rach prawd przyp

wynika, że liczba wszystkich podzbiorów - włączając w to zbiór pusty i cały zbiór - jakie można utworzyć ze zbioru -elementowego jest równa 2n.

Schematy wyboru
 
Niech A będzie zbiorem skończonym -elementowym
                  
Zajmiemy się losowym wybieraniem elementów spośród elementów tego zbioru.
Przed przystąpieniem do losowania trzeba ustalić:
1. czy istotna jest kolejność w jakiej wybieramy elementy. Inaczej - czy z wylosowanych elementów tworzymy ciąg czy zbiór,
2. czy wybrany element jest zwracany do zbioru A. Inaczej - czy losowanie jest ,,bez zwracania" czy ,,ze zwrotem".

Zasady przeliczania

Prawo (reguła) mnożenia
Jeżeli pewna procedura (pewien wybór) może być rozbita na kolejnych kroków z wynikami w pierwszym kroku, wynikami w drugim kroku, ... , wynikami w -tym kroku, to cała procedura może być zrealizowana na sposobów. 

Prawo dodawania
Jeżeli zbiory A i B są rozłączne, tzn. gdy to 
                    

Tak samo dla większej liczby rozłącznych zbiorów.

Przelicznie zbiorów (liczby wyborów) metodą pymitywną tzn. przez wypisanie wszystkich możliwości, ma sens wówczas, gdy liczba elementów zbioru jest mała. W przeciwnym razie trzeba znać wzór na liczbę wyborów lub metodę przeliczania. Są cztery podstawowe schematy zliczania - schematy kombinatoryczne.

1. Losujemy bez zwracania elementów i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z powstałych ciągów nazywa się wariacją bez powtórzeń z elementów po elementów.

Wszystkich wariacji bez powtórzeń z elementów po elementów  jest
         

2. Losujemy ze zwrotem elementów  i ustawiamy je kolejno - tworzymy -wyrazowy ciąg. Każdy z takich ciągów nazywa się wariacją z powtórzeniami z elementów po elementów.

Wszystkich wariacji z powtórzeniami z elementów po elementów  jest
                                          

3. Mamy zbiór elementowy. Elementy tego zbioru ustawiamy w ciąg lub - co na jedno wychodzi - numerujemy je od 1 do Każdy z takich ciągów nazywa się permutacją elementów.

Liczba wszystkich możliwych sposobów ustawienia (permutacji) różnych elementów jest równa 
                           

4. Mamy zbiór elementowy. Wybieramy z niego elementów  bez zwrotu i tworzymy z nich zbiór, kolejność nie ma znaczenia. Każdy z takich zbiorów nazywamy kombinacją -elementową ze zbiorów -elementowego.

Wszystkich kombinacji z elementów po elementów  jest
              

Dołączamy jeszcze: 

1. Wzór na liczbę podziałów niepustego zbioru. Niech A będzie zbiorem -elementowym, który dzielimy na rozłącznych podzbiorów składających się z elementów Liczba różnych takich podziałów wyraża się wzorem:
                 
Np. Liczba różnych rozdań 52 kart po 13 dla każdego z czterech grających w brydża jest równa
              

2. Wzór na liczbę rozmieszczeń nierozróżnialnych kul w komórkach - czyli kombinacji z powtórzeniami:
                                                
Np. Na ile sposobów pasażerów może wysiąść z windy na piętrach?   
                             

I. Doświadczenia losowe

Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe.

Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli:
- można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach,
- wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć.

Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp.

II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą .

nosi nazwę przestrzeni zdarzeń elementarnych, a jej elementy oznacza się literami i nazywa zdarzeniami elementarnymi.

W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń jest zwykle zbiorem o skończonej liczbie elementów:

Przykłady

1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła lub wyrzucenie reszki .
Opisując to doświadczenie przyjmujemy:

2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu:

 gdzie  to liczba wyrzuconych oczek.

