaszczyzny idealnie przewodzącej antena transformuje się na drugą stronę tej płaszczyzny bez zmian, z tym samym kierunkiem przepływu prądu transformuje się odwrotnie.

20.

U₀₁=U₀₂ - żeby byÅ‚o max promieniowanie

φ₀₁=φ₀₂·2βd+Ï€

2βd=π /:2

$$\text{βd} = \frac{\pi}{2}\ /:\beta$$

$$d = \frac{\frac{\pi}{2}}{\beta}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\beta = \frac{2\pi}{\lambda}$$

$$d = \frac{\pi}{2} \bullet \frac{\lambda}{2\pi} = \frac{\lambda}{4}$$

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \bullet 10^{8}}{240 \bullet 10^{6}} = 0,0125 \bullet 10^{2} = 1,25$$

$$d = \frac{1,25}{4} = 0,3m$$

Rozw. jest nieskończenie wiele bo 2dB powtarza się co pół dł. fali czyli ½.

21.

Obliczamy minimum:

f(θ) = sin(πcosθ)

żeby było min bo ↑ musi być to r-sze zero

πcosθ = kπ  /:π

cosθ = k

Z przebiegu funkcji wynika że:

k=-1 cosθ = −1         θ = 180 → π

k=0 $\ \text{cosθ} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \theta = 90 \rightarrow \frac{\pi}{2}$

k=1 cosθ = 1           θ = 0

Obliczamy max:

sin(πcosθ) = 1   lub  − 1

$$\text{πcosθ} = \frac{\pi}{2} + 2\text{kπ}\text{\ \ \ }\text{lub}\text{\ \ \ }\text{πcosθ} = - \frac{\pi}{2} + 2\text{kπ}$$

$$\text{πcosθ} = \frac{\pi}{2} + \text{kπ}\ /:\pi\text{\ \ }$$

$$\text{cosθ} = \frac{1}{2} + k$$

cosθ = < − 1, 1> k=0 albo k=-1 k-całkowite

$$\text{cosθ} = \frac{1}{2}\text{\ \ \ \ }\text{lub}\text{\ \ \ \ }\text{cosθ} = - \frac{1}{2}$$

$$\theta = 60 = \frac{\pi}{3}\text{\ \ \ }\text{lub}\text{\ \ \ }\theta = 120 = \frac{2}{3}\pi$$

22.

f(Ï´)=cos(Ï€cosÏ´)

min=Dcos(Ï€cosÏ´)=0

$$\frac{\pi}{2} + \text{kπ}$$

$$\text{πcosθ} = \frac{\pi}{2} + \text{kπ}\ /:\pi$$

$$\text{cosθ} = \frac{1}{2} + k$$

Z przebiegu cos wynika że:

k=0 lub k=-1

$\text{cosθ} = \frac{1}{2}$ $\text{cosθ} = - \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$ $\theta = - \frac{2}{3}\pi$

max: cos(Ï€cosÏ´)=1 lub cos(Ï€cosÏ´)=-1

bo dla zera: πcosϴ=2kπ πcosϴ=π+2kπ

uwzględniając oba warunki:

πcosϴ=kπ

cosÏ´=k

cosÏ´=-1 cosÏ´=0 cosÏ´=1

θ = π $\theta = \frac{\pi}{2}$ θ = 0

k=-1 k=0 k=1

23.

F(ϴ,γ)=sinϴ

b) $\theta = \frac{\pi}{2}$

$$\sin\frac{\pi}{2}$$

24.

a) $\varphi = \frac{\pi}{3},\ \ \ \theta = \frac{\pi}{2}\ \text{do}\ \varphi = 0,\ \theta = \frac{\pi}{4}$

$\sin\frac{\pi}{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sin\frac{\pi}{4}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

b) $\varphi = \frac{\pi}{4},\ \ \ \theta = \frac{\pi}{2}\ \text{do}\ \varphi = \pi,\ \theta = \pi$

