Politechnika Poznańska
Poznań, dnia 24.04.2004 r.
Instytut Konstrukcji Budowlanych
Zakład Mechaniki Budowli
Dynamika – ujęcie klasyczne
Konsultacje:
Wykonał:
dr inż.
P.
Litewka
Piotr
Siniecki
grupa
III
2003/2004
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 2 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Dana jest belka o następujących parametrach
2,00
2,00
3,00
2,00
m
2
m
1
m
3
k
gdzie:
m
1
= 200 kg
m
1
= m
m
2
= 300 kg
m
2
= 1,5 m
m
3
= 150 kg
m
3
= 0,75 m
k = 0,25 EI
2,00
2,00
3,00
2,00
q
q
1
q
1
-m
..
2
..
-m
2
..
3
3
-m
SSD = 3
Zaprojektowanie przekroju pręta przy statycznym obciążeniu masami tak, aby maksymalne
naprężenia były rzędu 100 MPa
Przy obciążeniu belki siłami przyjmuję g = 10 m/s
2
2,00
2,00
3,00
2,00
3 kN
1,5 kN
2 kN
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 3 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Wykres momentów [kNm]
2,00
2,00
3,00
2,00
10,222
5,899
7,111
M
max
= 10,222 kNm = 1022,2 kNcm
Dobieram przekrój dwuteowy
3
2
2
cm
22
,
102
W
cm
kN
10
W
2
,
1022
cm
kN
10
W
M
MPa
100
W
M
≥
≤
≤
≤
Przyjmuję I 160 W = 117 cm
3
I = 935 cm
4
A = 22,8 cm
2
MPa
100
MPa
36
,
87
100
117
2
,
1022
≤
≤
Obliczam współczynniki podatności
( )
( )
( )
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
3
33
2
2
32
1
1
31
3
3
3
23
2
2
22
1
1
21
2
3
3
13
2
2
12
1
1
11
1
q
m
q
m
q
m
t
q
q
m
q
m
q
m
t
q
q
m
q
m
q
m
t
q
Obliczanie współczynników
ik
δ
∑∫
⋅
⋅
=
δ
dx
EI
M
M
k
i
ik
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 4 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Stan “1”
2,00
2,00
3,00
2,00
1
9
1
5
9
9
7
1
9
9
1
4
2
k
Stan “2”
2,00
2,00
3,00
2,00
1
5
9
1
9
1
2
2
9
9
8
9
4
k
Stan “3”
2,00
2,00
3,00
2,00
1
9
9
2
4
1
5
9
9
7
9
8
k
41975
,
10
4
1
:
9
7
9
4
9
5
1
3
2
9
8
2
2
1
9
8
3
1
9
5
1
3
2
9
8
3
2
1
9
5
1
3
1
9
8
3
2
9
2
2
3
2
1
9
8
3
2
9
2
2
4
2
1
EI
09877
,
6
4
1
:
9
7
9
2
9
5
1
3
2
9
4
2
2
1
9
4
3
1
9
5
1
3
2
9
4
5
2
1
9
5
1
3
1
9
4
3
2
9
5
1
5
2
1
9
4
3
2
9
5
1
2
2
1
EI
02469
,
10
4
1
:
9
4
9
2
9
2
2
3
2
9
1
1
5
2
1
9
2
2
3
1
9
1
1
3
2
9
5
1
2
2
1
9
1
1
3
1
9
2
2
3
2
9
1
1
2
2
1
9
1
1
3
2
9
5
1
2
2
1
EI
67901
,
9
4
1
:
9
7
9
7
9
5
1
3
2
9
5
1
2
2
1
9
5
1
3
2
9
5
1
7
2
1
EI
60494
,
15
4
1
:
9
4
9
4
9
2
2
3
2
9
2
2
5
2
1
9
2
2
3
2
9
2
2
4
2
1
EI
45679
,
7
4
1
:
9
2
9
2
9
5
1
3
2
9
5
1
7
2
1
9
5
1
3
2
9
5
1
2
2
1
EI
23
13
12
33
22
11
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
δ
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 5 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
••
••
••
••
••
••
••
••
••
0
EI
q
m
25926
,
7
EI
q
m
62963
,
15
EI
q
m
09877
,
6
q
0
EI
q
m
81481
,
7
EI
q
m
40741
,
23
EI
q
m
02469
,
10
q
0
EI
q
m
57408
,
4
EI
q
m
03704
,
15
EI
q
m
45679
,
7
q
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
Jest to układ równań różniczkowych jednorodnych, który rozwiązujemy poprzez następujące
podstawienie:
( )
( )
( )
t
sin
A
q
t
cos
A
q
t
sin
A
q
i
2
i
i
i
i
i
ω
⋅
⋅
ω
−
=
ω
⋅
⋅
ω
=
ω
⋅
=
•
•
•
dzieląc wszystkie trzy równania przez sin(ωt) otrzymujemy:
=
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
=
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
=
⋅
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
⋅
ω
⋅
⋅
−
0
A
EI
m
25926
,
7
A
EI
m
62963
,
15
A
EI
m
09877
,
6
A
0
A
EI
m
81481
,
7
A
EI
m
40741
,
23
A
EI
m
02469
,
10
A
0
A
EI
m
57408
,
4
A
EI
m
03704
,
15
A
EI
m
45679
,
7
A
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
1
podstawiając
λ
=
ϖ
⋅
EI
m
2
otrzymujemy:
(
)
(
)
(
)
=
λ
⋅
−
+
⋅
λ
⋅
−
⋅
λ
⋅
−
=
λ
⋅
−
⋅
λ
⋅
−
+
⋅
λ
⋅
−
=
⋅
λ
⋅
−
⋅
λ
⋅
−
⋅
λ
⋅
−
0
A
25926
,
7
1
A
62963
,
15
A
09877
,
6
0
A
81481
,
7
A
40741
,
23
1
A
02469
,
10
0
A
57408
,
4
A
03704
,
15
A
45679
,
7
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
Korzystam z programu do obliczenia uogólnionego problemu własnego macierzy
(
)
−
−
−
−
=
⋅
⋅
λ
−
0
q
B
A
gdzie:
=
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
=
−
25926
,
7
62963
,
15
09877
,
6
81481
,
7
40741
,
23
02469
,
10
57408
,
4
03704
,
15
45679
,
7
B
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 6 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Wartości własne macierzy:
=
λ
=
λ
=
λ
82170
,
1
45853
,
0
02825
,
0
3
2
1
m
EI
⋅
λ
=
ω
E = 205 GPa = 205 E9 N/m
2
I = 935 cm
4
= 9,35 E-6 m
4
EI = 1916750 N/m
2
s
rad
13144
,
132
s
rad
29055
,
66
s
rad
45421
,
16
3
2
1
=
ϖ
=
ϖ
=
ϖ
Wektory własne
(
)
(
)
(
)
55282
,
0
;
62755
,
0
;
00000
,
1
q
07085
,
1
;
12776
,
0
;
56427
,
0
q
55689
,
0
;
79904
,
0
;
52127
,
0
q
3
2
1
−
−
=
−
−
=
=
−
−
−
I postać drgań
s
rad
45421
,
16
1
=
ϖ
k
0,52127
0,79904
0,55689
II postać drgań
s
rad
29055
,
66
2
=
ϖ
-0,56427
-0,12776
k
1,07085
III postać drgań
s
rad
13144
,
132
3
=
ϖ
-1,00000
-0,55282
k
0,62755
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 7 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Obliczenie amplitudy drgań wymuszonych przez zadane obciążenie harmoniczne,
znalezienie sił dynamicznych działających na układ oraz sporządzenie obwiedni
dynamicznych momentów zginających.
2,00
2,00
3,00
2,00
Pcos(pt)
m
2
m
1
m
3
k
P = 12000 N
p = 36 Hz
s
rad
19
,
226
Hz
36
2
=
⋅
π
⋅
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
+
⋅
−
⋅
δ
=
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
3
33
2
2
32
1
1
31
3
3
3
23
2
2
22
1
1
21
2
3
3
13
2
2
12
1
1
11
1
q
m
q
m
q
m
pt
cos
P
q
q
m
q
m
q
m
pt
cos
P
q
q
m
q
m
q
m
pt
cos
P
q
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
pt
cos
P
EI
09877
,
6
EI
q
m
25926
,
7
EI
q
m
62963
,
15
EI
q
m
09877
,
6
q
pt
cos
P
EI
02469
,
10
EI
q
m
81481
,
7
EI
q
m
40741
,
23
EI
q
m
02469
,
10
q
pt
cos
P
EI
45679
,
7
EI
q
m
57408
,
4
EI
q
m
03704
,
15
EI
q
m
45679
,
7
q
3
2
1
3
3
2
1
2
3
2
1
1
( )
( )
( )
pt
sin
A
p
q
pt
sin
A
p
q
pt
cos
A
q
i
2
i
i
i
i
i
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
=
•
•
•
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 8 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
038182
,
0
A
75285
,
37
A
43726
,
83
A
55769
,
32
062761
,
0
A
71860
,
41
A
95818
,
123
A
51583
,
53
046684
,
0
A
41828
,
24
A
27377
,
80
A
80735
,
38
3
2
1
3
2
1
3
2
1
A
1
= -1,53679
E
-3 m
A
2
= 2,01039
E
-4 m
A
1
= -1,30369
E
-4 m
(
)
(
)
(
)
kN
000
,
1
A
p
m
75
,
0
B
kN
086
,
3
A
p
m
5
,
1
B
kN
725
,
15
A
p
m
B
3
2
1
2
2
2
1
2
1
−
=
⋅
−
⋅
⋅
−
=
=
⋅
−
⋅
⋅
−
=
−
=
⋅
−
⋅
−
=
Ekstremalne wartości sił [kN]:
2,00
2,00
3,00
2,00
1,000
3,086
15,725
k
12,000
Obwiednia momentów dynamicznych [kNm]
2,00
2,00
3,00
2,00
k
2,782
1,885
0,372
Dynamika – ujęcie klasyczne
- 9 -
Piotr Siniecki grupa III
2004-04-24
Ponowne sprawdzenie zaprojektowanego przekroju.
M = 1,2 * M
st
+ 5 * M
dyn
= 1,2 * 7,111 + 5 * 2,782 = 22,4432 kNm = 2244,32 kNcm
M = 1,2 * M
st
+ 5 * M
dyn
= 1,2 * 10,222 + 5 * 1,885 = 21,6914 kNm = 2169,14 kNcm
Do obliczeń biorę większy moment.
MPa
215
MPa
82
,
191
cm
kN
5
,
21
117
32
,
2244
cm
kN
5
,
21
W
M
MPa
215
W
M
2
2
≤
≤
≤
≤
Obliczony wcześniej przekrój przeniesie zadane obciążenia.