1. Momenty bezwładności

Definicja momentów bezwładności:

– osiowe momenty bezwładności

– biegunowy moment bezwładności

– moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy)

Osiowe momenty bezwładności przyjmują zawsze wartości dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni, ujemny lub równy zero. Osiowe momenty bezwładności są pewną miarą rozproszenia przekroju względem danej osi. Im osiowy moment bezwładności jest większy tym rozproszenie przekroju jest większe.

Wartość bezwzględna momentu dewiacyjnego jest miarą asymetrii przekroju względem przyjętego układu współrzędnych. Jeśli jedna z osi układu współrzędnych jest osią symetrii to moment dewiacyjny względem tego układu wynosi 0.

Główna oś bezwładności: występuje w układach współrzędnych gdzie osiowe momenty bezwładności przyjmują wartości ekstremalne, a moment dewiacji zanika, momenty osiowe w tym układzie nazywamy głównymi momentami bezwładności. Kąt, który określa położenie głównych osi bezwładności wyznacza się ze wzoru

Transformacja momentów przez obrót układu współrzędnych

Współrzędne elementarnego pola powierzchni dA w układzie Y`Z` opisują wzory transformacyjne, które maj postać

Ostateczne wzory

Wartości momentów bezwładności dla typowych przekrojów:

1. Prostokąt

Iyo=(b*h^3)/12

Izo=(h*b^3)/12

Moment dewiacji będzie równy 0 ponieważ Y i Z są symetryczne

1. Trójkąt prostokątny

   Moment dewiacji

2. Koło Osiowe momenty bezwładności

   Moment dew-0

   Twierdzenie Stainera

Twierdzenie Steinera dla momentów osiowych : moment bezwładności pola A figury płaskiej względem prostej równa się momentowi bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek ciężkości pola plus iloczynowi pola A figury i kwadratu odległości obu prostych

Twierdzenie Steinera umożliwia obliczanie momentów bezwładności figur płaskich względem osi równolegle przesuniętych w stosunku do osi centralnych (osi przechodzących przez środek ciężkości przekroju).

2. Siły wewnętrzne

Siły wewnętrzne stanowią oddziaływania między poszczególnymi elementami ciała powstałymi na skutek rozdzielenia tego ciała przekrojem.
Są zawsze parami przeciwne, mają równe wartości i działają wzdłuż tej samej prostej. W celu ujawnienia tych sił stosuje się metodę przecięć, która polega na myślowym przecięciu ciała dowolną płaszczyzną.

Rodzaje : normalna, siła poprzeczna i tnąca, moment skręcający i gnący

O wytrzymałości materiału decydują dwa rodzaje sił wewnętrznych. Są to siły normalne do powierzchni przekroju i siły styczne leżące w płaszczyźnie przekroju.

Zwiazek siły tnącej z obciążeniem i momentu gnącego z siła tnącą: Moment gnący, siła poprzeczna i obciążenie rozłożone na osi belki SA ze soba związane zależnościami różniczkowymi T=dMg/dx oraz q=-dT/dx.

3.Naprężenia

Naprężenia główne są to naprężenia ekstremalne ze względu na położenie płaszczyzn w których występują i charakteryzują się tym, że są do tych płaszczyzn prostopadłe. Są to takie naprężęnia w których nie występują naprężenia styczne.

Naprężenie w dowolnym punkcie zależy od kierunku, w którym jest rozpatrywane, istotne jest jaki kierunek miała normalna do powierzchni przekroju: gdzie: s - wektor naprężenia, F - wektor sił wewnętrznych w ciele działających w przekroju, A - pole przekroju.

Naprężeniem normalnym nazywamy stosunek wartości siły normalnej N do pola A przekroju i obliczamy ze wzoru

Naprężeniem stycznym nazywamy stosunek wartości siły stycznej T do pola A przekroju i wyznaczamy ze wzoru

Wytężenie materiału – to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn. pojawienie się lokalnego odkształcenia trwałego (tzw. uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała. Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych stanu naprężenia oraz własności mechanicznych:

1,2,3-naprężenia główne | C-własności mechaniczne materiałów np.: Re-granica plastyczności; Rm- wytrzymałości na rozciąganie; Rc- wytrzymałość na ściskanie; Rs-wytrzymałośc na ścinanie

Naprężenie redukowane (zastępcze) wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia.

