Zagadnienia:

Pole fizyczne.
Podział wielkości fizycznych
Skalary, wektory, tensory.
Algebra i analiza tensorów różnych rzędów
Problemy fizyczne, w których obiekty są tensorami.
Transformacje
Kąty Eulera
Niezmienniki tensora

Analiza wektorów
Gradient, dywergencja, rotacja

Pole odkształcenia
Odkształcenie kierunkowe
Tensor odkształcenia

Pole naprężenia
Związek między odkształceniem a naprężeniem

Geometria analityczna
Zapis parametryczny
Trójścian Freneta

Rachunek wariacyjny. Definicja problemu wariacyjnego.
Równanie Eulera

Równania różniczkowe cząstkowe (przykłady problemów fizycznych)

PYTANIA NA ZALICZENIE WYKŁADÓW Z MATEMATYKI

1. Czym jest pole fizyczne?

- to obszar w którym działa jakakolwiek siła fizyczna

1. Wielkością skalarną nie jest:

1. L – długość

2. A – pole powierzchni

3. v- prędkość

1. Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy 0 gdy:

1. Sinus kąta pomiędzy tymi wektorami jest = 0

2. Cosinus kąta pomiędzy tymi wektorami jest = 0

1. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest równy 0 gdy:

1. Sinus kąta pomiędzy tymi wektorami jest = 0

2. Cosinus kąta pomiędzy tymi wektorami jest = 0

1. Podaj przykłady wielkości tensorowych stosowanych w budownictwie:

- naprężenie

- odkształcenie

1. Pseudowektorem jest:

1. Prędkość

2. Moment siły

3. Siła

4. Energia

1. Co to jest funkcjonał?

- „funkcja funkcji” tzn. funkcjonał przypisuje danej funkcji liczby rzeczywiste

1. W jaki sposób znajdujemy ekstremum funkcjonału?

- wariacja tego funkcjonału ma być równa zero

1. Co łączy różniczkę z rachunku tensorowego z wariacją funkcjonału z rachunku wariacyjnego?

- zerowanie się różniczki funkcji daje nam ekstremum tej funkcji, a zerowanie się wariacji funkcjonału daje ekstremum funkcjonału

1. Nazwij wersory tworzące trójścian Freneta.

- – wersor normalny główny, – wersor styczny, – wersor binormalny

1. Co to jest binormalna?

- to prosta prostopadła do stycznej i normalnej głównej

1. Normalna główna to linia przecięcia się 2 płaszczyzn. Jakich?

-płaszczyzny normalnej i płaszczyzny ściśle stycznej

1. Uzupełnij trójścian Freneta oznaczeniami brakujących wersorów, nazwij proste i płaszczyzny wyznaczone przez te wersory.

1. Mówi się, że macierz jest osobliwa, gdy

1. Jej wyznacznik jest równy zero

2. Jej wyznacznik jest różny od zera

1. Dokończ zdania

1. W równaniach różniczkowych zwyczajnych szukamy funkcji jednej zmiennej

2. W równaniach różniczkowych cząstkowych szukamy funkcji wielu zmiennych

3. Równanie różniczkowa Laplace’a to równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego.

1. Związek pomiędzy naprężeniem a odkształceniem opisuje równanie

1. Naviera

2. Hooka

3. Younga

1. Gradientem funkcji f(x,y,z)=2x³-2x+y⁵-z jest:

1. [6x²-2, 0,0]

2. [6x²-2, y⁵, -z]

3. [6x²-2, 5y⁴, -1]

1. Wyznacz niezmienniki tensora.

1. Oblicz wartości główne dla tensora .

1. Dla podanego tensora wyznaczyć wartości i kierunki główne

1. Obszar który prosta przecina w dwóch prostych jest to obszar:

1. Niewypukły

2. Wypukły

1. Jaka jest różnica między liczbą 5.0 ?

Liczba 5.00 jest 10x dokładniejsza niż 5.0

1. Tensor jest to…

- operator liniowy przekształcający wektor – wektor

1. Komplet równań płaskiej teorii sprężystości zawiera:

1. 3 równania równowagi , 3 równania geometryczne, 3 równania fizyczne

2. 2 równania równowagi , 2 równania geometryczne, 2 równania fizyczne

3. 2 równania równowagi , 3 równania geometryczne, 3 równania fizyczne

1. Co to jest dywergencja pola wektorowego?

 Operator różniczkowy przyporządkowujący trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będące formalnym iloczynem skalarnym operatora Nabla z polem.

