1. Zbieranie obciążeń:

Obciążenia stałe:

Pokrycie dachu – blacho dachówka o grubości 0,55mm

$$g_{k} = 0,35\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }\gamma_{f} = 1,1\ \ \ \ $$

$$g_{d} = g_{k} \bullet \gamma_{f} = 0,35\ \bullet 1,1 = 0,385\frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }$$

 

Obciążenia zmienne:

Obciążenie śniegiem strefa II

$$Q_{k} = \ 0,9\ \ \ \ \ c = 1,2 \bullet \left( \frac{60 - \alpha}{30} \right) = 0,8 \bullet \left( \frac{60 - 53}{30} \right) = 0,28$$

$$S_{k} = Q_{k} \bullet c = \ 0,9\ \bullet 0,28 = 0,258\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ }\gamma_{f} = 1,5\ \ \ $$

$$\text{\ \ \ }S_{d} = S_{k} \bullet \gamma_{f} = \ 0,258 \bullet 1,5 = 0,378\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ }$$

Obciążenie wiatrem strefa I teren C, wysokość budynku z ≤ 10m

g_k = 250Pa   C_e = 0, 6  C =  0, 59     β = 1, 8    γ_f = 1, 5

$$p_{k} = g_{k} \bullet C_{e} \bullet C \bullet \beta = 0,25\ \bullet 0,6\ \bullet 0,59 \bullet 1,8 = 0,160\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$p_{d} = \ p_{k}{\bullet \gamma}_{f} = \ 0,160\ \bullet 1,5 = 0,240\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\ $$

1. Zbieranie obciążeń na kierunki

Prostopadłe

$$q_{k1} = \ g_{k} \bullet cos\alpha + S_{k} \bullet \cos^{2}\alpha + p_{k} = 0,35 \bullet cos53 + 0,258 \bullet \ \cos^{2}53 + 0,160 = 0,210 + 0,09 + 0,160 = 0,463\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$q_{d1} = \ g_{d} \bullet cos\alpha + S_{d} \bullet \cos^{2}\alpha + p_{d} = 0,385 \bullet cos53 + 0,378 \bullet \ \cos^{2}53 + 0,240 = 0,231 + 0,136 + 0,240 = 0,607\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Pionowe

$$q_{k2} = \ g_{k} + S_{k} \bullet cos\alpha + p_{k} \bullet cos\alpha = 0,35 + 0,258 \bullet \ cos53 + 0,160 \bullet cos53 = 0,35 + 0,155 + 0,09 = 0,595\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$q_{d2} = \ g_{d} + S_{d} \bullet cos\alpha + p_{d} \bullet cos\alpha = 0,385 + 0,378 \bullet \ cos53 + 0,240 \bullet cos53 = \ 0,385 + 0,227 + 0,144 = 0,756\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

Poziome

$$q_{k3} = \ p_{k} \bullet sin\alpha = 0,160 \bullet sin53 = 0,127\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$q_{d3} = \ p_{d} \bullet sin\alpha = 0,240 \bullet sin53 = 0,191\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

1. Wymiarowanie krokwi

Rozpiętość krokwi:

l = 3, 95m     

Rozstaw krokwi:

a = 0, 85m

$$q_{k} = \ q_{k1} \bullet a = 0,463 \bullet 0,85 = 0,393\frac{\text{kN}}{m}$$

$$q_{d} = \ q_{d1} \bullet a = 0,607 \bullet 0,85 = 0,515\frac{\text{kN}}{m}$$

$$M_{y} = \ \frac{g_{d} \bullet l^{2}}{8} = \frac{0,515 \bullet {3,95}^{2}}{8} = \frac{8,03}{8} = 1,004\ kN \bullet m$$

Przyjęto krokiew o wymiarach:

b=6 cm

h=16 cm

$$I_{y} = \ \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \ \frac{6 \bullet 16^{3}}{12} = 2048\ \text{cm}^{4} = \ 2,048 \bullet 10^{3}\text{cm}^{4}$$

$$w_{y} = \frac{b \bullet h^{2}}{6} = \ \frac{6 \bullet 16^{2}}{6} = \ 256\ \text{cm}^{3}$$