Hipotezy wytrzymałościowe:

1. Hipotezę maksymalnych naprężeń stycznych | 2. Hipotezę energii właściwej odkształcenia postaciowego | 3. Hipotezę największych naprężeń normalnych

4. Hipotezę największego wydłużenia względnego

Hipoteza Hubera - Missesa (energia odkształcenia postaciowego)

Hipoteza 2: o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym odkształceń trwałych decyduje maksymalna energia odkształcenia postaciowego – hipoteza Hubera zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego. Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność:

Hipoteza Treski (największych naprężeń stycznych)

Hipoteza 1: o pojawieniu się w materiale sprężysto-plastycznym odkształceń trwałych decydują maksymalne naprężenia styczne – hipoteza Coulomba.

Dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenie styczne. Największe naprężenie styczne w dowolnym stanie naprężeń wynosi:

Naprężenie całkowite (σ) jest równe naciskowi nadkładu lub inaczej naprężeniu, które jest powodowane przez ciężar gruntu włączając w to wszelkie inne siły (np. ciężar obiektu budowlanego).Całkowite naprężenie wzrasta z głębokością proporcjonalnie do gęstości gruntu w nadkładzie.

Stan naprężenia na ścianach elementarnego prostopadłościanu

Składowe tensora stanu naprężenia

Aksjator - powoduje zmianę objętości (gęstości) ciała i dla części materiałów nie prowadzi do powstania odkształceń trwałych.

Dewiator - zawsze doprowadza do zmiany postaci ciała i może prowadzić do odkształceń trwałych.

Tensor stanu naprężenia

tensor naprężenia jest symetryczny

Jest to dowolną wielkość fizyczną która podlega prawom transformacji.

4. pole(wektorowe) przemieszczeń zostanie określone jeżeli każdemu punktowi ciała przypisany będzie wektor przemieszczenia. Składowe wektora przemieszczenia b są w takim przypadku funkcjami współrzędnych xyz punktu B ciała w stanie nieodkształconym u(xyz) v(xyz) w(xyz).

Składowe stanu odkształcenia

5.Prawo Hooke’a- głosi że składowe stanu odkształcenia są liniowymi funkcjami składowych stanu naprężeń i na odwrót. Składowa stanu odkształcenia Ex spowodowana jednoczesnym działaniem wszystkich składowych stanu naprężeń σx σy σz łxy łyz łzx równa się sumie częściowych odkształceń w kierunku osi x wywołanych działaniem pojedynczych naprężeń.

uogólnione prawo Hooke’a

E- moduł sprężystości podłużnej (moduł Younga)

G- moduł sprężystości poprzecznej (moduł Kirchoffa)

v- współczynnik Poissona

Współczynnik Poissona

Stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego przy osiowym stanie naprężenia. Wartość bezwymiarowa, która nie określa sprężystości materiału a jedynie w sposób w jaki się odkształca. ε’/ ε=v

6. Elementarne przypadki wytrzymałości pręta

Charakteryzują się występowaniem pojedynczej składowej siły wewnętrznej w jego przekroju.

1. Rozciąganie lub ściskanie pręta, w przekroju którego występuje siła normalna N. | 2. Skręcanie pręta o przekroju kołowym (pierścieniowym), w którym działa moment skręcający Ms. | 3. Zginanie równomierne proste belki, w której przekroju działa moment gnący Mg o kierunku pokrywającym się z jedną z głównych centralnych osi bezwładności tego przekroju. | 4. Ścinanie pręta, w którego przekroju działa siła poprzeczna T skierowana wzdłuż osi symetrii przekroju oraz pomijalnie mały moment gnący.

Założenia upraszczające. 1. Przekrój pręta pozostaje po odkształceniu płaski – założenie bardzo radykalne przy ścinaniu | 2. Pręt jest wykonany z materiału liniowo- sprężystego

7. Rozciąganie pręta

Siła osiowa-pręt obciążony siłą osiową P. Wywołuje ona w dowolnym odległym o x od górnego końca przekroju siłę normalną N. W pręcie rozciąganym N=P, w ściskanym N=-P

Naprężenie normalne – występuje tylko w przekroju normalnym pręta, a w przekrojach równoległych osi nie ma naprężeń. Pręt rozciągany lub ściskany można traktować jak wiązkę włókien o przekroju dA, które nie oddziaływają na siebie mechanicznie.

Jeżeli naprężenia normalne są stałe na całym przekroju pręta to

N- siła normalna

A-pole powierzchni pręta

Wydłużaniu ε pręta towarzyszy zmniejszenie wymiaru poprzecznego ε’=(dl-d)/d

dl,d-wymiar poprzeczny pręta przed i po odkształceniu Dla materiałów lionowo sprężystych ε i ε’ jest stałe – współczynnik Poissona ε’/ε=v

Odkształcenie : długość pręta pierwotnego-dx. Górny przekrój przemieści się w kierunki osi x o u, a dolny o u+du. Po odkształceniu odcinka pręt będzie miał dx+du | ε-odkształcenie względne ε=du/dx

Związek pomiędzy naprężeniem/odkształceniem a siłą wewnętrzną:

Naprężenia w ciele odkształcalnym są wprost proporcjonalne do odkształceń wywołanych obciążeniem zewnętrznym. ε=σ/E | E(N/m^2)stała sprężysta materiału - współczynnik materiału albo moduł Younga

Ocena wytrzymałości i sztywności pręta

1.Wyznaczenie niewiadomych wielkości podporowych | 2.Określenie równań i sporządzenie wykresów sił wewnętrznych dla wszystkich przedziałów pręta | 3.Ustalenie przekroju niebezpiecznego, w którym siła wewnętrzna uzyskuje wartość maksymalną |4.Ocena wytrzymałości pręta na podstawie maksymalnej wartości naprężenia w przekroju niebezpiecznym | 5.Wyznacznie maksymalnego przemieszczenia i przeprowadzenie na jego podstawie oceny sztywności pręta

Wytrzymałość materiału Rm=Fm/So Fm-max obciążenie | So- przekrój pręta

Granica plastyczności Re=Fe/So Fe- siła powodująca płynięcie materiału

8.Skręcanie pręta to rodzaj obciążenia w wyniku działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms konstrukcja elementu odkształca się w postaci kąta g. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.

Ws-wskaźnik wytrzymałości przekroju pręta na skręcanie

Moduł Kirchoffa- współczynnik sprężystości poprzecznej materiału [N/m^2] G=tał/gama czyli (naprężenie ścinane/ odkształcenie postaciowe)

Rozkład naprężeń stycznych w przekroju kołowym pręta skręcanego τ=(MsP)/Is

Ms-moment skręcający | Is-biegnowy moment bezwładności | P(ro) promień przekroju

9.Pręt scinany; Napręzenie styczne od s.tnącej: Siła poprzeczna wywołuje w punktach leżących w odległości y od linii obojętnej na całej szerokości przekroju normalnego naprężenia stycznego. Zgodnie z twierdzeniem o równości naprężeń stycznych w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, muszą wystąpić takie same naprężenia styczne w płaszczyźnie odcinającej dolną cześć elementu. Wzór Żurawskiego: =TSz/bIz

Naprezenie styczne średnie: Skoro naprężenie styczne zmienia się wzdłuż wyskosci zmieniaja się również odkształcenia a wiec przekrój nie może pozostać płaski. Przy ocenie wytrzymałości nitów sworzni a nawet spoin pachwinowych które nie śa prętami stosuje się jednak założenie płaskości przekroju które prowadzi w konsekwencji do równomiernego rozkładu naprężeń stycznych na całym jego obszarze. Wzor na naprężenia srednie: T/A

