Współczynniki dwumianu Newtona
Dla określamy liczbę
(symbol
czytamy ,,n nad k").
Jest to liczba wyrazowych podzbiorów, jakie można utworzyć ze zbioru
-elementowego.
Z równości
wynika, że liczba wszystkich podzbiorów - włączając w to zbiór pusty i cały zbiór - jakie można utworzyć ze zbioru
-elementowego jest równa 2n.
Ciągi i zbiory elementów
(a,b) - para uporządkowana (ciąg) dwóch elementów, ważne jest to jakie elementy ją tworzą, ale także ich kolejność,
{a,b} - para nieuporządkowana (zbiór) dwóch elementów, kolejność nie jest ważna, {a,b} = {b,a}.
Podobnie dla trójek:
(a,b,c) - uporządkowana trójka, czyli ciąg z trzech elementów,
{a,b,c} - zbiór trójelementowy.
Liczbę elementów zbioru A nazywamy mocą tego zbioru i oznaczamy lub |A|.
Jeżeli to moc
zawsze, dla dowolnych A i B:
Schematy wyboru
Niech A będzie zbiorem skończonym -elementowym
Zajmiemy się losowym wybieraniem elementów spośród
elementów tego zbioru.
Przed przystąpieniem do losowania trzeba ustalić:
1. czy istotna jest kolejność w jakiej wybieramy elementy. Inaczej - czy z wylosowanych elementów tworzymy ciąg czy zbiór,
2. czy wybrany element jest zwracany do zbioru A. Inaczej - czy losowanie jest ,,bez zwracania" czy ,,ze zwrotem".
Zasady przeliczania
Prawo (reguła) mnożenia
Jeżeli pewna procedura (pewien wybór) może być rozbita na kolejnych kroków z
wynikami w pierwszym kroku,
wynikami w drugim kroku, ... ,
wynikami w
-tym kroku, to cała procedura może być zrealizowana na
sposobów.
Prawo dodawania
Jeżeli zbiory A i B są rozłączne, tzn. gdy to
Tak samo dla większej liczby rozłącznych zbiorów.
Przelicznie zbiorów (liczby wyborów) metodą pymitywną tzn. przez wypisanie wszystkich możliwości, ma sens wówczas, gdy liczba elementów zbioru jest mała. W przeciwnym razie trzeba znać wzór na liczbę wyborów lub metodę przeliczania. Są cztery podstawowe schematy zliczania - schematy kombinatoryczne.
1. Losujemy bez zwracania elementów
i ustawiamy je kolejno - tworzymy
-wyrazowy ciąg. Każdy z powstałych ciągów nazywa się wariacją bez powtórzeń z
elementów po
elementów.
Wszystkich wariacji bez powtórzeń z elementów po
elementów
jest
2. Losujemy ze zwrotem elementów
i ustawiamy je kolejno - tworzymy
-wyrazowy ciąg. Każdy z takich ciągów nazywa się wariacją z powtórzeniami z
elementów po
elementów.
Wszystkich wariacji z powtórzeniami z elementów po
elementów
jest
3. Mamy zbiór elementowy. Elementy tego zbioru ustawiamy w ciąg
lub - co na jedno wychodzi - numerujemy je od 1 do
Każdy z takich ciągów nazywa się permutacją
elementów.
Liczba wszystkich możliwych sposobów ustawienia (permutacji) różnych elementów jest równa
4. Mamy zbiór elementowy. Wybieramy z niego
elementów
bez zwrotu i tworzymy z nich zbiór, kolejność nie ma znaczenia. Każdy z takich zbiorów nazywamy kombinacją
-elementową ze zbiorów
-elementowego.
Wszystkich kombinacji z elementów po
elementów
jest
Dołączamy jeszcze:
1. Wzór na liczbę podziałów niepustego zbioru. Niech A będzie zbiorem -elementowym, który dzielimy na
rozłącznych podzbiorów składających się z
elementów
Liczba różnych takich podziałów wyraża się wzorem:
Np. Liczba różnych rozdań 52 kart po 13 dla każdego z czterech grających w brydża jest równa
2. Wzór na liczbę rozmieszczeń nierozróżnialnych kul w
komórkach - czyli kombinacji z powtórzeniami:
Np. Na ile sposobów pasażerów może wysiąść z windy na
piętrach?
I. Doświadczenia losowe |
---|
Rachunek (teoria) prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest losowe, jeżeli: Jako przykłady takich doświadczeń podaje się zwykle rzuty monetą lub kostką do gry, kupno losu na loterii, karty jakie można otrzymać w rozdaniu pokera itp. |
---|
II. Przestrzeń zdarzeń elementarnych |
---|
Wyniku danego doświadczenia losowego nie potrafimy przewidzieć, ale możemy podać (lub opisać) zbiór, do którego należy. Zbiór ten tradycyjnie oznacza się literą
W szkolnym rachunku prawdopodobieństwa przestrzeń Przykłady 1. Jednokrotny rzut monetą. Możliwymi wynikami w tym doświadczeniu są dwa zdarzenia elementarne: wyrzucenie orła 2. Jednokrotny rzut kostką. W tym doświadczeniu: gdzie 3. Dwukrotny rzut monetą lub równoczesny rzut dwiema różnymi monetami, np. złotówką i dwuzłotówką. Teraz każde (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego rzutu)
4. Dwukrotny rzut kostką do gry lub równoczesny rzut dwiema kostkami np. czerwoną i zieloną. Teraz każde (liczba oczek w pierwszym rzucie, liczba oczek w drugim rzucie) W tym doświadczeniu zdarzenia elementarne ustawia się zwykle w tablicy o sześciu wierszach i kolumnach. 5. Rozdania kart w brydżu. Każdy z czterech graczy otrzymuje po 13 kart z talii 52 kart. Przestrzeń zdarzeń elementarnych |
---|
III.Zdarzenia |
Rzadko interesuje nas pojawienie się w danym doświadczeniu losowym konkretnego Zdarzeniem nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Zdarzenia oznaczamy początkowymi dużymi literami alfabetu A, B, C, ... i opisujemy je słowami poprzedzając myślnikiem. Jeżeli wynikiem doświadczenia jest Podzbiorami Zdarzenie |
---|
IV. Działania na zdarzeniach |
Gdy dopuszczamy dwa zdarzenia A i B, to możemy interesować się tym, czy te dwa zdarzenia zachodzą równocześnie lub czy zaszło przynajmniej jedno z nich.
