Piotr LUDWIKOWSKI
2009/2010Fizyka	8 października 2009
Czwartek, 13:00	dr J. Rudzińska-Girulska

ZALEŻNOŚĆ OPORU ELEKTRYCZNEGO
METALU I PÓŁPRZEWODNIKA OD TEMPERATURY

Lp.	Temperatura T, °C/K	Opór termistora R1 [kΩ]	Opór miedzi R2 [kΩ]
		temp. ros.	temp. mal.
1	22/295	0,213	0,177
2	27/300	0,117	0,149
3	32/305	0,095	0,128
4	37/310	0,079	0,109
5	42/315	0,064	0,094
6	47/320	0,054	0,087
7	52/325	0,048	0,075
8	57/330	0,042	0,066
9	62/335	0,037	0,058
10	67/340	0,033	0,051
11	72/345	0,030	0,046
12	77/350	0,027	0,040
13	82/355	0,023	0,035
14	87/360	0,021	0,032
15	92/365	0,018	0,028
16	97/370	0,017	0,024
17	103/375	0,015	0,015

Niepewność pomiaru temperatury: u(t) = 1C = u(T) = 1K

Niepewność pomiaru oporu: u(R) = 1Ω

TEORIA:

Opór elektryczny

Zgodnie z I prawem Ohma natężenie prądu jest proporcjonalne do napięcia przyłożonego do końców przewodnika i wyraża się wzorem:

$$I = \frac{1}{R}U$$

Odwrotnością współczynnika proporcjonalności jest opór elektryczny. Oznaczamy go literą R i wyrażamy w omach [Ω]. Warto wspomnieć, że wyrażenie to jest definicją oporu. Sens tej zależności jest taki, że wzrost napięcia powoduje wzrost natężenia, czyli inaczej dla każdej pary wartości U i I stosunek U/I jest stały. Opór przewodnika jest proporcjonalny do jego długości i odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego:

$$R = \rho\frac{l}{S}$$

Współczynnik proporcjonalności ρ nazywamy oporem właściwym. Jednostką jest jeden omometr
[1 Ωm].

Przewodnictwo w ciałach stałych

W ciałach stałych przewodzenie prądu jest możliwe dzięki ruchomym ładunkom. Napięcie przyłożone do końców przewodnika powoduje uporządkowany ruch nośników tych ładunków (elektronów, jonów dodatnich i ujemnych), które pod wpływem sił pola elektrycznego poruszają się z pewną prędkością v. W metalach, liczba elektronów swobodnych, które są nośnikami prądu jest olbrzymia. Najczęściej są to elektrony walencyjne poszczególnych atomów tworzących sieć krystaliczną.

Okazuje się, że opór jest stały dla danego przewodnika tylko przy stałej temperaturze. Jeżeli podczas przepływu prądu ogrzewamy lub ochładzamy przewodnik, to możemy zaobserwować odpowiednio dodatnie lub ujemne przyrosty oporu. Dla każdego przewodnika charakterystyczny jest współczynnik temperaturowy oporu α:

$$\alpha = \frac{\Delta R}{R_{0}\Delta t}$$

gdzie R₀ – opór przewodnika w temperaturze początkowej.

Pasma energetyczne kryształów, zależność przewodnictwa elektrycznego półprzewodników od temperatury

Przewodzenie prądu elektrycznego jest związane ze zmianą energii kinetycznej elektronów, które muszą być przyspieszane przez pole elektryczne po to, aby uzyskać energię kinetyczną. W metalach puste poziomy energetyczne znajdują się bardzo blisko poziomów zapełnionych, dlatego aby przejść na wyższy poziom energetyczny elektrony potrzebują stosunkowo niewielkiej energii, co skutkuje tym, że nawet w niskich temperaturach pole elektryczne może przyspieszać elektrony i nadawać im większą energię. Nośnikami są elektrony z pasma walencyjnego, które można nazwać pasmem przewodzącym.

W półprzewodnikach puste i zapełnione poziomy energetyczne oddziela tzw. pasmo wzbronione (zakaz Pauligo). Przy mniejszej szerokości pasma wzbronionego, część elektronów z pasma walencyjnego może w wyniku wzbudzeń termicznych (zmiany energii) przedostać się do wyższego, pustego pasma energetycznego nawet w temperaturze pokojowej. W paśmie tym, które w półprzewodnikach nazywane jest pasmem przewodnictwa, elektrony mogą być przyspieszane polem elektrycznym, czyli mogą stać się nośnikami prądu. Dzięki zwolnieniu niektórych poziomów w górnej części pasma walencyjnego, elektrony pozostałe w tym paśmie także uzyskują możliwość brania udziału w przewodzeniu prądu. Przewodnictwo związane z ruchem elektronów w prawie całkowicie zapełnionym paśmie walencyjnym, nosi nazwę przewodnictwa dziurowego. Przy podwyższaniu temperatury półprzewodnika rośnie eksponencjalnie prawdopodobieństwo termicznego wzbudzenia elektronów do pasma przewodnictwa, a wraz z nim koncentracja nośników prądu. Ponieważ przy wzroście temperatury ruchliwość nośników prądu maleje znacznie wolniej niż wzrasta ich koncentracja, to w rezultacie, przy podwyższaniu temperatury opór elektryczny półprzewodnika maleje (odwrotnie niż w przypadku metali). Zależność przewodności właściwej σ półprzewodnika od temperatury T wyraża się wzorem:

$$\sigma = Ae^{- \frac{E_{g}}{2k_{B}T}}$$

gdzie: E_g oznacza energię aktywacji nośników, k_B – stała Boltzmanna, A –stała.

OPRACOWANIE WYNIKÓW

Najpierw sporządzam wykresy zależności oporu od temperatury dla drutu miedzianego i termistora:

I Wykres dla miedzi (temperatura rosnąca):

II Wykres dla miedzi (temperatura malejąca):

I Wykres dla termistora (temperatura rosnąca):

II Wykres dla termistora (temperatura malejąca):

Wartości temperaturowego współczynnika oporu dla miedzi (podobnie jak dla półprzewodnika) zostały podane na każdym wykresie. Zobaczmy jak wyglądały obliczenia¹:

Aby wyliczyć współczynnik kierunkowy prostej (który jest jednocześnie temperaturowym współczynnikiem oporu), korzystamy z następującego wzoru:

$$\overset{\overline{}}{a} = \frac{n\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i} - \sum_{i = 1}^{n}x_{i}}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}}{n\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2}}$$

gdzie:
x_i – temperatury poszczególnych pomiarów (dla badanego wykresu w °C),
y_i – opory w poszczególnych pomiarach (w Ω),

n =17 – liczba pomiarów.

Obliczymy również współczynnik b dla prostej reprezentującej zależność oporu od temperatury:

$$\overset{\overline{}}{b} = \frac{1}{n}\left( \sum_{i = 1}^{17}y_{i} - \overset{\overline{}}{a}\sum_{i = 1}^{17}x_{i} \right)$$

Wyliczamy poszczególne składniki powyższych wzorów:

$$\sum_{i = 1}^{17}{x_{i} = 1055\ C}$$	$$\sum_{i = 1}^{17}{y_{i} = 43880\ \Omega}$$	$$\sum_{i = 1}^{17}{x_{i}y_{i} = 2802240\ C} \bullet \Omega$$
$$\sum_{i = 1}^{17}{x_{i}^{2} = 75753\ {(C)}^{2}}$$	$$\left( \sum_{i = 1}^{17}x_{i} \right)^{2} = 1113025\ {(C)}^{2}$$	$$\sum_{i = 1}^{17}{y_{i}^{2} = 113883800\ {(\Omega)}^{2}}$$

Następnie wstawiamy do wyrażeń i otrzymujemy:

$$\overset{\overline{}}{a} \approx 7,69\ \frac{\Omega}{C}$$

oraz:

$$\overset{\overline{}}{b} \approx 2103\ \Omega$$

Do obliczenia niepewności posłużymy się wzorami:

$$S_{\overset{\overline{}}{a}} = \sqrt{\frac{n\left\lbrack \sum_{i = 1}^{n}y_{i}^{2} - \overset{\overline{}}{a}\sum_{i = 1}^{n}{x_{i}y_{i} - \overset{\overline{}}{b}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}} \right\rbrack}{\left( n - 2 \right)\left\lbrack n\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2} - \left( \sum_{i = 1}^{n}x_{i} \right)^{2} \right\rbrack}}$$

oraz:

$$S_{\overset{\overline{}}{b}} = \sqrt{\frac{1}{n}S_{\overset{\overline{}}{a}}^{2}\sum_{i = 1}^{17}x_{i}^{2}}$$