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sin\frac{\pi}{2}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{do}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\text{sinπ}$

1 do 0

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{1}{0} \rightarrow + \infty$

25.

$$P_{0} = \frac{P_{N}A_{N}A_{o}}{\lambda^{2}R^{2}}$$

$$P_{01} = \frac{P_{N}A_{N}A_{o}}{{\lambda_{1}}^{2}{R_{1}}^{2}},\ \ \ \ \ \ R_{2} = {2R}_{1},\ \ \lambda^{2} = \frac{\lambda_{1}}{2}\ $$

$$P_{02} = \frac{P_{N}A_{N}A_{o}}{\left( \frac{\lambda_{1}}{2} \right)^{2}{4R_{1}}^{2}} = \frac{P_{N}A_{N}A_{o}}{\frac{{\lambda_{1}}^{2}}{4} \bullet {4R_{1}}^{2}} \rightarrow P_{01}$$

Nic nie zmieniamy! 0dB

26.

Charakterystyka promieniowania anteny DH to:

$$\frac{F(\theta)}{M(\theta)} = f(\theta)$$

$f\left( \theta \right) = \frac{\sin\left( 2\text{βdcosθ} \right)\text{sinθ}}{4\sin\left( \frac{\text{βdcosθ}}{2} \right)} \bullet \frac{4\sin\left( \frac{\text{βdcosθ}}{2} \right)}{\sin\left( 2\text{βdcosθ} \right)} = \text{sinθ}$

to samo co w 13!

min promieniowanie

sin(2βdcosθ) = 0

$$\sin\left( \frac{4\text{πd}}{\lambda}\text{cosθ} \right) = 0$$

cosθ = kπ

$$\frac{4\text{πd}}{\lambda} = \text{cosθ} = \text{kπ}\ /:\pi$$

$$\frac{4d}{\lambda} \bullet \text{cosθ} = k$$

$$\text{cosθ} = \frac{\text{kλ}}{4d}$$

$$\theta = \arccos\frac{\text{kλ}}{4d}$$

<-1,1>

DH sin(2βdcosθ)sinθ = 0

to samo lub gdy sinθ = 0

θ = kπ ϵ C

od 0 do 1 bo ϴ się zmieni od 0 do π

N=4

27.

F₁ (Ï´,γ)=sinÏ´

F₂ (Ï´,γ)=cosÏ´

$$F\left( \theta,\varphi \right) = \frac{G\left( \theta,\varphi \right)}{G_{M}\left( \theta_{M},\varphi_{M} \right)}$$

G = F(θ,φ) • G_M(θ_M,φ_M) → sinθ  ∪  cosθ

$$D = \frac{\mu\left( \theta,\varphi \right)}{\mu_{0}}\left| \begin{matrix} \\ P_{\text{dost}.\text{const}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }s_{o} = \frac{P_{\text{dost}}}{4\pi R^{2}}$$

$$G = \frac{\mu\left( \theta,\varphi \right)}{\mu_{0}}\left| \begin{matrix} \\ P_{\text{dost}.\text{const}} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mu_{o} = \frac{P_{\text{dost}}}{4\pi}$$

$$s_{\text{odb}} = \frac{P_{\text{dost}} \bullet G_{N}}{4\pi R^{2}}$$

$$P_{\text{odb}} = s_{\text{odb}} \bullet A_{\text{odb}} = \frac{P_{\text{dost}} \bullet G_{N} \bullet A_{\text{odb}}}{4\pi R^{2}}$$

$A = G\frac{\lambda^{2}}{4\pi}$ $G = A\frac{4\pi}{R^{2}}$

$$P_{\text{odb}} = \frac{G_{1\max} \bullet F_{1}\left( \theta,\varphi \right) \bullet G_{2\max} \bullet F_{2}\left( \theta,\varphi \right) \bullet \lambda^{2} \bullet P_{\text{dost}}}{\left( 4\text{Ï€R} \right)^{2}}$$