3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde  to uporządkowana para:

        (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)
lub    (wynik na złotówce, wynik na dwuzłotówce)

 lub krócej

4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde  to uporządkowana para:

       (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie)
lub   (liczba oczek na kostce czerwonej, liczba oczek na kostce zielonej).

W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach.

5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych tworzą podziały zbioru 52 kart na 4 zbiory po 13 kart. Liczba takich podziałów jest olbrzymia,

III.Zdarzenia

Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Częściej, zwykle chodzi o to, czy należy do określonego podzbioru przestrzeni Np. czy w jednokrotnym rzucie kostką wypadła parzysta liczba oczek.

Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych .

Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem.
Np. gdy
A - wypadła parzysta liczba oczek, A = {2,4,6},
B - wypadła liczba oczek nie mniejsza niż 4, B = {1,2,3,4},
C - wypadła szóstka, C = {6}.

Jeżeli wynikiem doświadczenia jest oraz to mówimy, że zaszło zdarzenie A oraz że sprzyja zdarzeniu A.

Podzbiorami są też:
- zbiór pusty przedstawiający zdarzenie niemożliwe (np. w jednym rzucie kostką wypadło 7 oczek lub jeden z graczy w brydża otrzymał wśród 13 kart dwie damy kier),
- cała przestrzeń  przedstawiająca zdarzenie pewne (każde ).

Zdarzenie  nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A. Jeżeli , to i zachodzi zdarzenie przeciwne do A.
A' to zbiór tych , które nie sprzyjają A.
Zdarzeniem przeciwnym do jest  i odwrotnie.

IV. Działania na zdarzeniach

Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich.

nazywamy koniunkcją zdarzeń A i B (,,A i B").

O zdarzeniach A i B takich, że mówimy, że wykluczają się.

nazywamy alternatywą zdarzeń A i B (,,A lub B").

Jeżeli , to zajście zdarzenia A pociąga za sobą B.

Czasami o zdarzeniach wyrażamy się w terminach teorii zbiorów (iloczyn, suma, dopełnienie), zamiast w terminach rachunku prawdopodobieństwa.

V. Definicja prawdopodobieństwa
  •  Model klasyczny (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)

Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A określamy wzorem:

Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp.

  • Model uogólniony

Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Na przestrzeni zdarzeń elementarnych określamy rozkład prawdopodobieństwa przypisując każdemu zdarzeniu elementarnemu liczbę nieujemną , tak aby spełniony był warunek: 
                        
to prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego

Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A nazywamy sumę prawdopodobieństw wszystkich sprzyjających A.
                           , gdzie sumujemy po wszystkich

VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero:

2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności:

3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem:

Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe.
Np. rzucamy 10 razy symetryczna monetą,
A - wypadł orzeł przynajmniej jeden raz.
Wtedy A' - wypadły same reszki.
                            i
4. Dla każdego zdarzenia A:

5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to:

6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli to:

7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B":

Stąd wniosek, że , a równość tylko w sytuacji takiej jak w pkt 5.  

VII. Prawdopodobieństwo warunkowe

Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia.

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę
                   

 
Jeżeli wiemy, że zaszło zdarzenie B, to ograniczamy się do zdarzeń elementarnych sprzyjających B (jest to nowa przestrzeń zdarzeń) oraz tych które należą do części wspólnej (sprzyjają A i B).

Przykłady
1. Rzucono 3 razy monetą i wypadła nieparzysta liczba orłów (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadły 3 orły (zdarzenie A)?

                    
Można było też zastosować wzór: ,
, , ,
                                   
2. Rzucono 2 razy kostką do gry i w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek (zdarzenie B). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w obu rzutach wypadnie co najmniej 10 oczek (zdarzenie A)?
Zastosujmy wzór
Z przykładu 4 w pkt. II (tablica) wiemy, że 



 
                

Teraz prościutko stosując wzór 

Ze wzoru mamy wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń:
                                   

Korzystając z tego można pójść dalej

    itd.
Wzory te pojawią się, gdy będziemy opisywali metodę drzew.

