Politechnika Śląska w Gliwicach

Wydział: Elektryczny

Laboratorium Fizyczne

Temat: Moment bezwładności bryły

Sekcja nr 7:

Patryk Lizut

Krzysztof Widak

Elektrotechnika

gr. 2 sem. 2

06.05.2011

I. Zagadnienia.

1. Druga zasada dynamiki w ruchu obrotowym.

Sformułowanie II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego bryły sztywnej wokół stałej (nie obracającej się w przestrzeni) osi. Dotyczy np. sytuacji, gdy oś obrotu jest wymuszona przez zewnętrzne więzy. Mówi ona, że jeśli na pewne ciało, o momencie bezwładności względem tej osi równym I, działają zewnętrzne siły, które wywierają na to ciało wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym takim, że:

M = I • ε

Moment siły M i przyspieszenie kątowe ε są wektorami osiowymi (pseudowektorami) a ich kierunek i zwrot są takie same. Granicznym przypadkiem drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego jest sytuacja, gdy wypadkowy moment sił działających na ciało równy jest 0 (pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego). Ze wzoru wynika, że wówczas przyspieszenie kątowe również będzie równe 0 a bryła obracać się będzie ze stałą prędkością kątową.

2. Moment siły.

Moment obrotowy siły F względem punktu 0 jest to iloczyn wektorowy promienia wodzącego r, o początku w punkcie 0 i końcu w punkcie przyłożenia w punkcie przyłożenia siły, oraz siły F:

$$\overrightarrow{M_{0}} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$$

3. Moment bezwładności.

Miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić prędkość kątową ciała. Moment bezwładności zależy od osi obrotu, kształtu ciała, i rozmieszczenia masy w ciele. Ma wymiar ML² i zwykle mierzy się go w [kg • m²].

Momentem bezwładności punktu materialnego jest iloczyn jesgo masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

I = mr²

gdzie: m – masa punktu;

r – odległość punktu od osi obrotu.

Dla ciała składającego się z n punktów materialnych, jest on sumą momentów bezwładności wszystkich punktów względem obranej osi obrotu:

$$\sum_{i = 0}^{n}{m_{i}r_{i}^{2}}$$

Dla dowolnej osi obrotu, możemy wyznaczyć moment bezwładności, korzystając z rownania elipsoidy bezwładności:

I = I_xcos² ∝ +I_ycos²β + I_zcos²γ

4. Elipsoida bezwładności.

Powierzchnia charakteryzująca rozkład momentów bezwładności danego ciała względem prostych przechodzących przez wyróżniony punkt 0 (najczęściej jest on przyjmowany w początku kartezjańskiego układu współrzędnych).

II. Przebieg ćwiczenia.

1. Mierzymy suwmiarką średnicę walca oraz wymiary prostopadłościanu

oznaczając symbolem:

a – najkrótszą krawędź;

b – średnią krawędź;

c – najdłuższą krawędź.

Pomiary zapisujemy na karcie pomiarowej.

2. Ustawiamy na liczniku okresów liczbę mierzonych okresów na 20.

3. Włączamy miernik czasu przyciskiem „ON” i ustawiamy następująco:

- „TIME RESOL” na pozycję „.01”.

- „FUNCT MODE” na pozycję przebiegu prostokątnego.

- „START MODE” na pozycję „TIMER”.

4. Ustawiamy licznik okresów w pozycję „COUNT” i wprawiamy puste

wahadło w ruch wychylając ramkę o kilkanaście stopni kątowych.

5. Wykonujemy pomiary dla walca względem jego osi symetrii (masa

walca 1,520 kg) oraz prostopadłościanu.

6. Pomiary dla prostopadłościanu wykonujemy dla trzech głównych osi

oraz wszystkich czterech przekątnych przechodzących przez środek

jego masy. Na karcie pomiarowej zamieszczamy szkic bryły z

zaznaczonymi i opisanymi osiami oraz bokami a, b, c.

III. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Obliczamy moment bezwładności pustej ramki wibratora z zależności:

$$I_{0} = \frac{1}{2}\text{mR}^{2}\frac{T_{0\ }^{2}}{T_{x}^{2}{- T}_{0}^{2}}\ $$

gdzie:

R – promień walca;

m – masa walca (1,520[kg]);

T₀ – okres drgań pustej ramki,

T_x – okres drgań ramki z walcem.

I₀=1, 05•10⁻³ kg•m²

2. Dla każdej osi prostopadłościanu obliczamy moment bezwładności ze wzoru:

$$I_{x} = I_{0}\frac{T_{x}^{2}\ - T_{0}^{2}}{T_{0}^{2}}$$

gdzie:

I₀ – moment bezwładności pustej ramki;

T₀ – okres drgań pustej ramki;

T_x – okres drgań ramki z prostopadłościanem wzdłuż zadanej osi.