Naprężenia:

$$\sigma_{\text{md}} = \frac{M_{y}}{w_{y}} = \frac{1,004}{256} = \frac{1,004\ \bullet 10^{3}}{256 \bullet \ 10^{- 6}} = 3,92\ MPa$$

f_mk = 27 MPa      k_mod = 0, 9     γ_M = 1, 3

$$f_{\text{md}} = \ \frac{k_{\text{mod}} \bullet f_{\text{mk}}}{\gamma_{M}} = \ \frac{0,9\ \bullet 27}{1,3} = 18,69\ MPa$$

σ_md = 3, 92 Mpa  < f_md = 18, 69 MPa

Ponieważ krokwie zabezpieczone są w strefie ściskanej przed przemieszczeniami bocznymi, więc nie należy uwzględniać wpływu zwichrzenia.

Ugięcie:

$$\frac{l}{h} = \ \frac{395}{16} = 22,81\ > 20$$

Nie uwzględniamy wpływu sił poprzecznych

Ugięcie od obciążenia stałego:

k_def1 = 0, 8

$$q_{k1} = \ q_{k} \bullet cos\alpha \bullet a = 0,393 \bullet cos53 \bullet 0,85 = 0,201\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$U_{inst1} = \ \frac{5}{385} \bullet \frac{q_{k} \bullet l^{4}}{E \bullet I_{y}} = \ \frac{5}{385} \bullet \frac{0,201 \bullet 10^{3} \bullet {3,95}^{4}}{12 \bullet 10^{9} \bullet 2048\ \bullet 10^{- 8}} = 0,012 \bullet \frac{200 \bullet 243,4}{0,24} = 0,254 \bullet 10^{- 2}m = 0,254\ cm$$

Ugięcie od obciążenia zmiennego:

k_def2 = 0

$$q_{k2} = \ \left( S_{k} \bullet \cos^{2}\alpha + p_{k} \right) \bullet a = \ \left( 0,258 \bullet \cos^{2}53 \bullet 0,160 \right) = 0,014 \bullet 0,85 = 0,012\frac{\text{kN}}{m}$$

$$U_{inst2} = \ \frac{5}{385} \bullet \frac{q_{k} \bullet l^{4}}{E \bullet I_{y}} = \ \frac{5}{385} \bullet \frac{0,012 \bullet 10^{3} \bullet {3,95}^{4}}{12 \bullet 10^{9} \bullet 2048\ \bullet 10^{- 8}} = 0,012\text{\ cm}$$

Ugięcie całkowite:

u_fin =  u_inst1 • (1+k_def1) + u_inst2 • (1+k_def2) = 0, 254 • (1+0,8) + 0, 012 • 1 = 0, 457 + 0, 012 = 0, 469 cm

$$u_{\text{netfin}} = \ \frac{l}{200} = \frac{395}{200} = 1,97cm$$

u_fin =  0, 469 cm < u_netfin =  1, 97cm

 

1. Wymiarowanie płatwi

l_d = 1, 25m

l_g = 1, 45m

a = 0, 85 m

Obciążenie pionowe „z”

$$q_{k2} = 0,595\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }q_{d2} = 0,756\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ }l_{z} = 2 \bullet a = 1,7m$$

$$P_{\text{zk}} = \ q_{k2} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) \bullet a = 0,595 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) \bullet 0,85 = 1,36kN$$

$$P_{\text{zd}} = \ q_{d2} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) \bullet a = 0,765 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) \bullet 0,85 = 1,75kN$$

Obciążenie pionowe „y”

$$q_{k3} = 0,127\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }q_{d3} = 0,191\ \frac{\text{kN}}{m^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ }l_{y} = 4 \bullet a = 3,4m$$

$$P_{\text{yk}} = \ q_{k3} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) \bullet a = 0,127 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) \bullet 0,85 = 0,29kN$$

$$P_{\text{yd}} = \ q_{d3} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) \bullet a = 0,191 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) \bullet 0,85 = 0,73kN$$

$$M_{y} = \frac{\left( P_{\text{yd}} \bullet l_{y} \right)}{2} = \frac{\left( 0,73 \bullet 3,4 \right)}{2} = 1,24\ kN \bullet m\ \ \ \ \ \ \ \ {\text{\ \ \ }\text{\ \ M}}_{z} = \frac{\left( P_{\text{zd}} \bullet l_{z} \right)}{4} = \frac{\left( 1,75 \bullet 1,7 \right)}{4} = 0,743\ kN \bullet m$$

