I D. Funkcja gęstości widmowej mocy

1. Podać definicję jednostronnej funkcji gęstości widmowej mocy

Gęstość widmowa mocy sygnału losowego opisuje jego ogólną strukturę częstotliwościową za pomocą gęstości widmowej wartości średniokwadratowej tego sygnału.

Dla sygnału stacjonarnego

G_x(f) = 2∫_−∞^∞R_x(τ)e^−j2πfτdτ = 4∫₀^∞R_x(τ)cos(2πfτ)dτ

R_x(τ) −  funkcja parzysta

1. Naszkicować przykładowe wykresy funkcji gęstości widmowej mocy

1. Przedstawić właściwości dwustronnej funkcji gęstości widmowej mocy

Zależności Wienera-Chinczyna:

S_x(f) = ∫_−∞^∞R_x(τ)e^−j2πfτdτ

S_y(f) = ∫_−∞^∞R_y(τ)e^−j2πfτdτ

S_xy(f) = ∫_−∞^∞R_xy(τ)e^−j2πfτdτ

S_x(−f) = S_x(f)

S_y(−f) = S_y(f)

S_xy(−f) = S_xy^*(f) = S_yx(f)

S_x(f), S_y(f) −  funkcje rzeczywiste,  nieujemne i parzyste

S_xy(f) −  funkcja zespolona

Dla dowolnej f : |S_xy(f)|² ≤ S_x(f)S_y(f)

I E. Właściwości szumu termicznego

1. Podać właściwości szumu termicznego

- Proces gaussowski (gaussowski rozkład amplitudy - gaussowski szum biały)

- Proces stacjonarny (parametry statystyczne nie są zmienne w czasie)

- Wywołany drganiami cieplnymi sieci krystalicznej przewodnika

- Napięcie szumów opisane równaniem Nyquista: $U_{t} = \sqrt{4\text{kTR}\Delta f}$

- Elementy bierne (reaktancyjne) nie generują szumu cieplnego bo R=Re(Z)

1. Przedstawić właściwości widma szumu termicznego, określić wpływ częstotliwości i pojemności bocznikującej

Widmo o stałej wartości w praktycznym zakresie częstotliwości (szum biały)

Pojemność bocznikująca powoduje zagięcie się charakterystyki napięcia szumów wraz ze wzrostem częstotliwości dla dużych wartości rezystancji źródła

1. Omówić zagadnienia dysponowalnej mocy szumu termicznego

Rozporządzalna (dysponowalna) moc szumów: $P_{t} = \frac{U_{t}^{2}}{4R} = \text{kT}\Delta f$
jest to moc, jaka może być dostarczona przez źródło sygnału do obciążenia o rezystancji równej rezystancji wewnętrznej źródła.

I F. Właściwości szumu 1/f

1. Przedstawić właściwości widma szumu 1/f

- Widmo odwrotnie proporcjonalne do częstotliwości $S\left( f \right)\sim\frac{1}{f^{\alpha}}$

- Wartość współczynnika α w zakresie 0.7 - 1.3

- Brak dolnej częstotliwości granicznej, górna granica zależy od poziomu szumu 1/f ;

1. Wyjaśnić, co ogranicza pomiar widma szumu 1/f - w zakresie małych i dużych częstotliwości

Pomiar ograniczony jest przez inne rodzaje szumów, niemożliwe jest eksperymentalne ustalenie granic widma szumów 1/f.

$$\int_{0}^{\infty}{S\left( f \right)df\sim\operatorname{}{\int_{f_{1}}^{f_{2}}{\frac{1}{f^{\alpha}}df = \left\{ \begin{matrix} \lim_{f_{1} \rightarrow 0,f_{2} \rightarrow \infty}\ln\frac{f_{2}}{f_{1}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ gdy\ \alpha = 1 \\ \lim_{f_{1} \rightarrow 0,f_{2} \rightarrow \infty}\left( \frac{f_{2}^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} - \frac{f_{1}^{1 - \alpha}}{1 - \alpha} \right)\ gdy\ \alpha \neq 1 \\ \end{matrix} \right.\ }}}$$

Całka jest zawsze rozbieżna, dla niskich (α > 1) i wysokich (α < 1) częstotliwości

1. Przedstawić właściwości mocy szumu 1/f

- Proces gaussowski

- Proces stacjonarny

- Widmo odwrotnie proporcjonalne do częstotliwości $S\left( f \right)\sim\frac{1}{f^{\alpha}}$