VIII. Prawdopodobieństwo całkowite

 

Rodzinę zdarzeń , które wzajemnie się wykluczają,
a ich suma daje nazywamy zupełnym układem zdarzeń.
Formalnie oznacza to, że 


czyli zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń  

Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni

Na diagramie wygląda to np. tak 









Weźmy teraz dowolne zdarzenie A. Umieszczamy je na powyższym diagramie.




Widać, że:
Wszystkie zdarzenia są rozłączne. Z rozdziału II pkt. 5, wynika, że 
 
Stosując wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń otrzymujemy:
         

Ogólnie, jeżeli  stanowi układ zupełny zdarzeń to 
                               
  

Uwaga.
Zdarzenie B i do niego przeciwne B' stanowią rozbicie przestrzeni   
W takim razie
                            

IX. Niezależność zdarzeń

 

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli
               

Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji:
a to oznacza, że zdarzenie B nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zdarzenia A.
Uwaga.
Jeżeli zdarzenie A i B są niezależne, to niezależne są też zdarzenia: A i B’, A’ i B, A’ i B’.

X. Schemat Bernoulliego

 

Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego.

Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako a prawdopodobieństwo porażki Niezależność prób polega na tym, że dowolny wynik jednej próby nie wpływa na prawdopodobieństwo pojawienia się każdego z wyników w następnej próbie.

Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg niezależnych powtórzeń tej samej próby Bernoulliego.

Przykłady schematu prób Bernolulliego
1. -krotny rzut symetryczną monetą, za sukces możemy przyjąć wypadnięcie orła 
a porażka jest wypadnięcie reszki
2. badanie urządzeń, gdy interesuje nas czy są one sprawne czy wadliwe, sukces  to ,,urządzenie jest sprawne", 
3. -krotny rzut symetryczną kostką, gdy za sukces uważamy wypadnięcie szóstki ,
4. kupno losów na loterii, gdy los jest wygrany (sukces) lub pusty.

Oznaczmy przez liczbę sukcesów w schemacie prób Bernouliiego.  

Prawdopodobieństwo zajścia sukcesów w schemacie prób Bernoulliego , z prawdopodobieństwem sukcesu w jednej próbie , wynosi
              

Przykłady
1. Rzucamy 6 razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia:
a) zdarzenia A - otrzymano jedną szóstkę,
b) zdarzenia B - otrzymano najwyżej dwie szóstki,
c) zdarzenia C - otrzymano co najmniej jedną szóstkę.

a)
b) , gdzie - otrzymano 0, 1, 2 szóstki. Zdarzenia te są rozłączne. Stąd dalej wynika, że




c) Zdarzeniem przeciwnym do C jest C' - nie wypadła ani jedna szóstka. Stąd
 

2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - trzeci orzeł wypadł w 10-tym rzucie.
Bezpośrednio nie można zastosować wzoru na . Jak realizuje się zdarzenie A?
, gdzie
B - wypadły 2 orły w 9-ciu rzutach, 
C - w dziesiątym rzucie wypadł orzeł, 


Zdarzenia B i C są niezależne, więc

XI. Drzewa

Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń.

Przykład takiego (problemu) doświadczenia.
Mamy dwie urny. W pierwszej są 2 kule białe i 3 czarne, a w drugiej 3 białe i 1 czarna. Rzucamy kostką i jeżeli wypadnie szóstka, to ciągniemy kulę z urny I, w przeciwnym przypadku ciągniemy z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą?

W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych!

Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem.
Z korzenia wychodzą w dół odcinki zwane krawędziami, w takiej liczbie ile jest różnych wyników w pierwszym etapie (np. trzy). 










Pod krawędziami piszemy wyniki pierwszego etapu, są to węzły drzewa. Obok każdej krawędzi piszemy prawdopodobieństwo otrzymania danego wyniku. W przykładzie etap I może kończyć się wynikami o prawdopodobieństwach  
Przyjmijmy, że w etapie II mogą wystąpić dwa wyniki B i C. Rysujemy drzewo dalej. Z każdego węzła kończącego pierwszy etap wychodzą po dwie krawędzie kończące się zdarzeniami B i C. 