O zdarzeniach A i B takich, że
Jeżeli Czasami o zdarzeniach |
---|
V. Definicja prawdopodobieństwa |
---|
Jeżeli w pewnym doświadczeniu losowym wszystkie wyniki Model klasyczny pasuje do wielu zdarzeń, gdzie występują symetryczne monety lub kości do gry, karty, losy na loterii itp.
Model ten stosujemy, gdy nie wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Na przestrzeni zdarzeń elementarnych Prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia A nazywamy sumę prawdopodobieństw wszystkich |
---|
VI. Podstawowe własności prawdopodobieństwa |
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe zero: 2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A wyraża się wzorem: Warto to zapamiętać. Czasem łatwo jest obliczyć P(A') podczas, gdy obliczenie P(A) jest kłopotliwe. 5. Jeżeli zdarzenia A i B nie mogą zajść równocześnie, tzn. wykluczają się, to: 6. Jeżeli zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B, czyli 7. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń ,,A lub B": Stąd wniosek, że |
---|
VII. Prawdopodobieństwo warunkowe |
Jest to podstawowe pojęcie teorii prawdopodobieństwa - chodzi o to, że zajście jakiegoś zdarzenia może zmienić prawdopodobieństwa zajścia innego zdarzenia. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B (P(B) > 0), nazywamy liczbę
Przykłady Teraz prościutko stosując wzór Ze wzoru Korzystając z tego można pójść dalej |
---|
VIII. Prawdopodobieństwo całkowite |
---|
Rodzinę zdarzeń Mówimy też, że rodzina taka stanowi rozbicie przestrzeni Ogólnie, jeżeli Uwaga. |
---|
IX. Niezależność zdarzeń |
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli Jeżeli A i B są niezależne to wg tej definicji: |
---|
X. Schemat Bernoulliego |
Rozważmy skończony ciąg niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia o dwóch możliwych wynikach. Poszczególne zdarzenia z tego ciągu nazywamy próbami Bernoulliego. Jeden z dwóch wyników nazywamy tradycyjnie sukcesem, a drugi porażką. Oznaczamy prawdopodobieństwo sukcesu jako Schematem n prób Bernoulliego nazywamy ciąg Przykłady schematu Oznaczmy przez Prawdopodobieństwo zajścia Przykłady a) 2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A - trzeci orzeł wypadł w 10-tym rzucie. |
---|
XI. Drzewa |
---|
Teraz będzie o metodzie, która nadaje się do doświadczeń realizowanych w dwóch lub więcej etapach. Takimi są np. - często występujące z zadaniach - losowanie kolejno kul z urny, rzuty monetą lub kostką, ciągnięcie kart z talii itp. oraz złożenie kolejno tych doświadczeń. W metodzie drzew rysujemy diagram, który daje przejrzystość rozwiązania. Z rysunku widać co trzeba pomnożyć i ewentualnie potem dodać, aby mieć szukane prawdopodobieństwo - to coś dla leniwych! Diagram nazywamy drzewem. Drzewo zaczyna się początkiem (korzeniem), który zaznacza się kropką lub kółkiem. Na koniec spytajmy, jak z drzewa odczytać prawdopodobieństwo, że zaszło zdarzenie B? Jest to suma prawdopodobieństw przypisanych gałęziom kończących się w węzłach B. Podsumujmy krótko.
Rozwiązanie podanego wcześniej przykładu
Jeszcze jeden przykład Urna przed losowaniem:
Oznaczamy zdarzenia: |
||
---|---|---|
XII. Wzór Bayesa |
Problem polega na tym, że znamy wynik doświadczenia, a pytamy o jego przebieg. Wzór Bayesa Np. na diagramie Rozwiązanie przykładu 1. B1 i B2 tworzą zupełny układ zdarzeń,
Drzewo dla tego doświadczenia Tak rozwiążemy przykład 2. |
---|
Poćwiczmy na przykładach metody zliczania. Zad_1 Rozwiązanie. Zad_2 Rozwiązanie. Zad_3 Rozwiązanie. Zad_4 Rozwiązanie. Zad_5 Rozwiązanie. Zad_6 Rozwiązanie. Zad_7 Rozwiązanie. |
---|
Zad1 Ze zworu na sumę zdarzeń obliczam
Zdarzania A i B są niezależn, gdyż Zad2
Dalej Stąd Ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń Ze wzoru na prawopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
Zad3 Niech |
---|