1. Twierdzenie Gaussa- Ostrogradzkiego

gdzie: n- wektor normalny

twierdzenie, które umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową albo na odwrót. Przy objętości całkowana jest dywergencja wektora. Stosowane w elektrodynamice, elektronice, energetyce.

1. Rotacja

 operator różniczkowy działający na pole wektorowe F, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego

.

w układzie współrzędnych: .

a w notacji macierzowej rotacja to det,

1. Pola wektorowe

Takie pola gdzie przyporządkujemy każdemu punktowi z pola wartość wektorową. Przykłady:

-grawitacyjne

- elektryczne

- indukcja magnetyczna

1. Co opisujemy przy pomocy kątów Eulera?

a) ruch harmoniczny ciała sztywnego

b) ruch kulisty ciała sztywnego

c) ruch prostoliniowy ciała sztywnego

1. Co to są kąty Eulera?

- układ trzech kątów, za pomocą których można jednoznacznie określić wzajemną orientację

dwu kartezjańskich układów współrzędnych o jednakowej skrętności

1. Podpisz poniższe macierze ( macierz obrotu wokół osi z, macierz obrotu wokół osi x) ?

1. Opisz kąty Eulera?

• ψ – kąt precesji, kąt obrotu wokół osi z

• θ – kąt nutacji, kąt obrotu wokół nowo powstałej osi x

• ϕ – kąt obrotu własnego, kąt obrotu wokół

nowo powstałej osi z

1. własności macierzy transformacji A:

• det A=1

• A*A^T=A^T*A

• A^-1=A^T

• A^T#A

1. Co to jest tensor II rzędu?

Tensor II rzędu – nazywamy macierz kwadratową (3² współrzędnych), której współrzędne przy obrocie układu współrzędnych transformują się zgodnie z prawem (zwanym prawem transformacji tensorowej)

1. Równanie Eulera – Lagrange’a

Równanie opisujące ruch układu ciał.
Podstawa rachunku wariacyjnego.
Funkcja y(x) minimalizująca funkcjonał F(y(x)) w przedziale [a,b ]musi spełniać równanie Eulera – Lagrange’a.

1. Równania eliptyczne, hiperboliczne i paraboliczne – równania różniczkowe cząstkowe II rzędu

	(1)

Równanie różniczkowe cząstkowe II rzędu jest

• eliptyczne jeśli macierz współczynników występujących przy pochodnych jest dodatnio określona. Det Z>0

• Równanie różniczkowe II rzędu jest hiperboliczne jeśli macierz współczynników występujących przy pochodnych jest ujemnie określona. Det Z<0

• Równanie różniczkowe II rzędu jest paraboliczne jeśli Det Z=0

1. Zapisem parametrycznym okręgu o równaniu (x-x0)^2+y^2=r^2 jest:

• 

• 

• 

1. Zapisz w postaci macierzowej oraz w postaci indeksowej tensor odkształcenia.

• Macierzowa:

• Indeksowa:

1. Problem czystego rozciągania pręta pryzmatycznego, jak na rysunku
   opisany jest równaniem: d/dx(EF du/dx)+q=0 z warunkami brzegowymi EF du/dx = P, u(0)=0.
   Podaj sformułowanie wariacyjne powyższego zagadnienia.

2. Rozkład tensora A na część symetryczną i antysymetryczną:

A=