 

Ciąg krawędzi łączący początek z jakimś węzłem końcowym to gałąź drzewa. Jedna z możliwych gałęzi jest - na rysunku wyżej - oznaczona grubszą linią.
Jakie prawdopodobieństwo przypisać krawędzi łączącej ?
Oczywiście  to prawdopodobieństwo zdarzenia B, gdy w pierwszym etapie zaszło zdarzenie
Pomnóżmy prawdopodobieństwa przypisane krawędziom pogrubionej gałęzi
Jest to - oczywiście, zaszły równocześnie zdarzenia .

Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. 

 
.
No i mamy po prostu wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Można było nie rysować drzewa, a posłużyć się tym wzorem.

Podsumujmy krótko.

  • zaczynamy od korzenia rysując krawędzie w dół,

  • krawędzie to odcinki zaczynające się i kończące w węzłach oraz idące zawsze w dół,

  • węzły to zdarzenia kończące etapy doświadczenia,

  • gałąź to ciąg krawędzi od korzenia do zdarzenia w ostatnim etapie,

  • prawdopodobieństwo odpowiadające gałęzi jest iloczynem prawdopodobieństw krawędzi, z których się ona składa.

Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu
Oznaczamy zdarzenia:
A - na kostce wypadło 6 oczek,
A' - na kostce nie wypadło 6 oczek,
B - wyciągnięto kulę białą,
B' = C - wyciągnięto kule czarną.

 
,

lub inaczej

Jeszcze jeden przykład
W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy z niej kolejno dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula jest czarna?

Urna przed losowaniem: 

   7b       3cz   

Oznaczamy zdarzenia:
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w pierwszym losowaniu wyciągnięto kulę czarną,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę białą,
- w drugim losowaniu wyciągnięto kulę czarną. 

XII. Wzór Bayesa

Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg.

Typowe przykłady
1. Wśród 10 monet jedna ma orły po obu stronach. Wybieramy losowo jedną monetę, rzucamy 5 razy i wypada 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? 
2. Pewne urządzenia są sprowadzane od 3 dostawców A,B,C, w następujących ilościach: 50%, 20% i 30%. Wadliwość urządzeń: od dostawcy A - 1%, B - 2%, C - 3%. Wybrane urządzenie okazało się wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi ono od dostawcy A?

Wzór Bayesa
Niech zdarzenia B1,B2, ... ,Bn tworzą zupełny układ zdarzeń (tworzą podział przestrzeni ). Niech A będzie dowolnym zdarzeniem takim, że P(A)>0.
Wtedy dla każdego i mamy 
            
gdzie (wg wzoru na prawdopodobieństwo całkowite)
             

Np. na diagramie

 

Prawdopodobieństwo zdarzenia pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A.

Rozwiązanie przykładu 1. 
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
A - w 5 rzutach wypadło 5 orłów,
B1 - rzucono monetą prawidłową,
B2 - rzucono monetą z dwoma orłami. 

B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń, , bo moneta nie może mieć jednocześnie na obu stronach orła i reszkę oraz dwa orły, a poza B1 i Binnych możliwości nie ma.

gdyż dziewięć z dziesięciu monet jest prawdziwych, a jedna ma dwa orły.

- prawdopodobieństwo, że wypadło 5 orłów w 5 rzutach, gdy rzucano monetą prawidłową. Mamy tu 5 sukcesów w schemacie 5 prób Bernoulliego z prawdopdobieństwem sukcesu więc
 
bo rzucając monetą z dwoma orłami zawsze dostajemy orła.

Drzewo dla tego doświadczenia


Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia B2 (moneta z dwoma orłami) pod warunkiem, że zaszło A

Krótko - trzeba narysować drzewo i iloczyn prawdopodobieństw odpowiadających pogrubionej gałęzi podzielić przez , ...