I_x=1, 76•10⁻³ kg•m²

I_y=0, 795•10⁻³ kg•m²

I_z=2, 07•10⁻³ kg•m²

I_|CA|=1,16•10⁻³ kg•m²

I_|EF|=1,86•10⁻³ kg•m²

I_|GH|=0,962•10⁻³ kg•m²

I_|IJ|=1,03•10⁻³ kg•m²

3. Korzystając z równania elipsoidy bezwładności:

I = I_x cos²α  +  I_y cos²β +  I_zcos²γ

Obliczamy momenty bezwładności dla mierzonych osi pokrywających się z przekątnymi przechodzącymi przez środek masy prostopadłościanu.

I_|CA|=1, 86•10⁻³ kg•m²

I_|EF|=1,46•10⁻³ kg•m²

I_|GH|=1,99•10⁻³ kg•m²

I_|IJ|=1,89•10⁻³ kg•m²

4. Przeprowadzamy analizę niepewności pomiarowych uwzględniając niepewności pomiaru czasu oraz pomiaru długości.

Różnice pomiarów:

Oś |CA|: =0, 0007 kg • m²

Oś |EF|: =0, 0004 kg • m²

Oś |GH|: =0, 001 kg • m²

Oś |IJ|: =0, 0009 kg • m²

Analiza niepewności pomiaru czasu:

U(t)= $\frac{t}{\sqrt{3}} = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,006\ \lbrack s\rbrack$

Analiza niepewności pomiaru długości:

U(x)= $\frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{0,001}{\sqrt{3}} = 0,00058\ \lbrack m\rbrack$

Analiza niepewności momentów bezwładności:

U(I₀)=$\sqrt{\left\lbrack \frac{\text{dI}_{0}}{\text{dR}}\text{\ U}\left( x \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{dI}_{0}}{dT_{x}}\text{\ U}\left( t \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{dI}_{0}}{dT_{0}}\text{\ U}\left( t \right) \right\rbrack^{2}}$

U(I₀) = 0, 00014 kg • m² = 1, 4 • 10⁻⁴kg • m²

U(I_x)=$\sqrt{\left\lbrack \frac{\text{dI}_{x}}{dT_{0}}\text{\ U}\left( t \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{dI}_{x}}{dT_{x}}\text{\ U}\left( t \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{\text{dI}_{x}}{dI_{0}}\text{\ U}\left( t \right) \right\rbrack^{2}}$ gdzie x to osie, względem których mierzymy moment bezwładności.

IV. Wnioski.

Podczas przeprowadzania pomiarów zauważyliśmy, a jednocześnie potwierdziliśmy teorie podręcznikowe na temat momentu bezwładności poszczególnych brył. Zależy on od wyboru osi obrotu i od kształtu ciała. W naszych bryłach masa rozmieszczona jest równomiernie, więc nie miała wpływu na wyniki. Badana przez nas wielkość to analogiczny odpowiednik masy, tyle że w ruchu obrotowym. Masa ciała nie zależy od jego położenia, natomiast moment bezwładności zależy ściśle od wyboru osi obrotu. Zauważyliśmy, że ustawiając bryłę tak by jej krawędzie były jak najbliżej osi obrotu otrzymaliśmy najmniejszą wartość bezwładności. Odwrotnie, gdy krawędzie były w większej odległości. Wiązało się to ze wzrostem bezwładności. Wiadomo, że jeżeli ciało ustawione jest w pozycji, w której ma największy moment bezwładności, potrzeba większej siły by nadać mu pewną prędkość kątową, przeciwnie niż w przypadku, gdy bezwładność ta jest mniejsza.

Dokładnie przyjrzeliśmy się zjawiskom towarzyszącym ruchowi wahadła torsyjnego. Pod działaniem momentu siły wahadło wprawiane było w ruch z pewną zmienną prędkością kątową. Jej zmniejszanie się podczas zbliżania się do maksymalnego wychylenia spowodowane było przeciwdziałającym momentem krętu o zwrocie przeciwnym do zwrotu momentu siły. Przy maksymalnym wychyleniu moment siły został zrównoważony momentowi krętu i ramię wahadła zmieniło kierunek obrotu. Zjawisko to ma charakter cykliczny więc mogliśmy dokonywać pomiarów po dużej ilości okresów drgań. Niesie to jednak pewne zagrożenie możliwością obarczenia pomiaru błędem, ze względu na to, że ruch wahadła torsyjnego jest ruchem tłumionym. Oznacza to, że wraz z rosnącą liczbą okresów zmniejsza się amplituda wychylenia. Podczas naszych pomiarów jest to oczywiście pomijane, gdyż wpływ na wiarygodność odczytów jest niewielki.

Zauważyliśmy także sporą rozbieżność pomiędzy wynikami momenów bezwładności obliczonymi bezpośrednio, a tymi obliczonymi za pomocą równania elipsoidy, zwłaszcza w osi |GH|: