31. Klasyczne wcięcie wstecz NIE Z HAUSBRANDTA

Pojedyncze wcięcie wstecz polega na określeniu współrzędnych punktu wcinanego P na podstawie pomierzonych na nim kątów α β lub (α₁, α₂) do trzech punktów ABC o znanych współrzędnych. Zadanie to ma jedno rozwiązanie ponieważ dla określenia dwóch niewiadomych X_p Y_p niezbędny jest pomiar dwóch kątów (n=u=2). Nazwa wcięcia pochodzi od celowych, które łączą punkt szukany z punkami znanymi, nosząc nazwę celowych wewnętrznych (kierunków wstecz).

Rozwiązując zadanie sposobem klasycznym (Kastnera), rozwiązanie polega na znalezieniu kątów pomocniczych Φ Ψ i sprowadzeniu go do typowego wcięcia w przód, które dla kontroli można dwukrotnie obliczyć z baz AB=a oraz BC=b

Znajomość współrzędnych punktów ABC umożliwia obliczenie kąta ϒ (kątABC) oraz wyznaczenie długości a=AB b=BC i azymutów tych boków. Po wprowadzeniu oznaczeń: φ = kątPBA oraz ψ =kątPCB

na podstawie sumy kątow w czworoboku ABCP

można napisać:

α +β + γ + φ + ψ = 360°

stąd: φ + ψ = 360° − (α+ β + γ)

Połowa sumy kątow pomocniczych wyniesie więc:

Celem dalszego postępowania prowadzącego do określenia wartości kątow φ, ψ,

jest wyznaczenie połowy rożnicy tych kątow.

Na podstawie twierdzenia sinusow w trojkątach ABP i BCP można dwukrotnie

zapisać wzory na długość ich wspolnego boku BP, a następnie zrownać ze sobą prawe

strony obu rownań:

Przekształcenie tej rowności daje następującą proporcję:

Wyrażenie występujące po prawej stronie powyższego rownania jest znaną

wielkością, ktora stanowi tangens pewnego, pomocniczego kąta μ, zaś sposob obliczenia

funkcji tg μ określa wzor:

a więc:

Na podstawie znanych wzorow trygonometrycznych na rożnicę i sumę sinusow

kątow możemy napisać:

Po prostym przekształceniu zapiszemy rownanie na obliczenie tangensa połowy

rożnicy kątow pomocniczych φ, ψ:

Na podstawie wartości połowy sumy i połowy rożnicy kątow φ, ψ możemy teraz

wyznaczyć oba poszukiwane kąty pomocnicze:

Obliczenia tok czynności:

1. Obliczenie azymutów i długości odcinków AB BC

2. Obliczenie kąta ϒ

3. Obliczenie wartości liczbowej połowy sumy kątów pomocniczych Ψ Φ

4. Obliczenie tangensa i kąta pomocniczego μ

5. Obliczenie wartości liczbowej połowy różnicy kątów pomocniczych Φ Ψ

6. Obliczenie kątów pomocniczych Ψ Φ

7. Obliczenie kątów ɛ ɗ do rozwiązania wcięć w przód w trójkątach ABP, BCP

8. Obliczenie współrzędnych punktu P

9. Kontrola obliczenie kata (α+β) ze współrzędnych.