5. Kres dolny i górny podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych

(Mateusz Bednarek)

Niech A  ⊂  R. Mówimy, że jest on ograniczony z góry, gdy

istnieje a  ∈  R taka, że x  ≤  a dla wszystkich x  ∈  A: Tę liczbę a

nazywamy ograniczeniem z góry zbioru.

Dla zbioru A ograniczonego z góry

$$a = supA \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1)\ {\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall}_{x \in A}x \leq a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2){\ \ \ \ \ \ \forall}_{\varepsilon > 0}\exists_{x_{\varepsilon} \in A}x_{\varepsilon} > a - \varepsilon \\ \end{matrix} \right.\ $$

Dla zbioru, który nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup A  = +∞ .

Analogicznie. Niech A  ⊂  R. Mówimy, że jest on ograniczony z dołu, gdy

istnieje a  ∈  R taka, że x  ≥  a dla wszystkich x  ∈  A: Tę liczbę a

nazywamy ograniczeniem z dołu zbioru.

Dla zbioru A ograniczonego z dołu

$$a = infA \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall_{x \in A}x \geq a \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 2)\ \ \ \ \ \ \ \forall_{\varepsilon > 0}\exists_{x_{\varepsilon} \in A}x_{\varepsilon} < a + \varepsilon \\ \end{matrix} \right.\ $$

Dla zbioru, który nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf A  = −∞ .

Własności:

• Każdy niepusty podzbiór R ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tą własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych.

• Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa/najmniejsza, to jest ona jego kresem górnym/dolnym.

Przykłady:

 Jeśli A = [0,3], to: inf(A) = 0 sup(A) = 3

 Niech B = (0,3). Wówczas: inf(B) = 0. sup(B) = 3.

 Niech C = {0,1,4}. Wówczas: inf(C) = 0 sup(C) = 4:

 Połóżmy$D = \{\frac{n}{n + 1},\ n = 1,2\ldots\}$. To: inf(D)= $\frac{1}{2}$ sup(D)=1