Otrzymujemy:

$$S_{\overset{\overline{}}{a}} \approx 0,29\ \frac{\Omega}{C}$$

oraz:

$$S_{\overset{\overline{}}{b}} \approx 20\ \Omega$$

Dla pozostałych wykresów analogicznie:

Wykres I.2:

$$\overset{\overline{}}{a} \approx 7,38\ \frac{\Omega}{C},\overset{\overline{}}{b} \approx 2051\Omega$$

$$S_{\overset{\overline{}}{a}} \approx 0,21\ \frac{\Omega}{C},\ S_{\overset{\overline{}}{b}} \approx 23\ \Omega$$

Wykres II.1:

$$\overset{\overline{}}{a} \approx 3221\ C,\overset{\overline{}}{b} \approx - 3,64\ \Omega$$

$$S_{\overset{\overline{}}{a}} \approx 93\ C,\ S_{\overset{\overline{}}{b}} \approx 0,14\ \Omega$$

Wykres II.2:

$$\overset{\overline{}}{a} \approx 2994\ C,\overset{\overline{}}{b} \approx - 2,63\ \Omega$$

$$S_{\overset{\overline{}}{a}} \approx 114\ C,\ S_{\overset{\overline{}}{b}} \approx 0,17\ \Omega$$

Otrzymane współczynniki kierunkowe prostych reprezentują iloczyn αR₀, gdzie R₀ = 22°.

Temperaturowe współczynniki oporu α wynoszą odpowiednio α_I.1 ≈ 0, 35 [C⁻¹]α_I.2 ≈ 0, 34[C⁻¹].

Niepewności policzymy z wzoru:

$$u\left( \propto_{I.1} \right) = \sqrt{\left( \frac{u(a)}{R_{0}} \right)^{2} + \left( \frac{au(R_{0})}{R_{0}^{2}} \right)^{2}} \approx 0,13{\lbrack C}^{- 1}\rbrack$$

$$u\left( \propto_{I.2} \right) = \sqrt{\left( \frac{u(a)}{R_{0}} \right)^{2} + \left( \frac{au(R_{0})}{R_{0}^{2}} \right)^{2}} \approx 0,12{\lbrack C}^{- 1}\rbrack$$

Wykresy II.1 i II.2 ilustrują zależność oporu od temperatury dla termistora. Policzymy jeszcze szerokość pasma wzbronionego E_g:

Wykres II.1:

E_g = 2ak_B ≈ 8267 J

$$u\left( E_{g} \right) = \sqrt{\left( 2au(k_{B} \right)^{2} + {(2k_{B}u\left( a \right))}^{2}} \approx 259\ J$$

Wykres II.2:

E_g = 2ak_B ≈ 8893 J

$$u\left( E_{g} \right) = \sqrt{\left( 2au(k_{B} \right)^{2} + {(2k_{B}u\left( a \right))}^{2}} \approx 315\ J$$

WNIOSKI

W wyniku przeprowadzonego eksperymentu otrzymaliśmy następujące wyniki: Temperaturowy współczynnik oporu miedzi dla temp. rosnącej wyniósł α_I.1=0, 35 [C⁻¹], u(∝_I.1)=0, 13[C⁻¹], a dla temp. malejącej α_I.1=0, 34 [C⁻¹], u(∝_I.1)=0, 12[C⁻¹]. Wynik ten znacząco obiega od danych tablicowych. Myślę, że może to być spowodowane złą jakością użytych przewodów. Świadczyć może o tym również fakt, że oporu próbki manganinowej w ogóle nie udało się zmierzyć ze względu na zbyt luźno dopasowany przewód.

Wielkość pasma wzbronionego dla półprzewodnika wyliczyliśmy na E_g=8267 J,u(E_g)=315 J .

---

1. Obliczenia dla każdego z czterech temperaturowych współczynników oporu zostały wykonane identycznie, dlatego szczegółowe operacje przedstawię tylko na jednym przykładzie. Będzie to wykres I.1 (oporu od temp. dla miedzi).↩