Wymiar płatwi

b = 10cm

h = 12cm

$$w_{z} = \frac{b \bullet h^{2}}{6} = \frac{10 \bullet 12^{2}}{6} = 240\text{cm}^{3}$$

$$w_{y} = \frac{h \bullet b^{2}}{6} = \frac{12 \bullet 10^{2}}{6} = 200\text{cm}^{3}$$

$$I_{z} = \frac{b \bullet h^{3}}{12} = \frac{10 \bullet 12^{3}}{12} = 1,44 \bullet 10^{3}\ \text{cm}^{4}$$

$$I_{y} = \frac{h \bullet b^{3}}{12} = \frac{12 \bullet 10^{3}}{12} = 1,0 \bullet 10^{3}\ \text{cm}^{4}$$

$$\sigma_{\text{myd}} = \frac{M_{y}}{w_{y}} = \ \frac{1,24 \bullet 10^{3}}{200 \bullet 10^{- 6}} = 6,2\ MPa$$

$$\sigma_{\text{mzd}} = \frac{M_{z}}{w_{z}} = \ \frac{0,743{\ \bullet \ 10}^{3}\ }{240 \bullet 10^{- 6}} = 3,09\text{\ MPa}$$

k_m = 0, 7

$$k_{m} \bullet \frac{\sigma_{\text{myd}}}{f_{\text{md}}} + \frac{\sigma_{\text{mzd}}}{f_{\text{md}}} = \ \ \ \ 0,7\ \bullet \frac{6,2}{18,69} + \frac{3,09}{18,69}\ = 0,397\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ < 1$$

$$\frac{\sigma_{\text{myd}}}{f_{\text{md}}} + k_{m} \bullet \frac{\sigma_{\text{mzd}}}{f_{\text{md}}} = \ \ \frac{6,2}{18,69}\ + 0,7 \bullet \ \ \frac{3,09}{18,69} = 0,447\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ < \ 1$$

Ugięcie płatwi

Ugięcie w pionie „z”

$$\frac{l_{z}}{h} = \ \ \ \ \frac{170}{12} = \ 14\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ < 20\ $$

Należy uwzględnić wpływ sił poprzecznych

Ugięcie od obciążenia stałego

$$P_{zk1} = a \bullet g_{k} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) = 0,85 \bullet \ 0,35\ \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) = \ 0,90\ \ \ kN\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k_{def1} = 0,8$$

$$u_{inst1} = \ \frac{P_{zk1} \bullet l_{z}^{3}}{48\ \bullet \ E_{\text{omean}} \bullet I_{z}} = \frac{0,9 \bullet 10^{3} \bullet {1,7}^{3}}{48\ \bullet \ 12 \bullet 10^{9} \bullet 1440 \bullet 10^{- 8}} = 0,0009\text{\ cm}$$

Ugięcie od obciążenia zmiennego

k_def2 = 0

$$P_{zk2} = \ \left( S_{k} \bullet cos\alpha + p_{k} \bullet cos\alpha \right) \bullet a \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) = \left( 0,258 \bullet cos53 + 0,16 \bullet cos53 \right) \bullet 0,8 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) = 0,54\ \ \ \ kN$$

$$u_{inst2} = \ \frac{P_{zk2} \bullet l_{z}^{3}}{48\ \bullet \ E_{\text{omean}} \bullet I_{z}} = \frac{0,54 \bullet 10^{3} \bullet {1,7}^{3}}{48\ \bullet \ 12 \bullet 10^{9} \bullet 1440} = 0,0005\text{\ cm}$$

Ugięcie całkowite:

u_finz1 = u_inst1 • (1+k_def1) + u_inst2 • (1+k_def2) = 0, 0009 • (1+0,8) + 0, 0005 • (1+0) = 0, 0021cm

Po uwzględnieniu sił poprzecznych:

$$u_{\text{finz}} = u_{finz1} \bullet \left( 1 + 19,2 \bullet \left( \frac{h}{l_{z}} \right)^{2} \right) = 0,0021 \bullet \left( 1 + 19,2 \bullet \left( \frac{12}{170} \right)^{2} \right) = 0,0023\text{\ cm}$$

Ugięcie dopuszczalne:

$$u_{\text{netfi}nz} = \ \frac{l_{z}}{200} = 0,85cm$$

u_finz = 0, 0023 < u_netfinz = 0, 85 cm

Ugięcie w poziomie „y”:

$$\frac{l_{y}}{b} = \frac{340}{10} = 34\ \ > 20\ $$

Nie trzeba uwzględniać wpływu sił poprzecznych

Ugięcie od obciążenia stałego:

u_inst1 = 0     k_def1 = 0, 8

Ugięcie od obciążenia zmiennego:

$$P_{yk2} = \left( p_{k} \bullet sin\alpha \right) \bullet a \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) = 0,16 \bullet sin53 \bullet 0,85 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) = 0,293\ kN$$

$$u_{inst2} = \frac{19 \bullet P_{yk2} \bullet l_{y}^{3}}{384 \bullet E_{\text{Omean}} \bullet I_{y}} = \frac{19 \bullet 0,293 \bullet 10^{3} \bullet {3,4}^{3}}{384\ \bullet \ 12 \bullet 10^{9} \bullet 1000 \bullet 10^{- 8}} = 0,016\text{\ c}m$$

k_def2 = 0

Ugięcie całkowite:

u_finy = u_finy1 • (1+k_def1) + u_finy2 • (1+k_def2) =  0, 00 • (1+0,8) + 0, 016 • (1+0) = 0, 016cm

Ugięcie dopuszczalne:

$$u_{\text{netfiny}} = \ \frac{l_{y}}{200} = 1,7cm$$

u_finy = 0, 016 < u_netfizy = 1, 7 cm

Ugięcie sumaryczne:

$$u_{f\text{in}} = \sqrt{\left( u_{\text{finz}} \right)^{2} + \left( u_{\text{finy}} \right)^{2}} = \ 0,016\ \text{cm}$$

$$u_{\text{netfin}} = \sqrt{\left( u_{\text{netfinz}} \right)^{2} + \left( u_{\text{netfiny}} \right)^{2}} = \ 1,90cm$$

u_fin = 0, 016cm  <  u_netfin = 1, 90cm

1. Wymiarowanie słupka

l = 2, 40m

b = 10 cm

Siła w słupku:

$$N = q_{d2} \bullet \left( l_{g} + \frac{l_{d}}{2} \right) = \ 0,756 \bullet \left( 1,45 + 1,25 \right) = 2,04\ kN$$

Ze względu na usztywnienie w płaszczyźnie mieczy, wyboczenie należy sprawić w płaszczyźnie prostopadłej.

E₀₀₅ = 8000MPa           f_c0k = 22MPa

$$f_{c0d} = \ k_{\text{mod}} \bullet \frac{f_{c0k}}{\text{γM}} = 0,9 \bullet \frac{22}{1,3} = 15,231\ MPa$$

μ = 1          l_c = μ • l = 1 • 2, 4 = 2, 4m

i = 0, 289 • b = 0, 289 • 10 = 2, 89cm

$$\lambda = \frac{l_{c}}{i} = \frac{240}{2,89} = 83,04$$

$$\sigma_{\text{ccrit}} = \pi^{2} \bullet \frac{E_{005}}{\lambda^{2}} = \pi^{2} \bullet \frac{8000}{{83,04}^{2}} = 11,45\ MPa$$

$$\lambda_{\text{rel}} = \sqrt{\frac{f_{c0k}}{\sigma_{\text{ccrit}}}} = \sqrt{\frac{15,231}{11,45}} = 1,15$$

β_c = 0, 2

k = 0, 5 • (1+β_c•(λ_rel−0,5)+λ_rel²) = 0, 5 • (1+0,2•(1,15−0,5)+1, 15²) = 1, 22

$$k_{c} = \frac{1}{k + \sqrt{k^{2} - {\lambda_{\text{rel}}}^{2}}} = \frac{1}{1,22 + \sqrt{{1,22}^{2} - {1,15}^{2}}} = \frac{1}{1,22 + 1,67} = \frac{1}{2,89} = 0,34$$

A_d = b² = 0, 01m²

$\frac{N}{k_{c} \bullet A_{d}} = \frac{2,04}{0,34 \bullet 0,01} = 6,0\ MPa\ \ \ \ \ \ < \ \ \ f_{c0d} = 15,231\ MPa$