10. W przypadku zginania układ sił wewnętrznych w poprzecznym przekroju pręta sprowadza się do pary sił leżącej w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju. Moment tej pary sił nazywamy Momotem zginającym. Zginanie równomierne występuje, gdy moment zginający nie zmienia się wzdłuż osi pręta. Jeżeli oś obojętna jest prostopadła do płaszczyzny pary sił zginających, wówczas mamy do czynienia ze zginaniem prostym. Miejsce geometryczne punktów przekroju, w których znikają naprężenia, nazywa się osią obojętną. Zginanie równomierne i proste: majac belke utwierdzona lewym koncem , obciazoną na końcu prawym dwoma rownymi siłami przeciwnie skierowanymi P. Leżą one w pionowej płaszczyźnie xy i tworzą pare sił o ramieniu a wywoluje dodatni moment gnacy. Siła T=0tak wiec jest to zginanie równomierne. Osi y sa głownymi centralnymi osiami bezwładności przekroju i wektor momentu ma kierunek jednej z nich (os z)to jest to zginanie proste

11.Złożone przypadki wytrzymałości pręta

Mówimy o nich wówczas, gdy w jego przekroju działają co najmniej dwie spośród 6 możliwych składowych sił wewnętrznych. Jeśli pręt traktować jako ciało linowo sprężyste, naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia wywołane poszczególnymi siłami wewnętrznymi podlegać mogą superpozycji.

Superponować można jedynie takie same naprężenie normalne lub styczne, działające na tej samej płaszczyźnie, w tym samym kierunki.

Oś obojętna to miejscem geometrycznym punktów przekroju, w którym naprężenie normalne równa się 0. Równanie osi obojętniej yo/m + xo/n=1. M i n to odcięte przez linie obojętną na y i x

Rozkład naprężeń. O wytrzymałości pręta zginanego i rozciąganego lub ściskającego decyduje max naprężenie rozciągające i ściskające.

12. Zginanie ze skręcaniem: zachodzi wtedy gdy w poprzecznym przekroju pręta występuje równocześnie moment zginający i moment skręcający. Jeżeli w rozpatrywanym przekroju występuje przewaga naprężeń stycznych wywołanych skręcaniem (naprężenia te mają znacznie większą wartość od naprężeń normalnych wywołanych zginaniem) naprężenia zastępcze styczne określa się wzorem:

13.Wyboczenie pręta

Założenia teorii: jeśli pręt obciążymy rosnącą siłą ściskającą P, to pozostanie on prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej Pkr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła spowoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem. Wyboczenie jest jednym z przypadków utraty stateczności, która powoduje niektozystną zmianę skutków obciążenia pręta.

Siła krytyczna Eulera dla n=1: l-długość redukowana.

Jest to tez granica stosowalności Eulera, dalszy wzrost siły prowadzi do pojawienia się odkształceń plastycznych i trwałego zgięcia pręta.

Smukłość pręta lr-długość reduktywna, i-promień bezwładności

Wartość smukłości granicznej oblicza się ze wzoru

Rh-granica proporcjonalności

14.Energia sprężysta właściwa

Energia sprężysta właściwa : Energia ta nie może przekraczać wartości granicznych. Uzależniona jest od naprężeń.

Energia sprężysta właściwa odkształcenia objętościowego i postaciowego

Właściwą energię – suma zmiany energii objętości i zmiany postaci ciała = v +f

15. Model układu linowo-sprężystego Clapeyrona

Zasada superpozycji- gdy zachodzą liniowe związki między skutkami i przyczynami to skutek spowodowany działaniem jednoczesnym wszystkich przyczyn jest sumą skutków spowodowany pojedynczymi poszczególnymi przyczynami.

CLAPEYRONA liniowo-sprężysty układ jest to zbiór połączonych ze sobą ciał odkształcalnych (prętów) w których przemieszczenia są liniowymi funkcjami sil

Związek pomiędzy siłami uogólnionymi [P]=[P1…Pi…Pn] a uogólnionymi przemieszczeniami [u]=[u1..ui…un] zapisujemy w formie macierzowej [P]=[K][u] [u]=[F][P]

Kwadratowa macierz sztywności [K] i podatności [F] związane zalezności

[K]^(-1)=[F]

Pomiędzy elemantami obydwu macierzy zachodzą związki które umożliwiają przekształcenie jednej w drugą (odwracanie macierzy)

Dowolne przemieszcznie uogólnione ui(i=1,2..n) spowodowane jednoczesnym działaniem wszystkich sił uogólnionych (P1…Pj…Pn) równe jest sumie przemieszczeń częściowych wywołanych działaniem poszczególnych pojedynczych sił i nie zalzy od kolejności ich przyłożenia. ui=f_i1P₁+…f_ijP_j…+f_inP_n

fij- częśc przemieszczenia ui spowodowaną siła P_j=1, jest to liczba wpływowa (wynika stąd, że f_ij okresla wpływ P_j na przemieszczenie u_i)

Dowolną siłę uogolnioną Pi(i=1…n) można przedstawić jako liniową funkcję uogołnioną przemieszczeń u1,u2..uj..un P_i=k_i1u₁+…k_iju_j+…k_inu_n

Liczba wpływowa – kij części siły Pi spowodowana przemieszczeniem uj=1. Liczna wpływowa nie kij nie zalezy od uj.

Energia: jest jednorodną kwadratową funkcją sił lub przemieszczeń uogólnionych. Nie może być obliczana z zasady superpozycji

CLAPEYRONA TWIERDZENIE , Clapeyrona zasada energia sprężysta zawarta w ciele sprężystym obciążonym siłą (P) równa się połowie iloczynu tej siły i przemieszczenia (w) punktu przyłożenia siły w kierunku jej działania: V=1/2 Pw.

16.Metody energetyczne wyznaczania przemieszczeń

Twierdzenie Castigliano : pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej równa jest przemieszczaniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile. Jeśli nie ma rzeczywistej siły Pi, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu ui, przykładamy odpowiednią siłę fikcyjną, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównujemy do 0.

Metoda Maxwella Mohra 1.Wyznaczamy siły N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz w prętach układu wywołane obciążeniem rzeczywistym . | 2.Obciążamy układ uogólnioną siłą jednostkową Ῑ i wyznaczamy siły (te co w pkt.1 tylko z ‘) | 3.Zastosowujemy zasadę prac przygotowawczych do układu liniowo sprężystego, obciążonego siłą jednostkową Ῑ. | 4.Obliczamy δL jako pracę uogólnionej siły jednostkowej Ῑ.

Zasada Menabrea Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V wyrażona jest przez znane siły zewnętrzne i niewiadome wielkości hiperstatyczne X1…Xn oraz niehiperstatyczne. Zasada głosie, że spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1…Xn zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten, którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartośc minimalną. Zasadę minimum można traktować jako odmianę metody sił. (7.17 str. 213)

17.Metoda Sił wyznaczania wielkości statycznie niewyznaczalnych

Opis metody:

1.Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować równania równowagi. | 2.Obliczyć stopień stycznej niewyznaczalności i tworzymy podstawowy układ prętowy. | 3.Określamy warunki geometryczne oraz związki fizyczne i formułujemy na ich podstawie równania konieczności metody sił. | 4.Obliczamy współczynnik równań kanonicznych metody sił| 5.Wyznaczamy z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatycznych | 6.Wykorzystując równania równowagi znadujemy pozostałe siły niewiadome (reakcje węzłów lub składowe sił wewnętrznych) | 7.Formuujemy równania i rysujemy wykresy sił wewnętrznych | 8.Wyznaczamy poszukiwane przemieszczenia

Równania kanoniczne

f₁₁X₁+f₁₂X₂+ delta_1P=0

f₂₁X₁+f₂₂X₂+ delta_2P=0

gdzie

f₁₁ f₁₂- liczby wpływowe określająco wpływ X1 i X2 na przemieczeniu u1

f₂₁ f₂₂ - liczby wpływowe określająco wpływ X1 i X2, na przemieczeniu u2

delty- częśc przemieszczenia u1 i u2 spowodowana obciążenia q