- Wartość współczynnika α w zakresie 0.7 - 1.3

- Brak dolnej częstotliwości granicznej

- Nie można wyjaśnić pochodzenia za pomocą uniwersalnego modelu

- Dla większości przewodników ma charakter rezystancyjny: S_u(f) ∼ U²

II A. Równoważne źródła szumów wzmacniacza - szumowy schemat zastępczy

1. Narysować szumowy schemat zastępczy wzmacniacza, opisać poszczególne jego elementy i wyjaśnić zasadę stosowania tego schematu

Dzięki temu schematowi można wyznaczyć odpowiednie wartości napięć i wzmocnienie wzmacniacza:

- napięcie szumu na wejściu wzmacniacza

$$U_{i}^{2} = \frac{\left( U_{t} + U_{n}^{2} \right)Z_{i}^{2}}{\left( R_{s} + Z_{i} \right)^{2}} + \frac{I_{n}^{2}Z_{i}^{2}R_{s}^{2}}{\left( R_{s} + Z_{i} \right)^{2}}$$

- całkowity szum na wyjściu wzmacniacza

$$U_{\text{no}}^{2} = Ku^{2}U_{i}^{2} = Ku^{2}\left( \frac{\left( U_{t}^{2} + U_{n}^{2} \right)Z_{i}^{2}}{\left( R_{s} + Z_{i} \right)^{2}} + \frac{I_{n}^{2}Z_{i}^{2}R_{s}^{2}}{\left( R_{s} + Z_{i} \right)^{2}} \right)$$

- wzmocnienie skuteczne wzmacniacza

$$Kus = \frac{U_{\text{so}}}{U_{s}} = \frac{\text{Ku}Z_{i}}{R_{s} + Z_{i}}$$

- równoważny poziom szumu na wejściu

$$U_{\text{ni}}^{2} = \frac{U_{\text{no}}^{2}}{\text{Ku}s^{2}} = U_{t}^{2} + U_{n}^{2} + I_{n}^{2}R_{s}^{2}$$

1. Wyprowadzić wyrażenie na całkowite równoważne wejściowe napięcie szumów

U_ni² = U_t² + U_n² + I_n²R_s²

U_ni −  calkowity rownowazny poziom szumow na wejsciu opisuje sumaryczny wplyw Un,  In,  Ut

1. Omówić sposób pomiaru poszczególnych składników wyrażenia na całkowite równoważne wejściowe napięcie szumów

U_ni² = U_t² + U_n² + I_n²R_s²

Pomiar U_t:

$$U_{t} = \sqrt{4kTR_{s}f}$$

Pomiar Un :  

R_s → 0 = >Uni ≈ Un

$$R_{s} = 0 = > Uno \approx KuUn = > Un = \frac{\text{Uno}}{\text{Ku}}$$

Pomiar In:

$$R_{s} \rightarrow \infty = > U_{t}\sim\sqrt{R_{s}} < I_{n}R_{s} = > Uni \approx I_{n}R_{s}$$

$$R_{s} \rightarrow \infty = > U_{\text{no}} \approx KuI_{n}R_{s} = > I_{n} = \frac{U_{\text{no}}}{\text{Ku}R_{s}}$$

$$In = \sqrt{\frac{U_{\text{ni}}^{2} - U_{t}^{2}}{R_{s}^{2}}}$$

II D. Szumowy schemat zastępczy tranzystora bipolarnego - całkowite równoważne wejściowe źródło szumów

1. Narysować szumowy schemat zastępczy tranzystora i opisać poszczególne źródła szumów

1. Wyznaczyć całkowity wyjściowy prąd szumów tranzystora

I_no² = I_c² + (gmUb^′e)²

$$I_{\text{no}}^{2} = I_{c}^{2} + gm^{2}\left( \frac{\left( Us^{2} + Ub^{2} \right)Z_{b^{'}e}^{2}}{\left( Rs + Rbb^{'} + Zb^{'}e \right)^{2}} + \frac{\left( If^{2} + Ib^{2} \right)Z_{b^{'}e}^{2}\left( Rs + rbb^{'} \right)^{2}}{\left( Rs + Rbb^{'} + Zb'e \right)^{2}} \right)$$