Tak rozwiążemy przykład 2.
Oznaczamy i opisujemy zdarzenia:
D - urządzenie jest wadliwe,
A - urządzenie kupiono od dostawcy A,
B - urządzenie kupiono od dostawcy B,
C - urządzenie kupiono od dostawcy C.
W języku rachunku prawdopodobieństwa, jeżeli urządzenie jest wybierane losowo,
to
Jeżeli urządzenie pochodzi od dostawcy A, to prawdopodobieństwo, że jest wadliwe i odpowiednio
Drzewo dla tego doświadczenia

 

Czyli prawdopodobieństwo, że wadliwe urządzenie pochodzi od dostawcy A wynosi 0,28 (28%).

Poćwiczmy na przykładach metody zliczania.

Zad_1
Ile jest sposobów ustawienia w szereg pięciu chłopców i czterech dziewczynek tak, aby:
a) chłopcy i dziewczynki stali na zmianę,
b) pierwszy i drugi stał chłopiec,
c) najpierw stały dziewczynki , a następnie chłopcy,
d) pierwsza stała dziewczynka?
Uwaga do wszystkich takich zdarzeń.
Pomyśl jak możesz to zrealizować - jakie kroki (etapy) prowadzą do celu?

Rozwiązanie.
a) Ustawienie w szeregu tzn. w ciąg. Na miejscach o numerach nieparzystych 1,3,5,7,9 muszą stać chłopcy. Można ich rozstawić na tych miejscach na 5! sposobów. Dziewczynki zajmą miejsca 2,4,6,8 i można je ustawić na 4! sposobów. Mamy więc  wszystkich różnych ustawień.
b) Spośród pięciu chłopców trzeba wybrać dwóch, których ustawimy na pierwszym i drugim miejscu. Wyboru można dokonać na sposoby. Wybrani chłopcy mogą być ustawieni na tych miejscach na 2!=2 sposoby. Pozostałych siedmiu uczniów - na miejscach od trzeciego do dziewiątego - można rozstawić na 7! sposobów. Łącznie mamy sposobów ustawienia,
Zauważmy, że rozwiązanie jest takie samo, gdy chłopcy mają stać na pierwszym miejscu i ostatnim miejscu, na trzecim i na piątym itp.
c) Pierwsze cztery miejsca zajmują dziewczynki na 4! sposobów, a chłopcy miejsca od piątego do dziewiątego na 5! sposobów. Łącznie mamy  sposobów ustawienia.  
d) Dziewczynkę, która stoi pierwsza wybieramy na sposoby. Pozostali uczniowie mogą być, za nią, rozstawieni na 8! sposobów. Ustawienie można zrealizować na sposobów.   

Zad_2
Ile jest liczb trzycyfrowych:
a) parzystych,
b) podzielnych przez 5,
c) o tej samej cyfrze setek i jedności, 
d) większych od 546,
e)  mniejszych od 345?
Uwaga. Cyfry oznaczające setki, dziesiątki i jedności losujemy z podzbiorów zbioru Z={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Rozwiązanie.
a) Cyfrę oznaczającą liczbę setek losujemy ze zbioru {1,2,...,8,9}, czyli na 9 sposobów. Cyfrę dziesiątek losujemy z całego zbioru Z, daje to 10 sposobów. Cyfrę jedności losujemy ze zbioru {0,2,4,6,8} na 5 sposobów.
Trzycyfrowych liczb parzystych jest więc  
b) Tak jak w a) ale cyfrę jedności losujemy ze zbioru {0,5}. Trzycyfrowych liczb podzielnych przez 5 jest  
c) Jeżeli wybierze się cyfrę setek, to już nie wybieramy cyfry jedności - umieszczamy taką samą na końcu - na jeden sposób. Czyli  
d) Oczywiście można to łatwo obliczyć:
Policzymy liczebności rozłącznych zbiorów:
- liczb trzycyfrowych o liczbie setek równej 6 lub więcej jest
- liczb trzycyfrowych większych od 549, ale mniejszych od 600 jest 
- liczb trzycyfrowych większych od 546, ale mniejszych od 550 jest
Razem jest więc liczb.
e) Takich liczb jest Zastosujemy teraz do obliczenia metody kombinatoryki. Liczb trzycyfrowych mających liczbę setek należącą do zbioru {1,2} jest Liczb trzycyfrowych z liczbą setek 3, a liczbą dziesiątek ze zbioru {0,1,2,3} jest  Liczb trzycyfrowych z liczbą setek równą 3, liczbą dzięsiątek 4 i mniejszych od 345 jest 5, liczba jedności może być ze zbioru {0,1,2,3,4}. Zbiory wyżej są rozłączne. Moce dodajemy, więc  

