TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Temat: R.31. Półprzestrzeń sprężysta. Rozwiązanie Boussinesq’a.

PÓŁPRZESTRZEŃ SPRĘŻYSTA OBCIĄŻONA SIŁĄ SKUPIONĄ

Zadanie Boussinesq'a

Zadanie to ma zastosowanie przy analizie rozkładu naprężeń w gruncie poniżej fundamentu.

Rys.1. Półprzestrzeń plastyczna obciążona siła skupioną

Zakładamy występowanie osiowej symetrii naprężeń (od siły osiowej):

1. Równania równowagi (dla wyciętego elementu):

1. Równania geometryczne:

1. Rownania fizyczne:

1. Rownania fizyczne w zapisie odwrotnym:

gdzie:

Mamy zatem 10 równań i 10 niewiadomych (σr, σz, σF, τrz, τzr, εr, εF, εz, γrz, u, w). Zadanie rozwiązujemy w przemieszczeniach tzn. szukamy dwóch funkcji przemieszczeń: u=u(r,z) i w=w(r,z).

Wykorzystując równania fizyczne i geometryczne w równaniach równowagi dochodzimy do dwóch równań przemieszczeniowych

Rozwiązanie układu równań (11.17) i (11.18) podał Boussinesq'e w następującej postaci:

Podstawiając (11.19) i (11.20) do (11.12), (11.13), (11.14), (11.15) przy wykorzystaniu równań geometrycznych otrzymuje się składowe stanu naprężenia następującej postaci

Stałe A i B wyznaczamy z warunków:

1. Na dowolnej płaszczyźnie z=const. wypadkowa z naprężeń σz musi być równa sile P.

Wycinamy elementarny pierścień:

Rys.2. Elementarny pierścień

Dla całego przekroju poziomego:

Rys.3. Rozkład naprężeń σ_z

1. Na płaszczyźnie z=0 nie działają żadne siły za wyjątkiem punktu przyłożenia siły P (oznacza to, że naprężenia na tej płaszczyźnie są równe zero).

Otrzymujemy:

Funkcje przemieszczeń u(r,z); w(r,z) przyjmą ostatecznie postać:

Natomiast funkcje składowych stanu naprężenia będą postaci:

Rozwiązania te obowiązują dla całej półprzestrzeni za wyjątkiem małego otoczenia punktu przyłożenia siły. W punkcie tym rozwiązanie jest osobliwe. Naprężenia i przemieszczenia przyjmują wartości nieskończenie duże.

Przemieszczenia punktów płaszczyzny ograniczającej półprzestrzeń z=0 będą postaci (korzystamy ze wzorów (11.29) i (11.30)):

Stan naprężenia w punktach znajdujących się na osi (O,z) (r=0):

Rys.4. Zbiór punktów leżących na osi (O,z)

Wykażemy następującą osobliwość rozkładu naprężeń w półprzestrzeni sprężystej obciążonej siłą skupioną. Całkowite naprężenie w dowolnym punkcie poziomej płaszczyzny, tzn. wypadkowa z naprężeń σz, τrz wynosi:

Rys.5. Wypadkowa p z naprężeń σ_z, τ_rz

Naprężenie wypadkowe p skierowane jest do początku układu

Jeżeli wyobrazimy sobie kulę o dowolnej średnicy d styczna do płaszczyzny ograniczającej półprzestrzeń w punkcie zero, to na wszystkich poziomych polach elementarnych na powierzchni tej kuli całkowite naprężenia będą jednakowe i równe

Mając rozwiązanie problemu półprzestrzeni obciążonej siłą skupioną możemy przez zastosowanie zasady superpozycji wyznaczyć przemieszczenia i naprężenia od dowolnego obciążenia rozłożonego na półprzestrzeni.

Przykładowo napiszemy wzór na ugięcia pionowe półprzestrzeni od dowolnego obciążenia pionowego q(ξ,η)

Rys.6.

Ugięcie w punkcie K wywołane obciążeniem elementarnym q(ξ,η)dξdη wynosi:

gdzie:

Przemieszczenie wywołane całym obciążeniem (w pkt.K)

Rys.7. Ugięcie pod wpływem obciążenia kołowego

Przykładowo jeżeli obciążenie q jest rozłożone na polu koła o promieniu a i wypadkowa tego obciążenia wynosi P, to po obliczeniu przemieszczeń pionowych półpłaszczyzny otrzymamy:

Naprężenia na osi OZ (r=0):

W przypadku, gdy obciążenie przekazywane jest za pośrednictwem nieodkształcalnego kołowego walca, to wszystkie punkty doznają jednakowych przemieszczeń.

Rozwiązanie ma postać:

Rys.8. Oddziaływanie walca na podłoże

stąd wniosek:

Ugięcie stempla na sprężystym podłożu jest przy zachowaniu identycznego obciążenia średniego proporcjonalne do jego średnicy.

Zadanie:

Wyznaczyć ugięcie powierzchni ograniczającej półprzestrzeń sprężystą w punktach A i B pod wpływem obciążenia słupem wysokiego napięcia, którego rozstaw pionowych nóg wynosi a.

Rys.9. Rysunek pomocniczy do zadania

W punkcie A:

w_A1 – przemieszczenie punktu A od obciążenia na jedną nogę:

uwzględniając, że

Całkowite przemieszczenie pkt. A wynosi:

W punkcie B:

Całkowite ugięcie wynosi:

Dla porównania

BIBLIOGRAFIA:

Wykłady z Teorii Sprężystości:

Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M.

(http://www.ikb.poznan.pl/almamater/wyklady/teoria_sprezystosci_03-04)