1. Wyprowadzić ogólne wyrażenie na całkowite wejściowe równoważne napięcie szumów

$$\text{Un}i^{2} = \frac{\text{In}o^{2}}{Kc^{2}}$$

$$I_{\text{no}}^{2} = I_{c}^{2} + gm^{2}\left( \frac{\left( Us^{2} + Ub^{2} \right)Z_{b^{'}e}^{2}}{\left( Rs + Rbb^{'} + Zb^{'}e \right)^{2}} + \frac{\left( If^{2} + Ib^{2} \right)Z_{b^{'}e}^{2}\left( Rs + rbb^{'} \right)^{2}}{\left( Rs + Rbb^{'} + Zb'e \right)^{2}} \right)$$

$$\text{Un}i^{2} = \frac{Ic^{2}\left( Rs + rbb^{'} + Zb^{'}e \right)^{2}}{gm^{2}Zb^{'}e^{2}} + Us^{2} + Ub^{2} + \left( If^{2} + Ib^{2} \right)\left( Rs + rbb' \right)^{2}$$

II E. Właściwości szumowe wzmacniacza napięciowego

1. Przedstawić sposób wyznaczania funkcji GWM napięciowego źródła szumów wzmacniacza i przykładowy wynik pomiaru

$$\text{Sun}\left( f \right) = \frac{S_{0}(f)}{Ku^{2}}\ ;Rs = 0$$

1. Omówić przykładową zależność całkowitego równoważnego napięcia szumów od rezystancji źródła i częstotliwości

Wraz ze wzrostem rezystancji źródła i częstotliwości maleje współczynnik szumów.

1. Omówić sposób wyznaczania zależności współczynnika szumów od rezystancji źródła i częstotliwości, naszkicować przykładową zależność

$$F = 20\log\frac{\text{Uni}}{\sqrt{4kTR_{s}}}$$

Z powyższego wzoru wyznaczamy współczynnik szumów, następnie tworzymy wykres w 3 płaszczyznach x, y i z. Na osi x znajduje się rezystancja Rs, na osi y częstotliwości dla których był wykonywany pomiar a na osi z współczynnik szumów.

III B. Stosunek sygnału do szumu w systemach z modulacją amplitudową (synchronicznych) – porównanie

1. Porównać moc szumu wejściowego dla modulacji SSB, DSB i AM

DSB

SSB

AM

Wszystkie moce są równe n0*B dla B równego 2fm

1. Przedstawić zależności między wyjściowym a wejściowym SNR dla modulacji SSB, DSB i AM

DSB

SSB

AM

1. Omówić szczegółowo zależność wyjściowego od wejściowego SNR dla modulacji AM

ma – współczynnik modulacji

III C. Stosunek sygnału do szumu w systemach z modulacją częstotliwościową

1. Naszkicować wykres funkcji gęstości widmowej mocy szumu wejściowego i wyjściowego oraz podać zależności na moc tych szumów

Szum wyjściowy

Szum wejściowy

1. Wyjaśnić z czego wynika pojawienie się wartości progowej w zależności SNR0/SNRi

1. Omówić zależność wyjściowego SNR od wejściowego SNR dla modulacji częstotliwości

Dla niskich wartości SNRi zależność powyższa osiąga wartość progową i zaczyna maleć, im większy współczynnik beta tym większa jest wartość SNRi dla której występuje to zjawisko progowe. Dla dużych wartości SNRi modulacja FM daje duża poprawę jakości.

III D. Stosunek sygnału do szumu w systemach z modulacją impulsową (impulsy cosinusoidalne) – porównanie

1. Wyjaśnić, w jaki sposób szum wpływa na różne rodzaje modulacji impulsowej

– PAM – modulacja amplitudy impulsów – najbardziej podatna na zakłócenia szumem,

który zmienia amplitudę impulsów będących nośnikiem informacji,

– PWM – modulacja szerokości impulsów – bardziej odporna niż PAM, szum praktycznie

nie zmienia szerokości impulsów; amplituda impulsów nie przenosi informacji,

– PPM – modulacja położenia impulsów – bardziej odporna niż PAM, szum nie wpływa

na położenie impulsów; amplituda i szerokość impulsów nie przenoszą informacji.

1. Wyjaśnić, od czego (i w jaki sposób) zależy SNR0 od SNRi dla różnych rodzajów modulacji impulsowej

PAM

PWM

PPM

1. Porównać pod kątem odporności szumowej modulacje impulsowe (dla impulsów cosinusoidalnych)