Zad_3
W pudełku znajduje się 5 kul białych i 4 czarne. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 3 kule tak, aby otrzymać:
a) 3 kule czarne,
b) 3 kule białe,
c) dwie kule białe i jedną czarną,
d) co najmniej jedna kulę białą?

Rozwiązanie.
a) Trzy kule trzeba wybrać z czterech, jest sposoby.
b) Trzy kule wybieramy z pięciu, jest sposobów.
c) Dwie kule białe wybieramy z pięciu na sposobów i jedną czarną z czterech na sposobów. Łącznie jest sposobów takiego wyboru.
d) Trzeba dodać liczby sposobów, na które można utworzyć rozłączne zbiory.
 - {1b, 2cz}, który można utworzyć na sposoby,
 - {2b, 1cz}, który można utworzyć na sposoby,
 - {3b, 0cz}, który można utworzyć na sposoby.
Łącznie jest to sposobów.

Zad_4
Rozdanie brydżowe to podział uporządkowany zbioru 52 kart na cztery po 13 kart w każdym,
a) ile jest takich rozdań,
b) ile jest rozdań, w których każdy z czterech graczy otrzymuje jednego asa? 

Rozwiązanie.
a) Takich podziałów jest
Inaczej: z 52 kart wybieramy 13 dla pierwszego gracza na sposobów i 13 kart z pozostałych 39-ciu dla drugiego na sposobów i 13 kart dla trzeciego z pozostałych 26 kart na sposobów. Pozostałe trzynaście otrzymuje czwarty gracz - inaczej mamy wybór 13 z 13 kart na sposób.
Łącznie jest 
sposobów rozdania. Tyle mamy korzystając od razu ze wzoru na liczbę podziałów.
b) Wybieramy z talii 4 asy, można je dać grającym na 4! sposoby. Pozostałe 48 kart można im rozdać na sposobów. Rozdań brydżowych, w których każdy grający ma asa jest więc .

Zad_5
Ile jest rozdań brydżowych, w których wybrany gracz otrzyma:
a) 5 pików, 4 kiery, 3 kara i 1 trefla,
b) 5 kart w jednym kolorze, 4 w innym i w dwóch pozostałych 3 i 1 kartę (układ 5-4-3-1),
c) układ 5-3-3-2,
d) układ 4-4-4-1?

Rozwiązanie.
a) Piki wybieramy na sposobów, kiery na  sposoby, kara na  sposoby i trefle na sposobów. Łącznie mamy więc sposobów rozdania.
b) Kolor 5-kartowy wybieramy na sposobów, kolor 4-kartowy sposobów, kolor 3-kartowy na sposoby. Łącznie jest takich rozdań.
c) Kolor 5-kartowy wybieramy na sposoby, kolory 3-kartowe na sposoby. Łącznie jest rozdań.
d) Kolory 4-kartowe wybieramy na  sposoby. Rozdań jest więc

Zad_6
W Dużym Lotku losowane jest 6 liczb z 49-ciu. Ile jest różnych zakładów z:
a) pięcioma trafieniami,
b) czterema trafieniami,
c) trzema trafieniami.

Rozwiązanie.
a) Zakład musi zawierać pięć liczb z sześciu wybranych i szóstą z pozostałych 43 liczb. Kolejność nie ma znaczenia. Takich zakładów jest więc
b) Z sześciu wybranych, zakład ma zawierać 4 liczby i dwie liczby z pozostałych 43. Liczba takich różnych zakładów
c) takich zakładów jest

Zad_7
Do gry w pokera używa się 32-kartowej talii, zawierającej osiem kart w czterech kolorach. Starszeństwo kart: as(A), król(K), dama(D), walet(W), dziesiątka(10), dziewiątka(9), ósemka(8), siódemka(7). Grający w jednym rozdaniu otrzymują po pięć kart.
Ile układów kart w pokerze to:  
a) full - trzy karty tej samej wysokości i dwie karty innej,
b) dwie pary - dwie karty tej samej wysokości, dwie innej i ostatnia karta jeszcze innej,
c) kareta - cztery karty tej samej wysokości i jedna dowolna z pozostałych,
d) kolor - pięć kart w jednym kolorze, ale nie wszystkie kolejno,
e) strit - sekwens, ale nie w jednym kolorze.

Rozwiązanie.
a) Kolejność jest istotna bo np. full DD888 jest inny niż DDD88. Jest osiem kart o różnej wysokości. Wysokość kart trójki można wybrać na sposobów, a wysokość karty dla pary na sposobów. Trzy karty trójki można dalej wybrać na sposoby, a karty pary na sposobów. Różnych fulli jest więc   
b) Kolejność par nie ma znaczenia. Z ośmiu wysokości wybieramy dwie na sposobów. Dwie karty każdej pary wybieramy na sposobów. Piątą kartę wybieramy z pozostałych kart. Różnych układów po dwie pary jest więc
c) Wysokość kart karety wybieramy na sposobów. Piątą kartę wybieramy z kart. Układów karety jest więc
d) Kolor wybieramy na cztery sposoby, a pięć kart z ośmiu w danym kolorze można wybrać na sposobów. Od tej liczby trzeba odjąć cztery układy, w których karty tworzą sekwens (są to pokery).
                           (7,8,9,10,W), (8,9,10,W,D), (9,10,W,D,K), (10,W,D,K,A).
Układów z kolorem jest więc   
e) Sekwensów różniących się najmłodszą kartą jest cztery i każdą z pięciu kart sekwensu można wybrać na cztery sposoby. Różnych sekwensów jest

 

Zad1

Dane są zdarzenia takie, że
Zbadaj czy zdarzenia A i B są niezależne.

Rozwiązanie.

Przypomnij sobie, że zdarzenia A i B są niezależne, gdy policzymy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego, a  ze wzoru na .
Ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego obliczam
                          

Ze zworu na sumę zdarzeń obliczam  


Dalej 

Zdarzania A i B są niezależn, gdyż

Zad2
Dane są zdarzenia Liczby są w podanej kolejności pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wiedząc, że i oblicz   

Rozwiązanie.
Przypomnij sobie wzór oraz, że  Zbiór i z pkt V wiadomo, że

są pierwszym, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego, oznaczam je więc i wyrażam przez wyraz pierwszy ciągu i jego różnicę  

 (1 pkt.)


Wiadomo, że:

  (1 pkt.)
Po przestawieniu danych i wyrażeń na mam układ równań na i

Dalej

Stąd czyli (1 pkt.)
      
                (1 pkt.)

Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Ze wzoru na prawopodobieństwo zdarzenia przeciwnego



Ostatecznie (1 pkt.)

Zad3 Niech  będą zdarzeniami losowymi, takimi, że oraz .
Zbadaj czy zdarzenia A i B są rozłączne.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
rach prawd
rach zarz cz1
rach. - ćwiczania 7, podstawy rachunkowości
rachunkowość i finanse, AR Poznań - Leśnictwo, finanse i rach
AUE tem rach
rach fin ćw,12
wszystkie cw rach wyn
Ostatni zestaw zadan z Rach
metodyka met ind przyp, pr grup
C05 rach pstwa zadania
7327016krotkoterm rach dec, Ogrodnictwo, Magisterskie, Semestr II mgr, Fakultet - Zarządzanie
rach test, rachunkowość finansowa
E Mat1 wyk10 rach roz5
obow.biur rach. w zakresie
rach test
egzamin emerling rach wyników
rach
Rach fin 8

więcej podobnych podstron